Rechner für Diffusionskoeffizient und Diffusionslänge
Aus dem Frequenzfaktor D0 und der Aktivierungsenergie Q bestimmt der Rechner den Diffusionskoeffizienten bei einer gegebenen Temperatur und schätzt aus der Glühdauer ab, wie tief die Atome eindiffundieren. Voreingestellt ist Kohlenstoff in Austenit (γ-Eisen) (D0 = 2,3 × 10⁻⁵ m²/s, Q = 148 kJ/mol) beim Aufkohlen für 4 Stunden bei 900 °C.
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Ergebnisse
Absolute Temperatur T
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Diffusionskoeffizient D
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Richtwert der Diffusionslänge √(Dt)
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Bei konstanter Randkonzentration (halbunendlicher Körper)
Konzentrationsverhältnis in der Tiefe x, (Cx − C0)/(Cs − C0)
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D0 und Q hängen von der Kombination aus Werkstoff und diffundierendem Element ab. Das Konzentrationsverhältnis wird mit der Fehlerfunktionslösung berechnet, die gilt, wenn die Randkonzentration Cs konstant gehalten wird und die Probe als ausreichend dick (halbunendlicher Körper) angesehen werden kann. Gaskonstante R = 8,314 J/(mol·K).
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Temperaturabhängigkeit des Diffusionskoeffizienten (Arrhenius-Gleichung)
Atome im Festkörper bewegen sich sprunghaft über Leerstellen oder Zwischengitterplätze. Da jeder Sprung die Aktivierungsenergie Q überwinden muss, ändert sich der Diffusionskoeffizient nach D = D0·exp(−Q/RT) exponentiell mit der Temperatur. Mit den Standardwerten (Kohlenstoff in γ-Eisen, 900 °C = 1173,15 K) ergibt sich D = 2,3 × 10⁻⁵ × exp(−148000/(8,314 × 1173,15)) ≈ 5,91 × 10⁻¹² m²/s. Schon eine Temperaturerhöhung um 100 °C vervielfacht D, weshalb die Temperaturführung bei der Wärmebehandlung wichtig ist. Logarithmiert man beide Seiten, ergibt ln D = ln D0 − Q/(RT) über 1/T aufgetragen eine Gerade, aus deren Steigung man −Q/R erhält.
Richtwert der Diffusionslänge √(Dt)
Die Strecke, die Atome durch Diffusion zurücklegen, wächst nicht proportional zur Zeit, sondern proportional zur Quadratwurzel der Zeit. Als Richtwert verwendet man häufig x ≈ √(Dt); für die voreingestellten 4 Stunden (14400 s) ergibt sich √(5,91 × 10⁻¹² × 14400) ≈ 0,292 mm. Um die Diffusionstiefe bei gleicher Temperatur zu verdoppeln, muss die Zeit vervierfacht werden. Je nach Definition wird auch ein Vorfaktor wie in 2√(Dt) verwendet; achten Sie beim Vergleichen auf dieselbe Definition.
Aufkohlen und Fehlerfunktionslösung
Wird die Stahloberfläche beim Aufkohlen in einer Atmosphäre mit der Kohlenstoffkonzentration Cs gehalten, beschreibt die Lösung des zweiten Fickschen Gesetzes (Cx − C0)/(Cs − C0) = 1 − erf(x/(2√(Dt))) das Konzentrationsprofil in einer dicken Probe mit der Anfangskonzentration C0. In der voreingestellten Tiefe von 0,5 mm ist x/(2√(Dt)) ≈ 0,857, und das Konzentrationsverhältnis beträgt etwa 22,6 %. Ist beispielsweise C0 = 0,20 Massen-% und Cs = 1,00 Massen-%, beträgt der Kohlenstoffgehalt in 0,5 mm Tiefe etwa 0,38 Massen-%. erf(z) ist eine Funktion, die für z = 0 den Wert 0 hat und für z über 2 nahezu 1 erreicht.
