Materialindex (Leistungsindex): Was ist damit gemeint?

Lösung: A. σf/ρ

Die Bedingung gegen Fließen lautet F/A ≤ σf, die nötige Querschnittsfläche ist also A = F/σf. Die Masse des Zugstabs beträgt m = ρAL = FL(ρ/σf); da F und L festliegen, ist zur Minimierung der Masse der Werkstoff mit dem größten σf/ρ (spezifische Festigkeit) zu wählen. E/ρ (spezifischer Elastizitätsmodul) ist der Index, der bei einem Zugstab zu maximieren ist, bei dem nicht die Festigkeit, sondern die Verlängerung, also die Steifigkeit, die Randbedingung bildet. ∛(σf²)/ρ ist der Index für einen auf Biegung beanspruchten Balken, dessen Querschnittsgröße so verändert wird, dass er nicht fließt; er ergibt sich daraus, dass sich die Biegespannung bei Änderung der Querschnittsgröße umgekehrt proportional zur dritten Potenz der Abmessung ändert. Entscheidend ist, dass sich der Index auch bei derselben Forderung „leicht und fest“ mit der Art der Belastung ändert.

Lösung: B. √E/ρ

Die Durchbiegung eines Balkens ist umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit EI, und das Flächenträgheitsmoment eines quadratischen Querschnitts mit der Kantenlänge b beträgt I = b⁴/12. Damit die vorgegebene Steifigkeit erreicht wird, muss Eb⁴ konstant sein, also b² ∝ 1/√E. Die Masse des Balkens ist m = ρb²L ∝ ρ/√E; zur Minimierung der Masse wählt man daher den Werkstoff mit dem größten √E/ρ. E/ρ ist der Index für einen steifigkeitsbestimmten Zugstab, bei dem die Querschnittsfläche unmittelbar eingeht. ∛E/ρ gilt für die Biegesteifigkeit einer Platte (Paneel) mit festgelegter Breite, bei der nur die Dicke verändert wird; er folgt daraus, dass die Steifigkeit proportional zur dritten Potenz der Dicke ist. Bei Biegung steigt die Steifigkeit mit der Querschnittsgröße stark an, sodass Werkstoffe mit geringer Dichte im Vorteil sind; deshalb sind Holz und CFK als Balken besonders leistungsfähig.