Aus den Elastizitätsmoduln von Faser und Matrix und dem Faservolumenanteil schätzt der Rechner den Elastizitätsmodul des Verbundwerkstoffs mit der Mischungsregel ab. In Faserrichtung gilt die Gleichung für gleiche Dehnung (parallel geschaltete Federn), senkrecht zur Faser die Gleichung für gleiche Spannung (in Reihe geschaltete Federn). Voreingestellt ist ein unidirektionales Material aus Kohlenstofffasern (230 GPa, 1,80 g/cm³) mit 60 % Volumenanteil in Epoxidharz (3,5 GPa, 1,20 g/cm³); in Faserrichtung ergeben sich etwa 139 GPa, senkrecht dazu etwa 8,6 GPa.
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Senkrecht zur Faser E₂ (gleiche Spannung, Reuss, Untergrenze)
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Anisotropie E₁/E₂
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Lastanteil der Fasern in Faserrichtung
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Spezifische Steifigkeit
Faserrichtung E₁/ρ
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Senkrecht zur Faser E₂/ρ
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Index für leichte, steife Balken √E₁/ρ (GPa^½/(g/cm³))
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Die Gleichungen für gleiche Dehnung und gleiche Spannung sind Richtwerte für die Ober- und die Untergrenze des Elastizitätsmoduls. Der tatsächliche Modul senkrecht zur Faser ist oft etwas größer als nach der Gleichung für gleiche Spannung und wird z. B. mit den Halpin-Tsai-Gleichungen korrigiert. Bei Kurzfaser- und Partikelverbunden sowie bei porenhaltigen Werkstoffen weichen die tatsächlichen Werte hiervon ab.
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Gleichung für gleiche Dehnung (parallel, Voigt)
Zieht man parallel zu den Fasern, dehnen sich Faser und Matrix wie parallel geschaltete Federn um denselben Betrag. Da die Dehnungen gleich sind, ist die Gesamtspannung ein mit den Volumenanteilen gewichteter Mittelwert, und man erhält E₁ = VfEf + VmEm. Mit den Standardwerten ergibt sich 0,60 × 230 + 0,40 × 3,5 ≈ 139 GPa. Der Anteil der Last, den die Fasern tragen, beträgt dabei VfEf/E₁, mit den Standardwerten etwa 99 %. Auch wenn die Fasern nur etwa die Hälfte des Volumens ausmachen, bestimmen sie Steifigkeit und Festigkeit in Faserrichtung nahezu allein.
Gleichung für gleiche Spannung (Reihe, Reuss)
Zieht man senkrecht zu den Fasern, erfahren Faser und Matrix wie in Reihe geschaltete Federn dieselbe Spannung, und die Dehnungen addieren sich gewichtet mit den Volumenanteilen. Daher gilt 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em, und der Einfluss der weichen Matrix tritt stark hervor. Mit den Standardwerten ergibt sich 1/(0,60/230 + 0,40/3,5) ≈ 8,6 GPa, etwa ein Sechzehntel des Werts in Faserrichtung. Bei gleichem Volumenanteil liefert die Gleichung für gleiche Dehnung die Obergrenze und die Gleichung für gleiche Spannung die Untergrenze (Voigt- und Reuss-Grenze).
Volumenanteil und Massenanteil
In die Mischungsregel geht der Volumenanteil ein. In der Fertigung wird oft der Fasermassenanteil kontrolliert, daher rechnet man über die Dichten um: Vf = (Wf/ρf)/(Wf/ρf + (1 − Wf)/ρm). Für Kohlenstofffaser (1,80 g/cm³) und Epoxidharz (1,20 g/cm³) entspricht ein Massenanteil von 70 % einem Volumenanteil von etwa 61 %. Ist die Faser dichter als die Matrix, ist der Volumenanteil kleiner als der Massenanteil. Die Dichte des Verbundwerkstoffs beträgt ohne Poren ρ = Vfρf + Vmρm.
Spezifische Steifigkeit und Werkstoffauswahl
Wie steif ein Werkstoff bei gleichem Gewicht ist, vergleicht man über die spezifische Steifigkeit E/ρ. Stahl (210 GPa, 7,9 g/cm³) liegt bei etwa 27 GPa/(g/cm³), Aluminium- und Titanlegierungen nahezu gleich. Das voreingestellte CFK erreicht in Faserrichtung etwa 89 GPa/(g/cm³), also mehr als das Dreifache, senkrecht dazu mit etwa 5,5 jedoch weniger als Stahl. Für den leichtesten Balken bei vorgegebener Biegesteifigkeit ist der Index √E/ρ maßgebend: Stahl erreicht etwa 1,8, das voreingestellte CFK in Faserrichtung etwa 7,6. In realen Bauteilen werden Lagen mit unterschiedlicher Faserorientierung gestapelt, um die Richtungsabhängigkeit auszugleichen, weshalb der Vorteil bei der spezifischen Steifigkeit kleiner ausfällt.