Typische Werte für D0 und Q
Kleine Atome, die über Zwischengitterplätze wandern, diffundieren leichter als Substitutionsatome. Für Kohlenstoff in γ-Eisen (Zwischengitterdiffusion) gelten D0 ≈ 2,3 × 10⁻⁵ m²/s und Q ≈ 148 kJ/mol, für Kohlenstoff in α-Eisen D0 ≈ 1,1 × 10⁻⁶ m²/s und Q ≈ 87 kJ/mol. Die Selbstdiffusion des Eisens (in γ-Eisen, Leerstellenmechanismus) hat dagegen ein großes Q von rund 280 kJ/mol und ist bei gleicher Temperatur um viele Größenordnungen langsamer. Da die Werte je nach Literatur streuen, setzen Sie für Berechnungen die Werte Ihrer Quelle unverändert ein.
Im stationären Zustand gilt das erste Ficksche Gesetz J = −D(dC/dx). Der Konzentrationsgradient beträgt (0,8 − 1,2)/(5,0×10⁻³ m) = −80 kg/m⁴, also J = 3,0×10⁻¹¹ × 80 = 2,4×10⁻⁹ kg/(m²·s), und der Strom fließt von der Seite hoher zur Seite niedriger Konzentration. Ca. 2,4×10⁻¹² teilt durch die Dicke in mm (5,0) und ist ein Fehler bei der Einheitenumrechnung, ca. 7,2×10⁻⁹ verwendet statt der Konzentrationsdifferenz die Konzentration 1,2 kg/m³ einer Seite. Da der Konzentrationsunterschied den Strom verursacht, kommt es auf den richtigen Gradienten an. Dieser Ansatz wird auch bei Wasserstoffpermeationsversuchen und zur Bewertung von Gastrennmembranen verwendet.
Die Temperatur wird in die absolute Temperatur umgerechnet: T = 927 + 273 = 1200 K. Mit Q/RT = 148000/(8,314 × 1200) ≈ 14,83 ist D = 2,3×10⁻⁵ × exp(−14,83) ≈ 2,3×10⁻⁵ × 3,6×10⁻⁷ ≈ 8,3×10⁻¹² m²/s. Ca. 1,1×10⁻¹³ setzt die Temperatur in °C als 927 ein. Ca. 2,3×10⁻⁵ setzt Q in kJ als 148 ein, sodass der Exponent nahezu null wird und sich fast derselbe Wert wie D₀ ergibt. Da D exponentiell von der Temperatur abhängt, lässt sich die Behandlungsdauer beim Aufkohlen schon durch eine Erhöhung der Temperatur um einige Dutzend °C stark verkürzen.
Bildet man das Verhältnis der Gleichungen für beide Temperaturen, fällt D₀ heraus, und es gilt ln(D₂/D₁) = (Q/R)(1/T₁ − 1/T₂). Mit D₂/D₁ = 40, ln 40 ≈ 3,689 und 1/800 − 1/1000 = 2,5×10⁻⁴ K⁻¹ ist Q = 8,314 × 3,689 / (2,5×10⁻⁴) ≈ 1,23×10⁵ J/mol, also etwa 123 kJ/mol. Ca. 53 kJ/mol verwendet statt des natürlichen den dekadischen Logarithmus (log₁₀ 40 ≈ 1,602), ca. 245 kJ/mol verwechselt den Ansatz mit der Form exp(−Q/2RT) und verdoppelt den Wert. In der Praxis wird ln D über 1/T aufgetragen und Q aus der Steigung −Q/R der Geraden bestimmt.
Häufige Fragen
Welche Einheit hat der Diffusionskoeffizient?
In SI-Einheiten m²/s. In der Literatur wird er oft in cm²/s angegeben; umgerechnet wird mit 1 cm²/s = 10⁻⁴ m²/s. Geben Sie D0 in diesem Rechner in m²/s ein.
Warum ist die Diffusionslänge proportional zur Quadratwurzel der Zeit?
Weil die Atome wiederholt in zufällige Richtungen springen (Random Walk) und die mittlere zurückgelegte Strecke daher proportional zur Quadratwurzel der Sprungzahl ist. Die Sprungzahl ist proportional zur Zeit, die Strecke also proportional zu √t.
Was tun, wenn die Aktivierungsenergie in eV bekannt ist?
1 eV pro Atom entspricht etwa 96,49 kJ/mol. Für 1,5 eV geben Sie also etwa 145 kJ/mol ein. Rechnet man pro Atom, verwendet man statt der Gaskonstante R die Boltzmann-Konstante k = 8,617 × 10⁻⁵ eV/K und setzt D = D0·exp(−Q/kT).