Die Streckgrenze eines Metalls betrug bei einer mittleren Korngröße von 100 µm 150 MPa und bei 25 µm 250 MPa. Welcher Wert kommt der Streckgrenze bei einer Korngröße von 4 µm am nächsten, wenn die Hall-Petch-Beziehung σy = σ₀ + k/√d gilt?

Lösung: B. ca. 550 MPa

Rechnet man die Korngrößen in m um und bildet 1/√d, erhält man für d = 100 µm 100, für 25 µm 200 und für 4 µm 500 (jeweils in 1/√m). Aus den beiden Messpunkten folgen k = (250 − 150)/(200 − 100) = 1,0 MPa·√m und σ₀ = 150 − 1,0 × 100 = 50 MPa; bei 4 µm ist somit σy = 50 + 1,0 × 500 = 550 MPa. Ca. 950 MPa entsteht, wenn man annimmt, die Streckgrenze hänge linear von 1/d ab, und eine Gerade durch die beiden Punkte legt; ca. 278 MPa ist eine Extrapolation, als ändere sich die Streckgrenze linear mit der Korngröße d. Die Verfestigung ist umgekehrt proportional zur Wurzel der Korngröße; jede Verkleinerung der Korngröße auf 1/4 verdoppelt daher den Beitrag der Korngrenzen.