長さと曲げ剛性が決まっている正方形断面の梁を、断面の大きさを自由に変えて最も軽くつくりたい。ヤング率をE、密度をρとすると、最大にすべき性能指数はどれか。

正解：B. √E/ρ

梁のたわみは曲げ剛性 EI に反比例し、正方形断面(一辺b)の断面二次モーメントは I = b⁴/12 です。決められた剛性を満たすには Eb⁴ が一定でなければならないので、b² ∝ 1/√E となります。梁の質量は m = ρb²L ∝ ρ/√E なので、質量を最小にするには √E/ρ が最大の材料を選びます。E/ρ は引張のタイの剛性で決まる場合の指数で、断面積がそのまま効くときに使います。∛E/ρ は、幅が決まっていて厚さだけを変える板(パネル)の曲げ剛性の場合で、剛性が厚さの3乗に比例することから来ます。曲げでは断面の大きさを変えると剛性が急に増えるので、密度の小さい材料ほど有利になり、木材やCFRPが梁で強みをもつ理由になります。