Das Werkzeug stellt die Eigenschaftsbereiche von Werkstoffen als Ellipsen in einem Diagramm mit logarithmischer Teilung auf beiden Achsen dar. Als Achsen lassen sich zwei der Größen Dichte, Elastizitätsmodul, Festigkeit, Bruchzähigkeit, Wärmeleitfähigkeit und Längenausdehnungskoeffizient wählen. Wählen Sie einen Materialindex, wird die Gerade gezogen, auf der dieser Index konstant ist; die Werkstoffe auf ihrer günstigen Seite werden hervorgehoben und absteigend nach dem Indexwert aufgelistet. Klicken oder tippen Sie auf eine Ellipse, um die Wertebereiche dieses Werkstoffs als Tabelle zu sehen. Voreingestellt ist das Diagramm Elastizitätsmodul–Dichte mit der Linie √E/ρ = 3 GPa^½/(g/cm³), dem Index für einen leichten Balken vorgegebener Biegesteifigkeit. Die Werte sind typische Bereiche aus veröffentlichten Daten und keine Auslegungswerte.
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Diagramm und Ergebnisse
Steigung der Linie (doppeltlogarithmisch) und Indexwert
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Werkstoffe auf der günstigen Seite (typische Werte)
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Rangfolge nach dem Index
Wertebereiche des gewählten Werkstoffs
Die Werte beruhen auf den Bereichen in den Tabellen des Lehrmaterials „Material property data for engineering materials“ von M. F. Ashby (5. Auflage, 2021); Druckfehler und Lücken in den Tabellen wurden mit Werten korrigiert bzw. ergänzt, die in technischen Datenblättern der Hersteller und anderen Quellen geprüft wurden. Auch bei Werkstoffen gleichen Namens schwanken die Werte je nach Zusammensetzung, Wärmebehandlung, Herstellung und Richtung stark. Verwenden Sie für die Auslegung von Bauteilen Werte aus Normen, garantierte Werte der Hersteller oder Messwerte. Werte, die nicht geprüft werden konnten (Wärmeleitfähigkeit und Längenausdehnungskoeffizient der Schäume), sind leer gelassen und nicht eingezeichnet.
Als Diagramm ansehen
Die übrigen Eingaben behalten ihren aktuellen Wert, während die gewählte Eingabe vom 1/4- bis zum 4-Fachen ihres aktuellen Werts variiert wird. Der rote Punkt ist der aktuelle Wert.
So liest man ein Ashby-Diagramm (Werkstoffschaubild)
Ein Werkstoffschaubild trägt zwei Eigenschaften, etwa Elastizitätsmodul und Dichte, auf der vertikalen und der horizontalen Achse auf und stellt die Wertebereiche der einzelnen Werkstoffe als Ellipsen dar. Der Elastizitätsmodul reicht von etwa 0,001 GPa bei Schäumen und Gummi bis etwa 700 GPa bei Wolframcarbid und überspannt damit rund sechs Zehnerpotenzen; deshalb sind beide Achsen logarithmisch geteilt. Die Größe einer Ellipse gibt an, wie stark die Werte auch bei Werkstoffen gleichen Namens je nach Zusammensetzung, Wärmebehandlung und Herstellung streuen. Werkstoffe derselben Klasse liegen nahe beieinander: Im Diagramm Elastizitätsmodul–Dichte nehmen Metalle und Keramiken den Bereich rechts oben ein, Polymere die Mitte und Elastomere und Schäume den Bereich links unten. In diesem Diagramm sind die Ellipsen achsenparallel gezeichnet; in Lehrbuchdiagrammen werden sie teilweise in die Richtung geneigt, in der sich die beiden Eigenschaften gemeinsam ändern.
