CdSe量子ドット(バルクのバンドギャップ1.74 eV)で、閉じ込めによるエネルギーの増加が半径Rの2乗に反比例するという簡単なモデルを仮定し、R = 3.0 nm のとき0.30 eVだったとする。R = 2.0 nm の量子ドットの実効的なバンドギャップはどれに最も近いか。電子と正孔のクーロン相互作用は無視する。

正解：B. 約2.42 eV

閉じ込めエネルギーは1/R²に比例するので、R = 3.0 nm から2.0 nm にすると (3.0/2.0)² = 2.25倍の 0.30 × 2.25 = 0.675 eV になります。実効的なバンドギャップは 1.74 + 0.675 ≈ 2.42 eV で、発光波長の目安は 1240/2.42 ≈ 513 nm(緑)です。R = 3.0 nm では 2.04 eV(約608 nm、橙〜赤)なので、小さいほど短波長になります。約2.19 eV は1/R、約2.75 eV は1/R³に比例するとした値です。実際の量子ドットでは、小さい粒径で有効質量近似が成り立ちにくくなり(バンドの非放物線性)、閉じ込めエネルギーの増え方は1/R²より緩やかになるのがふつうなので、この値は目安です。