混合法則計算工具

由纖維與基材的楊氏模數及纖維的體積分率,以混合法則估算複合材料的楊氏模數。纖維方向使用等應變(並聯的彈簧)的式子,垂直纖維的方向使用等應力(串聯的彈簧)的式子。預設值是將碳纖維(230 GPa,1.80 g/cm³)以體積分率60 %加入環氧樹脂(3.5 GPa,1.20 g/cm³)的單向材,纖維方向約為139 GPa,垂直方向約為8.6 GPa。

輸入(連續纖維的單向材,無孔隙,彈性範圍內)

結果

纖維的體積分率 Vf
–
纖維的質量分率 Wf
–
複合材料的密度 ρ
–

楊氏模數(混合法則)

纖維方向 E₁(等應變,Voigt,上限)
–
垂直方向 E₂(等應力,Reuss,下限)
–
異向性 E₁/E₂
–
纖維方向的負荷中由纖維承擔的比例
–

比剛性

纖維方向 E₁/ρ
–
垂直方向 E₂/ρ
–
輕而剛的梁的指標 √E₁/ρ (GPa^½/(g/cm³))
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等應變式與等應力式是楊氏模數上限與下限的估計。實際的垂直方向楊氏模數常比等應力式稍大,會以Halpin-Tsai式等加以修正。短纖維或粒子分散的材料、含孔隙的材料,會偏離這些值。

等應變式(並聯,Voigt)

平行纖維拉伸時,纖維與基材像並聯的彈簧一樣伸長相同的量。由於應變相等,整體的應力是以體積分率加權的平均,得到 E₁ = VfEf + VmEm。預設值為 0.60 × 230 + 0.40 × 3.5 ≈ 139 GPa。此時負荷中由纖維承擔的比例為 VfEf/E₁,預設值約為99 %。即使纖維的體積只有一半左右,纖維方向的剛性與強度幾乎由纖維決定。

等應力式(串聯,Reuss)

垂直纖維拉伸時,纖維與基材像串聯的彈簧一樣承受相同的應力,應變按體積分率相加。因此 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em,柔軟基材的影響很強。預設值為 1/(0.60/230 + 0.40/3.5) ≈ 8.6 GPa,約為纖維方向的16分之1。在相同體積分率下比較,等應變式給出上限,等應力式給出下限(Voigt與Reuss界限)。

體積分率與質量分率

混合法則使用的是體積分率。製造時常以纖維的質量分率管理,因此以密度換算:Vf = (Wf/ρf)/(Wf/ρf + (1 − Wf)/ρm)。碳纖維(1.80 g/cm³)與環氧樹脂(1.20 g/cm³)時,質量分率70 %相當於體積分率約61 %。纖維的密度比基材大時,體積分率小於質量分率。沒有孔隙時,複合材料的密度為 ρ = Vfρf + Vmρm。

比剛性與材料選擇

以相同重量比較有多剛,使用比剛性 E/ρ。鋼(210 GPa,7.9 g/cm³)約為27 GPa/(g/cm³),鋁合金與鈦合金也幾乎相同。預設值的CFRP在纖維方向約為89 GPa/(g/cm³),是3倍以上,但在垂直方向約為5.5,比鋼小。決定彎曲剛性而選擇最輕的梁時,指標為 √E/ρ,鋼約為1.8,預設值的纖維方向約為7.6。實際零件以改變纖維方向的層疊層來補足方向性的差異,因此比剛性的優勢會比這個值小。

練習複合材料的題目

對於單向排列的連續纖維複合材料,混合法則等應變式與等應力式的使用區分,下列何者正確?