Herleitung eines Materialindex: leichter Balken vorgegebener Biegesteifigkeit
Betrachtet wird ein Balken mit quadratischem Querschnitt und vorgegebener Länge L, der die Biegesteifigkeit S erfüllen und möglichst leicht sein soll; die Kantenlänge b des Querschnitts ist frei wählbar. Die Biegesteifigkeit ist S = C₁EI/L³ (C₁ ist eine von der Lagerung abhängige Konstante), das Flächenträgheitsmoment I = b⁴/12. Aus der Steifigkeitsbedingung folgt b² = (12SL³/(C₁E))^½; eingesetzt in die Masse m = ρb²L ergibt sich m = (12S/C₁)^½ · L^(5/2) · ρ/√E. Da S und L vorgegeben sind, muss zur Minimierung der Masse ρ/√E möglichst klein, also √E/ρ möglichst groß sein. Für Stahl (E = 210 GPa, ρ = 7,8 g/cm³) und eine Aluminiumlegierung (70 GPa, 2,7 g/cm³) ergibt sich zum Beispiel (2,7/√70)/(7,8/√210) ≈ 0,60: Der Balken aus der Aluminiumlegierung hat zwar einen dickeren Querschnitt, hat aber nur etwa 60 % der Masse des Stahlbalkens.
Weitere Indizes: Zugstab, Platte, Festigkeit
Nach demselben Prinzip ergeben sich die Indizes für andere Anwendungsfälle. Für einen steifigkeitsbestimmten Zugstab der Länge L folgen aus S = EA/L die Querschnittsfläche A = SL/E und die Masse m = ρAL = SL²·ρ/E; der Index ist also E/ρ. Bei der Biegung einer Platte mit vorgegebener Breite w, bei der nur die Dicke t verändert werden kann, ist die Steifigkeit proportional zu Et³; daraus folgen t ∝ E^(−1/3) und m = ρwtL ∝ ρ/∛E, der Index ist ∛E/ρ. Ist dagegen gefordert, dass der Werkstoff nicht fließt, ergibt sich für den Zugstab aus A = F/σf der Index σf/ρ, für den Balken aus der Biegespannung 6M/b³ die Beziehung b ∝ σf^(−1/3) und damit ∛(σf²)/ρ und für die Platte aus der Biegespannung 6M/(wt²) die Beziehung t ∝ σf^(−1/2) und damit √σf/ρ. Je kleiner der Exponent im Index ist, desto stärker sind Werkstoffe geringer Dichte im Vorteil; deshalb liegen Holz und Schäume bei Balken und Platten auf den vorderen Plätzen.
Steigung der Indexlinie und günstige Seite
Setzt man √E/ρ = C, so ist E = C²ρ²; logarithmiert man beide Seiten, erhält man log E = 2 log ρ + 2 log C, im Diagramm Elastizitätsmodul–Dichte also eine Gerade mit der Steigung 2. Ebenso hat E/ρ die Steigung 1 und ∛E/ρ die Steigung 3; im Diagramm Festigkeit–Dichte hat σf/ρ die Steigung 1, ∛(σf²)/ρ die Steigung 1,5 und √σf/ρ die Steigung 2. Werkstoffe auf derselben Linie sind im jeweiligen Anwendungsfall gleich leistungsfähig. Je weiter die Linie parallel nach links oben verschoben wird, desto größer ist der Indexwert; je weiter links oberhalb der Linie ein Werkstoff liegt, desto leichter lässt sich ein Bauteil gleicher Steifigkeit oder Festigkeit aus ihm herstellen. Bei der voreingestellten Linie √E/ρ = 3 GPa^½/(g/cm³) liegen nach den typischen Werten Aluminiumlegierungen (etwa 3,2), Magnesiumlegierungen, CFK und Holz in Faserrichtung auf der günstigen Seite, Stähle (etwa 1,8–1,9) dagegen auf der ungünstigen. Vertauscht man die vertikale und die horizontale Achse, liegt die günstige Seite rechts unterhalb der Linie.
