섬유와 기지(매트릭스)의 영률, 섬유의 부피 분율로부터 복합재료의 영률을 혼합 법칙으로 추정합니다. 섬유 방향은 등변형률(병렬 스프링), 섬유에 수직인 방향은 등응력(직렬 스프링)의 식을 사용합니다. 기본값은 탄소 섬유(230 GPa, 1.80 g/cm³)를 부피 분율 60 %로 에폭시 수지(3.5 GPa, 1.20 g/cm³)에 넣은 일방향재로, 섬유 방향은 약 139 GPa, 수직 방향은 약 8.6 GPa입니다.
입력한 조건은 이 페이지의 URL에 담기므로, 북마크하거나 링크를 공유하면 같은 계산을 열 수 있습니다. 즐겨찾기와 최근 사용한 도구는 이 브라우저(localStorage)에만 저장됩니다.
결과
섬유의 부피 분율 Vf
–
섬유의 질량 분율 Wf
–
복합재료의 밀도 ρ
–
영률(혼합 법칙)
섬유 방향 E₁(등변형률, Voigt, 상한)
–
수직 방향 E₂(등응력, Reuss, 하한)
–
이방성 E₁/E₂
–
섬유 방향 하중 중 섬유의 분담 비율
–
비강성
섬유 방향 E₁/ρ
–
수직 방향 E₂/ρ
–
가볍고 강성이 높은 보의 지수 √E₁/ρ (GPa^½/(g/cm³))
–
등변형률 식과 등응력 식은 영률의 상한과 하한의 기준입니다. 실제 수직 방향의 영률은 등응력 식보다 약간 큰 경우가 많으며, 할핀-차이(Halpin–Tsai) 식 등으로 보정합니다. 단섬유나 입자 분산 재료, 기공을 포함한 재료에서는 이 값에서 벗어납니다.
그래프로 보기
다른 입력은 현재 값 그대로 두고, 선택한 입력만 현재 값의 1/4배에서 4배 범위로 바꾸었을 때의 결과입니다. 빨간 점이 현재 값입니다.
등변형률 식(병렬, Voigt)
섬유에 평행하게 잡아당기면 섬유와 기지는 병렬로 연결한 스프링처럼 같은 양만큼 늘어납니다. 변형률이 같으므로 전체 응력은 부피 분율로 가중한 평균이 되어 E₁ = VfEf + VmEm이 얻어집니다. 기본값에서는 0.60 × 230 + 0.40 × 3.5 ≈ 139 GPa입니다. 이때 하중 중 섬유가 분담하는 비율은 VfEf/E₁로, 기본값에서는 약 99 %가 됩니다. 섬유의 부피가 절반 정도여도 섬유 방향의 강성과 강도는 거의 섬유로 결정됩니다.
등응력 식(직렬, Reuss)
섬유에 수직으로 잡아당기면 섬유와 기지는 직렬로 연결한 스프링처럼 같은 응력을 받고, 변형률이 부피 분율에 따라 더해집니다. 그래서 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em이 되어, 부드러운 기지의 영향이 강하게 나타납니다. 기본값에서는 1/(0.60/230 + 0.40/3.5) ≈ 8.6 GPa로, 섬유 방향의 약 16분의 1입니다. 같은 부피 분율로 비교하면 등변형률 식은 상한, 등응력 식은 하한을 줍니다(보이트와 로이스의 한계).
부피 분율과 질량 분율
혼합 법칙에 사용하는 것은 부피 분율입니다. 제조에서는 섬유의 질량 분율로 관리하는 경우가 많으므로 밀도로 환산합니다. Vf = (Wf/ρf)/(Wf/ρf + (1 − Wf)/ρm)이며, 탄소 섬유(1.80 g/cm³)와 에폭시(1.20 g/cm³)라면 질량 분율 70 %는 부피 분율 약 61 %입니다. 섬유의 밀도가 기지보다 크면 부피 분율은 질량 분율보다 작아집니다. 복합재료의 밀도는 기공이 없다면 ρ = Vfρf + Vmρm입니다.
비강성과 재료 선택
같은 무게로 얼마나 강성이 높은지는 비강성 E/ρ로 비교합니다. 강(210 GPa, 7.9 g/cm³)은 약 27 GPa/(g/cm³)이며, 알루미늄 합금과 티타늄 합금도 거의 같습니다. 기본값의 CFRP는 섬유 방향에서 약 89 GPa/(g/cm³)로 3배 이상이지만, 수직 방향에서는 약 5.5로 강보다 작아집니다. 굽힘 강성을 정하고 가장 가벼운 보를 고를 때의 지수는 √E/ρ로, 강의 약 1.8에 비해 기본값의 섬유 방향은 약 7.6입니다. 실제 부품에서는 섬유 방향을 바꾼 층을 겹쳐 쌓아 방향에 따른 차이를 보완하므로, 비강성의 이점은 이보다 작아집니다.