  1. A平行纖維拉伸時以等應變式、垂直纖維拉伸時以等應力式近似
  2. B平行纖維拉伸時以等應力式、垂直纖維拉伸時以等應變式近似
  3. C無論哪個方向等應變式都成立,楊氏模數與纖維方向無關
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正確答案:A. 平行纖維拉伸時以等應變式、垂直纖維拉伸時以等應力式近似

平行纖維拉伸時,纖維與基材像並聯的彈簧一樣伸長相同的量,因此等應變式 E₁ = VfEf + VmEm 成立。垂直纖維拉伸時,纖維與基材像串聯的彈簧一樣承受相同的應力,因此以等應力式 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em 近似。在相同體積分率下比較,等應變式給出楊氏模數的上限,等應力式給出下限(Voigt與Reuss界限)。平行時用等應力式、垂直時用等應變式的選項,是把平行與垂直弄反的錯誤。單向材的楊氏模數在纖維方向與垂直方向差異很大,與方向無關的說明也是錯誤的。實際的垂直方向楊氏模數,常比等應力式稍大,會以Halpin-Tsai式等加以修正。

有一以體積分率50%單向放入玻璃纖維(楊氏模數72 GPa)的樹脂(楊氏模數3.0 GPa)複合材料。以等應力混合法則估算垂直纖維方向的楊氏模數,最接近下列何者?

  1. A約5.8 GPa
  2. B約37.5 GPa
  3. C約0.17 GPa
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正確答案:A. 約5.8 GPa

在垂直纖維的方向上,視纖維與樹脂串聯排列而承受相同應力,使用 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em。1/E₂ = 0.50/72 + 0.50/3.0 = 0.00694 + 0.1667 = 0.1736 GPa⁻¹,因此 E₂ = 1/0.1736 ≈ 5.76 GPa,約5.8 GPa。約37.5 GPa 是以等應變式 0.50 × 72 + 0.50 × 3.0 求得的纖維方向楊氏模數。約0.17 GPa 是忘了取倒數的值。垂直方向的楊氏模數只停留在接近柔軟樹脂楊氏模數的值,僅為纖維方向的約15%(約6.5分之1)。單向材不用於在垂直方向受力的零件,原因就在這裡。

單向CFRP(纖維方向楊氏模數140 GPa,密度1.6 g/cm³)與鋼(楊氏模數210 GPa,密度7.9 g/cm³)在纖維方向的比彈性模數(楊氏模數/密度)之比 CFRP/鋼 最接近下列何者?

  1. A約0.67
  2. B約3.3
  3. C約4.9
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正確答案:B. 約3.3

比彈性模數 CFRP 為 140/1.6 = 87.5,鋼為 210/7.9 ≈ 26.6(單位皆為 GPa/(g/cm³)),因此比值為 87.5/26.6 ≈ 3.3。楊氏模數本身 CFRP 較小,但密度約為5分之1,因此以相同重量比較時剛性約為3.3倍。約0.67 是只比較楊氏模數的值(140/210),約4.9 是只看密度比(7.9/1.6)的值。不過,這個值只適用於纖維方向,在垂直纖維的方向上,比彈性模數遠小於鋼。實際結構以疊層補足方向性,因此比剛性的優勢會小於這個值。

常見問題

應該使用哪一個式子?

連續纖維的單向材平行纖維拉伸時以等應變式、垂直拉伸時以等應力式近似。粒子分散材料或短纖維材料的楊氏模數,通常落在兩個式子之間。

強度也可以使用混合法則嗎?

纖維方向的強度,有時使用纖維斷裂應變下基材的應力,以 σc ≈ Vfσf + Vmσm′ 估算。不過強度受缺陷、界面黏著與纖維長度(臨界纖維長度)的影響很強,吻合程度不如楊氏模數。

為什麼Voigt式是上限?

施加相同的平均應變時,材料內部的應變分布會使彈性應變能最小(最小位能原理)。均勻的應變(等應變)只是可能的分布之一,因此由它計算的能量,也就是等應變式的楊氏模數,會在真實值以上。實際上柔軟的基材應變較大,使能量降低。同樣地,假設均勻的應力時,餘能會在真實值以上,因此等應力式給出下限。兩相的蒲松比相等時,這兩個式子才是楊氏模數嚴格的界限;若不相等,單向材纖維方向的楊氏模數有時會稍微超過等應變的值。單向材的纖維方向實際應變幾乎均勻,因此等應變式吻合得很好。

相關名詞

混合法則 CFRP(碳纖維強化塑膠) GFRP(玻璃纖維強化塑膠) 比剛性 臨界纖維長度

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