Indizes für Fließen vor Bruch und thermischen Verzug
Im Diagramm Bruchzähigkeit–Festigkeit sind Linien konstanten Verhältnisses K_IC/σf Geraden mit der Steigung 1. Damit ein Bauteil mit einem Riss der Länge a nicht vor dem Fließen spröde bricht, muss bei einem Geometriefaktor von 1 die Bedingung a < (1/π)(K_IC/σf)² erfüllt sein; je größer K_IC/σf ist, desto größer darf der Riss sein, ohne dass das Bauteil vor dem Fließen bricht. Bei K_IC/σf = 0,1 √m beträgt die zulässige Risslänge etwa 3,2 mm. Der Index κ/α im Diagramm Wärmeleitfähigkeit–Längenausdehnungskoeffizient dient zur Auswahl von Werkstoffen, bei denen sich ein Bauteil, in das Wärme einströmt, durch die Temperaturunterschiede wenig verzieht (thermischer Verzug); je größer er ist, desto besser. Er wird bei der Werkstoffauswahl für Bauteile von Präzisionsgeräten verwendet. In beiden Fällen hängt der geeignete Index davon ab, wie die Festigkeits- oder Wärmebedingungen tatsächlich vorgegeben sind.
Welche Festigkeit zeigt die Festigkeitsachse?
Die Festigkeit σf in diesem Diagramm ist der in der Datenquelle als „Streckgrenze (Elastizitätsgrenze)“ angegebene Wert. Bei Metallen und Polymeren entspricht er der Streckgrenze (bei Metallen meist der 0,2-%-Dehngrenze). Bei Keramiken und Gläsern liegt dieser Wert der Quelle etwa in der Größe der Zugfestigkeit und ist nicht die Druckfestigkeit. Da die Druckfestigkeit von Keramiken weit größer ist als ihre Zugfestigkeit, zeigen manche Lehrbuchdiagramme für Keramiken die Druckfestigkeit. Prüfen Sie beim Lesen eines Diagramms daher immer, welche Festigkeit dargestellt ist. Bei Elastomeren ist es ein Wert gleich der Zugfestigkeit oder darunter (bei Naturkautschuk, Chloroprenkautschuk und Silikonkautschuk etwa gleich, bei Butylkautschuk höchstens die Hälfte), bei Verbundwerkstoffen, Schäumen und Naturwerkstoffen die Elastizitätsgrenze der Quelle. Auch die Bruchzähigkeit ist bei stark verformbaren Werkstoffen wie Gummi und Schäumen nicht im selben Sinne mit Metallen und Keramiken vergleichbar.
Ablauf der Werkstoffauswahl und Einsatz des Diagramms
Bei der Werkstoffauswahl werden zunächst aus dem Anwendungsfall „Funktion, Randbedingungen, Ziel und freie Variablen“ geklärt; dann werden die Kandidaten über zwingende Anforderungen (Einsatztemperatur, erforderliche Bruchzähigkeit, elektrische Isolation usw.) eingegrenzt, und die verbleibenden Werkstoffe werden nach dem Wert des Materialindex in eine Rangfolge gebracht. Dieses Diagramm eignet sich für diese Rangfolge und dafür, die groben Unterschiede zwischen den Werkstoffklassen zu erfassen. Auch bei gleichem Index hängt die Wahl von Bedingungen ab, die das Diagramm nicht zeigt, etwa Preis, Verarbeitbarkeit und Fügbarkeit, Korrosion oder Knicken. Gibt es zwei Ziele, die sich nicht gleichzeitig erfüllen lassen, wie Masse und Preis, legt man ein Austauschverhältnis zwischen den Zielen fest und wählt unter den Pareto-optimalen Kandidaten aus.
