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열팽창·열응력 계산 도구

재료의 온도가 바뀌면 선팽창 계수 α에 비례하여 늘어나거나 줄어듭니다. 자유롭게 신축할 수 있으면 응력은 생기지 않지만, 구속되면 열응력이 됩니다. 기본값은 길이 1000 mm의 강봉(α = 12×10⁻⁶ K⁻¹, E = 200 GPa)을 20 ℃에서 70 ℃로 가열하는 예로, 자유로우면 0.60 mm 늘어나고, 양 끝을 움직이지 않는 벽으로 고정하면 약 120 MPa의 압축 응력이 됩니다.

입력(탄성 범위, 물성값은 온도에 따라 변하지 않는 것으로 가정)

결과

온도 변화 ΔT
–
자유 늘어남 ΔL = αLΔT
–
열변형률 αΔT
–

구속했을 때의 열응력

열응력 σ(인장이 양)
–
응력의 방향
–
|σ|가 강도에 도달하는 온도 변화 ΔTc
–

αs는 봉을 고정하고 있는 틀이나 박막 기판의 선팽창 계수입니다. 구속하는 쪽은 강성이 충분히 높은(변형하지 않는) 것으로 보고, 열응력은 −E(α − αs)ΔT(등이축에서는 ÷(1 − ν))로 계산합니다. 물성값의 온도 의존성, 소성 변형이나 크리프에 의한 응력 완화는 고려하지 않습니다.

열팽창의 식

고체의 길이는 온도가 올라가면 원자 간 평균 거리가 넓어지기 때문에 늘어납니다. 온도 범위가 너무 넓지 않으면 늘어남은 온도 변화에 비례하며, ΔL = αLΔT로 쓸 수 있습니다. α는 선팽창 계수로, 강은 약 12×10⁻⁶ K⁻¹, 알루미늄은 약 23×10⁻⁶ K⁻¹, 실리콘은 약 2.6×10⁻⁶ K⁻¹, 석영 유리는 약 0.5×10⁻⁶ K⁻¹입니다. 등방성 재료의 체적 팽창 계수는 대략 3α가 됩니다. 원자 간 결합이 강하고 융점이 높은 재료일수록 α는 작은 경향이 있습니다.

구속되었을 때의 열응력

양 끝을 움직이지 않는 벽으로 고정한 봉을 가열하면, 늘어나려는 열변형률 αΔT를 같은 크기의 탄성 변형률이 상쇄합니다. 그래서 열응력은 σ = −EαΔT가 되며, 가열하면 압축, 냉각하면 인장이 됩니다. 응력은 봉의 길이와 관계없이 E와 α의 곱으로 정해집니다. 기본값의 강에서는 200×10⁹ × 12×10⁻⁶ × 50 = 1.2×10⁸ Pa, 약 120 MPa의 압축입니다. 틀 쪽도 팽창할 때는 α 대신 차이 Δα = α − αs를 사용합니다.

박막의 열응력(등이축)

두꺼운 기판 위의 박막은 면내 두 방향으로 동시에 구속됩니다. 이 등이축 상태에서는 이축 탄성 계수 E/(1 − ν)를 사용하여 σ = −EΔαΔT/(1 − ν)가 됩니다. 예를 들어 실리콘 기판 위의 알루미늄막(E = 70 GPa, ν = 0.35, α = 23×10⁻⁶ K⁻¹)을 응력이 없는 125 ℃에서 25 ℃까지 냉각하면 약 220 MPa의 인장 응력이 됩니다. 막의 선팽창 계수가 기판보다 크면 냉각 후 인장, 작으면 압축입니다.

열충격의 기준

고온의 세라믹스를 급랭하면 표면만 먼저 수축하려다가 내부에 구속되어, 표면에 등이축 인장 응력이 생깁니다. 이 응력이 강도 σf에 도달하는 온도차는 ΔTc = σf(1 − ν)/(Eα)로 추정할 수 있습니다. 굽힘 강도 300 MPa, E = 380 GPa, ν = 0.22, α = 8.0×10⁻⁶ K⁻¹이라면 약 77 K입니다. 이 도구에서 등이축을 선택하고 αs = 0, 강도에 σf를 넣으면 같은 값이 나옵니다. 실제로는 열전도나 부품 치수의 영향을 받으므로, 재료끼리 비교하는 기준으로 사용합니다.

박막·표면·나노 재료 문제 풀기

실리콘 기판(선팽창 계수 2.6×10⁻⁶ K⁻¹) 위의 알루미늄막(영률 70 GPa, 푸아송비 0.35, 선팽창 계수 23×10⁻⁶ K⁻¹)을 응력이 없는 125℃에서 25℃까지 냉각했다. 기판은 충분히 두껍다고 할 때, 막에 생기는 열응력 σ = EΔαΔT/(1 − ν)의 방향과 크기는 무엇인가?

