Für Silizium (Dichte 2330 kg/m³, spezifische Wärmekapazität 700 J/(kg·K)) seien die Wärmeleitfähigkeit bei Raumtemperatur 150 W/(m·K) und die mittlere Geschwindigkeit der Phononen 6000 m/s. Mit der Formel κ = (1/3)Cvl (C ist die Wärmekapazität je Volumen), die dieselbe Form wie in der kinetischen Gastheorie hat, wird die mittlere freie Weglänge l der Phononen abgeschätzt. Welcher Wert kommt ihr am nächsten?

Lösung: C. Etwa 46 nm

Die Wärmekapazität je Volumen ist C = ρc = 2330 × 700 ≈ 1,63×10⁶ J/(m³·K). Damit ist l = 3κ/(Cv) = 3 × 150/(1,63×10⁶ × 6000) ≈ 4,6×10⁻⁸ m, also etwa 46 nm. Etwa 15 nm entsteht, wenn der Faktor 1/3 weggelassen und κ/(Cv) gerechnet wird, etwa 5,1 nm, wenn das 1/3 auf der falschen Seite angesetzt und κ/(3Cv) gerechnet wird. Diese Abschätzung ist ein Mittelwert, bei dem alle Phononen durch dieselbe Geschwindigkeit und mittlere freie Weglänge vertreten werden; tatsächlich transportieren auch niederfrequente Phononen mit mittleren freien Weglängen von einigen hundert nm und mehr viel Wärme. Deshalb sinkt die Wärmeleitfähigkeit in Siliziumschichten oder Nanodrähten mit Dicken um 100 nm durch Oberflächenstreuung deutlich unter den Wert des kompakten Materials.