Zu den Werten in diesem Diagramm
Die Werte sind die Bereiche aus den Tabellen von M. F. Ashby, „Material property data for engineering materials“ (5. Auflage, 2021), veröffentlicht als Lehrmaterial zu Ansys Granta EduPack. Die Werte dieser Quelle sind mit zwei signifikanten Stellen angegeben und fassen viele Legierungen und Sorten zu breiten Bereichen zusammen. Wo die Tabellen Druckfehler oder Lücken enthielten oder stark von anderen Quellen abwichen, wurden sie mit Werten korrigiert bzw. ergänzt, die in anderen Quellen geprüft wurden: die Obergrenze der Dichte von Aluminiumoxid (3,98 g/cm³) aus der NIST-Datenbank für Strukturkeramiken, die Obergrenze der Festigkeit nichtrostender Stähle aus dem Normwert des Stahls 17-4PH, Wärmeleitfähigkeit und Längenausdehnungskoeffizient von Kalk-Natron-Glas aus der Tabelle eines Nachschlagewerks mit Quellenangaben, ein Teil der Werte für Wärmeleitfähigkeit und Längenausdehnungskoeffizient von Quarzglas aus Produktdaten von Corning und der Längenausdehnungskoeffizient von Chloroprenkautschuk aus Polymerdaten von NETZSCH. Die Bereiche der Bruchzähigkeit von Aluminiumlegierungen und der Wärmeleitfähigkeit von Titanlegierungen, Nickellegierungen, Naturstein und Chloroprenkautschuk wurden so erweitert, dass sie Werte aus ASM und anderen Quellen einschließen. Wärmeleitfähigkeit und Längenausdehnungskoeffizient der Schäume, die sich auch mit anderen Quellen nicht prüfen ließen, sind leer gelassen und in den entsprechenden Diagrammen nicht eingezeichnet. Die Werte für CFK und GFK gelten für Laminate, deren Faserrichtungen gleichmäßig in der Ebene verteilt sind; bei unidirektional ausgerichteten Fasern ist die Festigkeit in Faserrichtung wesentlich größer und quer zur Faser wesentlich kleiner. Verwenden Sie für die Auslegung Werte aus Normen, garantierte Werte der Hersteller oder Prüfwerte des tatsächlich verwendeten Werkstoffs.
Die Durchbiegung eines Balkens ist umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit EI, und das Flächenträgheitsmoment eines quadratischen Querschnitts mit der Kantenlänge b beträgt I = b⁴/12. Damit die vorgegebene Steifigkeit erreicht wird, muss Eb⁴ konstant sein, also b² ∝ 1/√E. Die Masse des Balkens ist m = ρb²L ∝ ρ/√E; zur Minimierung der Masse wählt man daher den Werkstoff mit dem größten √E/ρ. E/ρ ist der Index für einen steifigkeitsbestimmten Zugstab, bei dem die Querschnittsfläche unmittelbar eingeht. ∛E/ρ gilt für die Biegesteifigkeit einer Platte (Paneel) mit festgelegter Breite, bei der nur die Dicke verändert wird; er folgt daraus, dass die Steifigkeit proportional zur dritten Potenz der Dicke ist. Bei Biegung steigt die Steifigkeit mit der Querschnittsgröße stark an, sodass Werkstoffe mit geringer Dichte im Vorteil sind; deshalb sind Holz und CFK als Balken besonders leistungsfähig.
Mit √E/ρ = C (konstant) ist E = C²ρ²; logarithmiert ergibt sich log E = 2 log ρ + 2 log C, also eine Gerade mit der Steigung 2. Werkstoffe auf einer Parallelen zu dieser Linie sind gleichwertig, und je weiter die Linie nach links oben verschoben wird, desto größer ist √E/ρ, desto leichter lässt sich also ein Balken gleicher Steifigkeit bauen. Die Steigung 1 gehört zur Linie konstanter E/ρ (Zugstab), die Steigung 3 zur Linie konstanter ∛E/ρ (Platte). Die Steigung 1/2 entsteht durch Vertauschen der Achsen, wenn man die Steigung von log ρ = (1/2) log E + const abliest. Im doppeltlogarithmischen Diagramm erscheinen unterschiedliche Exponenten der Materialindizes als unterschiedliche Steigungen, sodass sich aus einem einzigen Schaubild die Rangfolge der Werkstoffe für jede Belastungsart ablesen lässt.
