Für eine Legierung im Zweiphasengebiet eines Zustandsdiagramms ermittelt der Rechner aus der Gesamtzusammensetzung C0 und den Zusammensetzungen an den beiden Enden der Konode bei dieser Temperatur (Phase α und Phase β), wie viel Prozent jeder Phase vorliegen. Voreingestellt ist eine Legierung Pb–40 Massen-% Sn knapp oberhalb der eutektischen Temperatur (α-Phase 18,3 Massen-% Sn, Schmelze 61,9 Massen-% Sn).
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Ergebnisse
Massenanteil der Phase α, Wα
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Massenanteil der Phase β, Wβ
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Prüfung
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Masse der einzelnen Phasen
Masse der Phase α
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Masse der Phase β
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Bei Eingabe in Massen-% erhalten Sie Massenanteile, bei Eingabe in Atom-% den Anteil der Atomzahl (Stoffmengenanteil). Achten Sie darauf, dass alle Zusammensetzungen in derselben Einheit angegeben sind.
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Was ist das Hebelgesetz?
Zieht man im Zweiphasengebiet eines binären Zustandsdiagramms bei einer bestimmten Temperatur eine waagerechte Linie (Konode), geben deren Endpunkte die Zusammensetzungen der beiden koexistierenden Phasen an. Für eine Legierung mit der Gesamtzusammensetzung C0 folgen aus der Massenbilanz C0 = Wα·Cα + Wβ·Cβ und Wα + Wβ = 1 die Beziehungen Wα = (Cβ − C0)/(Cβ − Cα) und Wβ = (C0 − Cα)/(Cβ − Cα). Der Name rührt daher, dass die Beziehung einer Balkenwaage (einem Hebel) mit dem Drehpunkt bei C0 gleicht, bei der die Länge des gegenüberliegenden Arms die Menge der jeweiligen Phase angibt. Für die voreingestellte Legierung Pb–40 Massen-% Sn ergibt sich Wα = (61,9 − 40)/(61,9 − 18,3) ≈ 50,2 %, die Schmelze macht etwa 49,8 % aus.
Anteile von Primärkristallen und Eutektikum
Kühlt man eine untereutektische Legierung bis knapp unter die eutektische Temperatur ab, wandelt sich die gesamte Schmelze, die knapp oberhalb der eutektischen Temperatur vorlag, in Eutektikum (ein lamellares Gefüge aus α und β) um. Die Anteile von primärem α und Eutektikum sind daher gleich den Anteilen von α-Phase und Schmelze knapp oberhalb der eutektischen Temperatur und lassen sich berechnen, indem man für Cβ die eutektische Zusammensetzung Ce einsetzt. Möchte man dagegen knapp unterhalb der eutektischen Temperatur die Anteile der „gesamten α-Phase“ und der „gesamten β-Phase“ kennen, setzt man an den Enden die Zusammensetzungen der α- und der β-Phase ein (im System Pb-Sn etwa 18,3 Massen-% und etwa 97,8 Massen-% Sn). Zu unterscheiden, welchen der beiden Anteile man eigentlich sucht, ist bei dieser Rechnung die häufigste Fehlerquelle.
Massenanteil und Volumenanteil
Das Hebelgesetz liefert Massenanteile, wenn die Zusammensetzungen in Massen-% eingegeben werden. Der Flächenanteil, den man im Gefügebild sieht, entspricht eher dem Volumenanteil und stimmt bei unterschiedlichen Dichten der beiden Phasen nicht mit dem Massenanteil überein. Den Volumenanteil rechnet man mit Vα = (Wα/ρα)/(Wα/ρα + Wβ/ρβ) um. Gibt man die Zusammensetzungen in Atom-% ein, erhält man den Anteil der Atomzahl (Stoffmengenanteil). Die drei eingegebenen Zusammensetzungen müssen unbedingt dieselbe Einheit haben.
Anwendung im System Fe-C
Auch bei Gefügeberechnungen für Stahl wird das Hebelgesetz häufig verwendet. Für einen untereutektoiden Stahl mit 0,40 Massen-% C knapp unterhalb der eutektoiden Temperatur (727 °C) erhält man die Anteile von Ferrit und Perlit, indem man auf der Ferritseite 0,022 Massen-% C und am anderen Ende die eutektoide Zusammensetzung 0,76 Massen-% C einsetzt: etwa 48,8 % voreutektoider Ferrit und etwa 51,2 % Perlit. Für die Anteile der gesamten Ferritphase und der gesamten Zementitphase setzt man an den Enden 0,022 Massen-% und 6,70 Massen-% C ein.