  1. A압축, 약 220 MPa
  2. B인장, 약 143 MPa
  3. C인장, 약 220 MPa
정답과 해설 보기

정답: C. 인장, 약 220 MPa

Δα = 23×10⁻⁶ − 2.6×10⁻⁶ = 20.4×10⁻⁶ K⁻¹, ΔT = 100 K이므로 σ = 70×10⁹ × 20.4×10⁻⁶ × 100/(1 − 0.35) ≈ 2.2×10⁸ Pa, 약 220 MPa입니다. 냉각하면 알루미늄은 실리콘보다 크게 수축하려 하지만, 기판에 구속되어 수축할 수 없으므로 막은 당겨져 인장 응력이 됩니다. 압축이라고 하는 것은 방향을 혼동한 것입니다. 약 143 MPa는 (1 − ν)로 나누는 것을 잊은 값입니다. 막은 면내의 두 방향으로 동시에 구속되는 이축 응력 상태이므로, 이축 탄성 계수 E/(1 − ν)를 써야 합니다. 이러한 열응력은 배선의 스트레스 마이그레이션이나 보이드의 원인이 됩니다.

실리콘 기판 위에 고온에서 열산화막(SiO₂, 선팽창 계수 약 0.5×10⁻⁶ K⁻¹)을 만들고 실온까지 냉각했다. 실리콘의 선팽창 계수를 약 2.6×10⁻⁶ K⁻¹라고 하면, 열팽창의 차이에 의해 산화막에 생기는 응력은 무엇인가?

  1. A인장 응력
  2. B압축 응력
  3. C응력은 생기지 않는다
정답과 해설 보기

정답: B. 압축 응력

냉각하면 실리콘은 SiO₂보다 크게 수축합니다. SiO₂ 막은 스스로 수축하려는 양보다 더 많이 수축하도록 강제되므로, 면내에서 눌려 압축 응력이 됩니다. 열응력의 방향은 막의 선팽창 계수가 기판보다 크면 냉각 후 인장, 작으면 압축으로 판단할 수 있습니다. 실리콘 위의 알루미늄막과는 팽창 계수의 대소가 반대이므로 응력의 방향도 반대가 됩니다. 팽창 계수에 차이가 있는 한, 성막 온도에서 온도가 바뀌면 응력이 생기므로, 응력이 생기지 않는다는 선택지는 틀렸습니다. 열산화막의 압축 응력은 수백 MPa 정도가 되며, 웨이퍼 휨의 측정으로부터 구할 수 있습니다.

어떤 세라믹스의 굽힘 강도가 300 MPa, 영률이 380 GPa, 푸아송비가 0.22, 선팽창 계수가 8.0×10⁻⁶ K⁻¹이다. 급랭에 의한 열충격으로 균열이 생기기 시작하는 온도차의 기준 ΔTc = σf(1 − ν)/(Eα)에 가장 가까운 것은 무엇인가?

  1. A약 77 K
  2. B약 99 K
  3. C약 127 K
정답과 해설 보기

정답: A. 약 77 K

Eα = 380×10⁹ × 8.0×10⁻⁶ = 3.04×10⁶ Pa/K, σf(1 − ν) = 300×10⁶ × 0.78 = 2.34×10⁸ Pa이므로 ΔTc = 2.34×10⁸/(3.04×10⁶) ≈ 77 K입니다. 약 99 K는 (1 − ν)를 곱하는 것을 잊은 값, 약 127 K는 (1 − ν)로 나누어 버린 값입니다. 열충격에 대한 저항성은 강도가 높을수록, 영률과 열팽창 계수가 작을수록 커집니다. 열팽창 계수가 약 0.5×10⁻⁶ K⁻¹로 매우 작은 석영 유리는 열충격에 매우 강한 재료입니다. 열전도율이 높으면 표면과 내부의 온도차가 생기기 어려운 것도 유리하게 작용합니다.

자주 묻는 질문

열응력은 봉의 길이에 따라 달라집니까?

완전히 구속된 경우에는 달라지지 않습니다. 열변형률 αΔT가 길이와 관계없으므로 응력 EαΔT도 길이와 관계없습니다. 긴 부재에서 문제가 되는 것은 늘어남의 양 ΔL 쪽이며, 교량이나 레일에 신축 이음 틈을 두는 것은 이 때문입니다.

왜 박막에서는 (1 − ν)로 나눕니까?

박막은 면내 두 방향으로 동시에 수축이 억제됩니다. 한 방향의 응력은 푸아송 효과로 직교하는 방향의 변형률을 약간 상쇄하므로, 같은 열변형률을 상쇄하는 데 더 큰 응력이 필요합니다. 그 결과 탄성 계수가 E에서 E/(1 − ν)로 커진 형태가 됩니다.

계산한 응력이 항복 응력을 넘으면 어떻게 됩니까?

그 이후에는 탄성 식이 성립하지 않으며, 금속에서는 소성 변형이 일어나 응력은 대략 항복 응력에서 더 이상 커지지 않습니다. 온도를 되돌리면 반대 방향의 잔류 응력이 남는 경우도 있습니다. 취성인 세라믹스나 유리에서는 인장 쪽에서 균열이 생길 우려가 있습니다.

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