Die Masse eines Balkens mit vorgegebener Steifigkeit ist proportional zu ρ/√E. Für die Aluminiumlegierung ergibt sich 2,7/√70 = 2,7/8,37 ≈ 0,323, für Stahl 7,8/√210 = 7,8/14,5 ≈ 0,538; das Verhältnis beträgt 0,323/0,538 ≈ 0,60, also ca. das 0,60-Fache. Da der Elastizitätsmodul der Aluminiumlegierung nur ein Drittel beträgt, muss ihr Querschnitt größer sein, doch dank der geringen Dichte ist der Balken insgesamt um etwa 40 % leichter. Ca. 0,35-fach betrachtet nur das Dichteverhältnis (2,7/7,8) und übersieht, dass der Querschnitt für gleiche Steifigkeit größer werden muss. Ca. 1,04-fach gilt, wenn die Masse wie beim Zugstab proportional zu ρ/E ist; beim Zugstab sind Aluminiumlegierung und Stahl fast gleich schwer.
Häufige Fragen
Warum sind beide Achsen logarithmisch geteilt?
Weil sich die Eigenschaftswerte von Werkstoff zu Werkstoff um mehrere Zehnerpotenzen unterscheiden und bei linearer Teilung viele Werkstoffe in der Nähe des Ursprungs zusammengedrängt würden. Außerdem werden Linien konstanter Indizes in Potenzform wie √E/ρ im doppeltlogarithmischen Diagramm zu Geraden, und aus der Steigung lässt sich die Form des Index ablesen.
Wie wählt man zwischen Werkstoffen, deren Ellipsen sich überlappen?
Überlappende Ellipsen bedeuten, dass sich die Werkstoffe anhand dieser beiden Eigenschaften nicht unterscheiden lassen. Verglichen wird dann mit Diagrammen anderer Eigenschaften oder nach Bedingungen wie Preis, Verarbeitbarkeit und Einsatzumgebung. Die Breite einer Ellipse spiegelt Unterschiede zwischen Sorten und Herstellverfahren wider; nach dem Eingrenzen der Kandidaten prüft man daher mit den Werten der tatsächlich verwendeten Sorte.
Ergeben Werkstoffe mit gleichem Indexwert immer gleichwertige Bauteile?
Die Masse ist nur für den Anwendungsfall und die Bedingungen gleich, unter denen der Index hergeleitet wurde (zum Beispiel ein Balken mit quadratischem Querschnitt, dessen Masse bei vorgegebener Biegesteifigkeit minimiert wird). Lässt sich die Querschnittsform verändern oder spielen Knicken, örtliches Fließen oder der Preis eine Rolle, muss mit anderen Indizes oder Bedingungen geprüft werden.
Für welche Richtung gelten die Werte von CFK und Holz?
Holz ist in Faserrichtung und quer zur Faser als zwei getrennte Werkstoffe eingezeichnet. Die Werte für CFK und GFK gelten für quasiisotrope Laminate, deren Faserrichtungen gleichmäßig in der Ebene verteilt sind. Bei CFK mit unidirektional ausgerichteten Fasern hängen die Eigenschaften stark von der Richtung ab. Mit einer Standard-Kohlenstofffaser (Toray T700S) und Epoxidharz bei 60 % Faservolumenanteil beträgt der Elastizitätsmodul in Faserrichtung zum Beispiel etwa 134 GPa und die Zugfestigkeit etwa 2,9 GPa – die Festigkeit liegt also weit über dem Bereich in diesem Diagramm –, quer zur Faser beträgt die Zugfestigkeit aber nur etwa 81 MPa.