Nach dem Hebelgesetz erhält man den Anteil einer Phase, indem man den Abstand von der Legierungszusammensetzung bis zur Zusammensetzung der gegenüberliegenden Phase durch die Gesamtlänge der Konode teilt. Der Anteil der Schmelze ist W_L = (Cα − C₀)/(Cα − C_L) = (42,5 − 35)/(42,5 − 31,5) = 7,5/11,0 ≈ 0,68. Etwa 0,32 entsteht, wenn der Abstand auf derselben Seite genommen wird, (35 − 31,5)/11,0; das ist der Anteil von α. Etwa 0,82 ist das Verhältnis der Zusammensetzungen von Legierung und fester Phase, 35/42,5, und hat mit dem Hebelgesetz nichts zu tun. Die Anteile der beiden Phasen ergeben zusammen stets 1; hat man einen bestimmt, kann man damit gegenprüfen.
Das Eutektikum entsteht aus der Schmelze (61,9 Massen-% Sn), die knapp oberhalb der eutektischen Temperatur noch vorhanden war und sich durch die eutektische Reaktion vollständig umwandelt. Man wendet daher das Hebelgesetz im Gebiet α + L knapp oberhalb der eutektischen Temperatur an: W_Eutektikum = W_L = (30 − 18,3)/(61,9 − 18,3) = 11,7/43,6 ≈ 0,27. Etwa 0,73 ist der Anteil des übrigen primären α; dabei wurde der Abstand auf der falschen Seite genommen. Etwa 0,15 ist der Anteil der gesamten β-Phase knapp unterhalb der eutektischen Temperatur, (30 − 18,3)/(97,8 − 18,3). Die β-Phase liegt zwar vollständig im Eutektikum, das Eutektikum enthält aber auch α, sodass die beiden Werte nicht übereinstimmen. Entscheidend bei solchen Aufgaben ist, Gefügebestandteile (Primärkristalle, Eutektikum) und Phasen (α, β) auseinanderzuhalten.
Voreutektoider Ferrit ist der Ferrit, der sich bereits knapp oberhalb von 727 °C im Gebiet α + γ gebildet hat; der restliche Austenit wandelt sich vollständig in Perlit um. Nach dem Hebelgesetz ist W_α,voreutektoid = (0,76 − 0,40)/(0,76 − 0,022) = 0,36/0,738 ≈ 0,49. Etwa 0,51 ist der Anteil des übrigen Perlits; dabei wurde der Abstand auf der falschen Seite genommen. Etwa 0,94 ist der Anteil des gesamten Ferrits im Zweiphasengebiet α + Fe₃C, (6,70 − 0,40)/(6,70 − 0,022), der auch den Ferrit im Perlit einschließt. Das Flächenverhältnis von voreutektoidem Ferrit und Perlit im Schliffbild ist ein Anhaltspunkt, um den Kohlenstoffgehalt eines untereutektoiden Stahls abzuschätzen.
Häufige Fragen
Wann lässt sich das Hebelgesetz anwenden?
Wenn eine Legierung im Zweiphasengebiet des Zustandsdiagramms liegt und sich im Gleichgewicht befindet. Im Einphasengebiet gibt es nur eine Phase, deren Anteil 100 % beträgt; auf der waagerechten Linie genau bei der eutektischen Temperatur, auf der drei Phasen koexistieren, lassen sich die Anteile mit dem Hebelgesetz für zwei Phasen allein nicht bestimmen.
Warum verwendet man die Länge des gegenüberliegenden Arms?
Je näher C0 bei Cα liegt, desto mehr α-Phase sollte vorhanden sein; der Anteil der α-Phase ist daher proportional zum Abstand von C0 bis Cβ (dem gegenüberliegenden Arm). Löst man die Gleichungen der Massenbilanz, ergibt sich diese Form ganz von selbst.
Gilt das Hebelgesetz auch bei schneller Abkühlung?
Nein. Das Hebelgesetz setzt den Gleichgewichtszustand voraus. Kühlt die Legierung wie beim realen Gießen schnell ab, kommt die Diffusion im Festkörper nicht nach, es entstehen Seigerungen (Kristallseigerung, Coring), und Zusammensetzungen und Anteile weichen vom Gleichgewicht ab.