AZug parallel zu den Fasern wird mit der Form für gleiche Dehnung, Zug senkrecht dazu mit der Form für gleiche Spannung angenähert
BZug parallel zu den Fasern wird mit der Form für gleiche Spannung, Zug senkrecht dazu mit der Form für gleiche Dehnung angenähert
CIn beiden Richtungen gilt die Form für gleiche Dehnung, und der E-Modul hängt nicht von der Faserrichtung ab
Lösung und Erläuterung anzeigen
Lösung: A. Zug parallel zu den Fasern wird mit der Form für gleiche Dehnung, Zug senkrecht dazu mit der Form für gleiche Spannung angenähert
Bei Zug parallel zu den Fasern dehnen sich Faser und Matrix wie parallel geschaltete Federn gleich stark, sodass die Gleichung für gleiche Dehnung E₁ = VfEf + VmEm gilt. Bei Zug senkrecht zu den Fasern erfahren Faser und Matrix wie in Reihe geschaltete Federn dieselbe Spannung, und es wird mit der Gleichung für gleiche Spannung 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em angenähert. Bei gleichem Volumenanteil liefert die Gleichung für gleiche Dehnung die obere und die für gleiche Spannung die untere Schranke des Elastizitätsmoduls (Voigt- und Reuss-Schranke). Die Aussage, die parallel gleiche Spannung und senkrecht gleiche Dehnung ansetzt, vertauscht parallel und senkrecht. Der Elastizitätsmodul eines unidirektionalen Werkstoffs unterscheidet sich in Faserrichtung und quer dazu stark; auch die Aussage, er sei richtungsunabhängig, ist falsch. Der reale Quermodul ist meist etwas größer als nach der Gleichung für gleiche Spannung und wird z. B. mit den Halpin-Tsai-Gleichungen korrigiert.
Senkrecht zu den Fasern werden Faser und Harz als in Reihe angeordnet betrachtet, die dieselbe Spannung erfahren, und es gilt 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em. 1/E₂ = 0,50/72 + 0,50/3,0 = 0,00694 + 0,1667 = 0,1736 GPa⁻¹, also E₂ = 1/0,1736 ≈ 5,76 GPa, etwa 5,8 GPa. Ca. 37,5 GPa ist der mit der Gleichung für gleiche Dehnung 0,50 × 72 + 0,50 × 3,0 berechnete Elastizitätsmodul in Faserrichtung. Ca. 0,17 GPa vergisst, den Kehrwert zu bilden. Der Quermodul bleibt nahe beim Elastizitätsmodul des weichen Harzes und beträgt nur etwa 15 % (etwa 1/6,5) des Werts in Faserrichtung. Deshalb werden unidirektionale Werkstoffe nicht für Bauteile verwendet, die quer zur Faser belastet werden.
Der spezifische E-Modul beträgt bei CFK 140/1,6 = 87,5 und bei Stahl 210/7,9 ≈ 26,6 (beide in GPa/(g/cm³)), das Verhältnis also 87,5/26,6 ≈ 3,3. Der Elastizitätsmodul selbst ist bei CFK zwar kleiner, doch die Dichte beträgt nur etwa ein Fünftel, sodass CFK bei gleichem Gewicht etwa die 3,3-fache Steifigkeit hat. Ca. 0,67 vergleicht nur die Elastizitätsmoduln (140/210), ca. 4,9 nur das Dichteverhältnis (7,9/1,6). Dieser Wert gilt allerdings nur in Faserrichtung; quer zur Faser ist der spezifische E-Modul weit kleiner als der von Stahl. In realen Strukturen werden die Richtungen durch den Lagenaufbau ausgeglichen, sodass der Vorteil der spezifischen Steifigkeit kleiner als dieser Wert ausfällt.
Häufige Fragen
Welche Gleichung sollte ich verwenden?
Wird unidirektionales Material mit Endlosfasern parallel zu den Fasern gezogen, rechnet man näherungsweise mit der Gleichung für gleiche Dehnung, senkrecht dazu mit der Gleichung für gleiche Spannung. Der Elastizitätsmodul von Partikelverbunden und Kurzfaserwerkstoffen liegt in der Regel zwischen den Werten der beiden Gleichungen.
Lässt sich die Mischungsregel auch auf die Festigkeit anwenden?
Die Festigkeit in Faserrichtung wird manchmal mit σc ≈ Vfσf + Vmσm′ abgeschätzt, wobei σm′ die Spannung der Matrix bei der Bruchdehnung der Faser ist. Die Festigkeit wird jedoch stark von Fehlern, der Haftung an der Grenzfläche und der Faserlänge (kritische Faserlänge) beeinflusst und stimmt nicht so gut überein wie der Elastizitätsmodul.
Warum liefert die Voigt-Gleichung eine Obergrenze?
Bei vorgegebener mittlerer Dehnung stellt sich die Dehnungsverteilung im Werkstoff so ein, dass die elastische Formänderungsenergie minimal wird (Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie). Eine gleichmäßige Dehnung ist nur eine der möglichen Verteilungen; die damit berechnete Energie, also der Elastizitätsmodul nach der Gleichung für gleiche Dehnung, ist daher mindestens so groß wie der wahre Wert. Tatsächlich sinkt die Energie, weil sich die weiche Matrix stärker dehnt. Entsprechend ergibt die Annahme einer gleichmäßigen Spannung eine Ergänzungsenergie, die mindestens so groß wie der wahre Wert ist, weshalb die Gleichung für gleiche Spannung eine Untergrenze liefert. Strenge Grenzen für den Elastizitätsmodul sind die beiden Gleichungen nur, wenn die Querkontraktionszahlen beider Phasen gleich sind; sind sie verschieden, kann der Modul unidirektionalen Materials in Faserrichtung den Wert für gleiche Dehnung geringfügig übersteigen. In Faserrichtung ist die tatsächliche Dehnung in unidirektionalem Material nahezu gleichmäßig, daher passt die Gleichung für gleiche Dehnung dort gut.