Ein Balken mit quadratischem Querschnitt, festgelegter Länge und festgelegter Biegesteifigkeit soll durch freie Wahl der Querschnittsgröße möglichst leicht werden. Welcher Materialindex ist zu maximieren, wenn E der Elastizitätsmodul und ρ die Dichte ist?

Lösung: B. √E/ρ

Die Durchbiegung eines Balkens ist umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit EI, und das Flächenträgheitsmoment eines quadratischen Querschnitts mit der Kantenlänge b beträgt I = b⁴/12. Damit die vorgegebene Steifigkeit erreicht wird, muss Eb⁴ konstant sein, also b² ∝ 1/√E. Die Masse des Balkens ist m = ρb²L ∝ ρ/√E; zur Minimierung der Masse wählt man daher den Werkstoff mit dem größten √E/ρ. E/ρ ist der Index für einen steifigkeitsbestimmten Zugstab, bei dem die Querschnittsfläche unmittelbar eingeht. ∛E/ρ gilt für die Biegesteifigkeit einer Platte (Paneel) mit festgelegter Breite, bei der nur die Dicke verändert wird; er folgt daraus, dass die Steifigkeit proportional zur dritten Potenz der Dicke ist. Bei Biegung steigt die Steifigkeit mit der Querschnittsgröße stark an, sodass Werkstoffe mit geringer Dichte im Vorteil sind; deshalb sind Holz und CFK als Balken besonders leistungsfähig.