정답: A. 섬유에 평행하게 인장할 때는 등변형률 식, 수직으로 인장할 때는 등응력 식으로 근사한다
섬유에 평행하게 인장하면 섬유와 기지는 병렬로 연결된 스프링처럼 같은 만큼 늘어나므로, 등변형률 식 E₁ = VfEf + VmEm이 성립합니다. 섬유에 수직으로 인장하면 섬유와 기지는 직렬 스프링처럼 같은 응력을 받으므로, 등응력 식 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em으로 근사합니다. 같은 부피 분율로 비교하면 등변형률 식은 영률의 상한, 등응력 식은 하한을 줍니다(보이트와 로이스의 한계). 평행 방향에 등응력 식, 수직 방향에 등변형률 식을 적용하는 설명은 평행과 수직을 반대로 한 오류입니다. 일방향재의 영률은 섬유 방향과 수직 방향에서 크게 다르므로, 방향과 관계없다는 설명도 틀립니다. 실제 수직 방향의 영률은 등응력 식보다 약간 큰 경우가 많아, 할핀-차이 식 등으로 보정합니다.
섬유에 수직인 방향에서는 섬유와 수지가 직렬로 배열되어 같은 응력을 받는다고 보고 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em을 사용합니다. 1/E₂ = 0.50/72 + 0.50/3.0 = 0.00694 + 0.1667 = 0.1736 GPa⁻¹이므로 E₂ = 1/0.1736 ≈ 5.76 GPa, 약 5.8 GPa입니다. 약 37.5 GPa는 등변형률 식 0.50 × 72 + 0.50 × 3.0으로 구한 섬유 방향의 영률입니다. 약 0.17 GPa는 역수를 취하는 것을 잊은 값입니다. 수직 방향의 영률은 부드러운 수지의 영률에 가까운 값에 머물러, 섬유 방향의 약 15%(약 6.5분의 1)밖에 되지 않습니다. 일방향재를 수직 방향으로 힘이 걸리는 부품에 사용하지 않는 것은 이 때문입니다.
비탄성률은 CFRP가 140/1.6 = 87.5, 강이 210/7.9 ≈ 26.6(단위는 모두 GPa/(g/cm³))이므로 비는 87.5/26.6 ≈ 3.3입니다. 영률 자체는 CFRP 쪽이 작지만 밀도가 약 5분의 1이므로, 같은 무게로 비교하면 약 3.3배의 강성이 됩니다. 약 0.67은 영률만 비교한 값(140/210), 약 4.9는 밀도의 비(7.9/1.6)만 본 값입니다. 다만 이 값은 섬유 방향에 한한 것으로, 섬유에 수직인 방향에서는 비탄성률이 강보다 훨씬 작아집니다. 실제 구조에서는 적층으로 방향을 보완하므로 비강성의 이점은 이 값보다 작아집니다.
자주 묻는 질문
어느 식을 사용하면 됩니까?
연속 섬유 일방향재를 섬유에 평행하게 잡아당길 때는 등변형률 식, 수직으로 잡아당길 때는 등응력 식으로 근사합니다. 입자를 분산시킨 재료나 단섬유 재료의 영률은 보통 두 식의 사이에 들어갑니다.
강도에도 혼합 법칙을 사용할 수 있습니까?
섬유 방향의 강도는 섬유가 파단될 때의 변형률에서의 기지 응력을 사용해 σc ≈ Vfσf + Vmσm′으로 추정하기도 합니다. 다만 강도는 결함이나 계면의 접착, 섬유의 길이(임계 섬유 길이)의 영향을 강하게 받아 영률만큼 잘 맞지는 않습니다.
왜 Voigt 식이 상한이 됩니까?
같은 평균 변형률을 주었을 때 재료 속 변형률의 분포는 탄성 변형 에너지가 가장 작아지도록 정해집니다(최소 퍼텐셜 에너지의 원리). 균일한 변형률(등변형률)은 가능한 분포 중 하나에 불과하므로, 그것으로 계산한 에너지, 즉 등변형률 식의 영률은 참값 이상이 됩니다. 실제로는 부드러운 기지 쪽이 크게 변형됨으로써 에너지가 낮아집니다. 마찬가지로 균일한 응력을 가정하면 상보 에너지(complementary energy)가 참값 이상이 되므로 등응력 식은 하한이 됩니다. 이 두 식이 영률의 엄밀한 한계가 되는 것은 두 상의 푸아송비가 같을 때이며, 다르면 일방향재의 섬유 방향 영률은 등변형률 값을 약간 웃도는 경우가 있습니다. 일방향재의 섬유 방향에서는 실제 변형률이 거의 균일하므로 등변형률 식이 잘 맞습니다.