실리콘(밀도 2330 kg/m³, 비열 700 J/(kg·K))의 실온 열전도율을 150 W/(m·K), 포논의 평균 속도를 6000 m/s라고 한다. 기체 분자 운동론과 같은 형태의 식 κ = (1/3)Cvl(C는 부피당 비열)로부터 포논의 평균 자유 행로 l을 어림하면 가장 가까운 것은 무엇인가?

정답: C. 약 46 nm

부피당 비열은 C = ρc = 2330×700 ≈ 1.63×10⁶ J/(m³·K)입니다. l = 3κ/(Cv) = 3×150/(1.63×10⁶×6000) ≈ 4.6×10⁻⁸ m로, 약 46 nm가 됩니다. 약 15 nm는 계수 1/3을 빠뜨리고 κ/(Cv)로 한 값이고, 약 5.1 nm는 1/3을 반대쪽에 곱해 κ/(3Cv)로 한 값입니다. 이 어림은 모든 포논을 같은 속도와 평균 자유 행로로 대표시킨 평균값이며, 실제로는 수백 nm 이상의 평균 자유 행로를 가지는 저주파 포논도 많은 열을 운반하고 있습니다. 그래서 두께가 100 nm 정도인 실리콘 박막이나 나노와이어에서는 표면에서의 산란에 의해 열전도율이 벌크보다 크게 낮아집니다.