픽의 법칙의 뜻
확산의 기본 법칙. 제1법칙은 확산 플럭스가 농도 구배에 비례한다는 J = −D(dC/dx), 제2법칙은 농도의 시간 변화 ∂C/∂t = D(∂²C/∂x²)를 나타낸다.
일본어 명칭: フィックの法則
‘픽의 법칙’ 관련 연습 문제는 1개 분야에 1문제가 있습니다(결정 결함과 확산 등).
이 용어의 분야: 결정 결함과 확산
제1법칙과 정상 상태
픽의 제1법칙 J = −D(dC/dx)는 원자의 확산 플럭스 J가 농도 기울기에 비례하며, 농도가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 흐른다는 것을 나타냅니다. 음의 부호는 이 방향을 나타냅니다. 농도 분포가 시간에 따라 변하지 않는 정상 상태라면 이 식만으로 유량을 구할 수 있습니다. 판의 양면 농도를 일정하게 유지했을 때의 투과량이 그 예이며, 수소 투과 시험, 팔라듐 막을 이용한 수소 정제, 가스 배리어 필름의 평가 등에 쓰입니다. 막을 두껍게 하면 플럭스는 두께에 반비례하여 작아집니다.
제2법칙과 오차 함수 해
농도가 시간에 따라 변하는 경우에는 제1법칙과 물질 보존으로부터 유도되는 제2법칙 ∂C/∂t = D(∂²C/∂x²)를 풉니다. 표면 농도 Cs가 일정하고 충분히 두꺼운 재료(초기 농도 C₀)에 확산시키는 경우의 해는 (C − C₀)/(Cs − C₀) = 1 − erf(x/(2√(Dt)))입니다. 예를 들어 D = 1.0×10⁻¹¹ m²/s로 10시간 처리하면 √(Dt)는 약 0.6 mm이고, 농도가 표면과 내부의 정확히 중간이 되는 깊이는 약 0.57 mm입니다. 침탄이나 질화의 깊이를 어림하는 기본이 됩니다.
실제 구동력은 화학 퍼텐셜
픽의 법칙은 농도 기울기를 구동력으로 보지만, 엄밀하게는 원자를 움직이는 것은 화학 퍼텐셜의 기울기입니다. 보통은 두 가지가 같은 방향이므로 문제가 되지 않지만, 다른 원소의 영향으로 화학 퍼텐셜의 기울기가 반대 방향을 향하면 원자가 농도가 낮은 쪽에서 높은 쪽으로 이동하는 상향 확산이 일어납니다. Si를 포함한 강과 포함하지 않은 강을 접합하여 가열하면 탄소가 Si 쪽에서 빠져나가는 다컨(Darken)의 실험이 유명합니다. 스피노달 분해도 겉보기 확산 계수가 음이 되는 예입니다.
반도체의 도핑과 처리 시간의 어림
반도체의 불순물 확산의 경우, 표면 농도를 일정하게 유지하는 프리디포지션에서는 오차 함수형 분포가, 도입한 양을 일정하게 한 채 안쪽으로 밀어 넣는 드라이브인에서는 C = Q/√(πDt)·exp(−x²/(4Dt))의 가우스형 분포가 얻어집니다. 어느 경우든 확산 깊이는 √(Dt)에 비례하므로, 깊이를 2배로 하려면 4배의 시간이나 D를 4배로 만드는 온도 상승이 필요합니다. 실제로는 D가 농도에 따라 달라지는 경우도 있으며, 측정한 농도 분포로부터 D를 구할 때는 볼츠만-마타노법이 사용됩니다.
픽의 법칙 연습 문제에 도전
두께 5.0 mm인 강판의 양면에서 탄소 농도가 각각 1.2 kg/m³와 0.8 kg/m³로 유지되며 정상 상태로 확산하고 있다. 확산 계수를 3.0×10⁻¹¹ m²/s라고 하면 탄소의 확산 플럭스에 가장 가까운 것은 무엇인가? 농도는 판 두께 방향으로 직선적으로 변한다고 한다.
- A약 2.4×10⁻¹² kg/(m²·s)
- B약 7.2×10⁻⁹ kg/(m²·s)
- C약 2.4×10⁻⁹ kg/(m²·s)
정답과 해설 보기
정답: C. 약 2.4×10⁻⁹ kg/(m²·s)
정상 상태에서는 픽의 제1법칙 J = −D(dC/dx)를 사용할 수 있습니다. 농도 기울기는 (0.8 − 1.2)/(5.0×10⁻³ m) = −80 kg/m⁴이므로 J = 3.0×10⁻¹¹ × 80 = 2.4×10⁻⁹ kg/(m²·s)가 되며, 고농도 쪽에서 저농도 쪽으로 흐릅니다. 약 2.4×10⁻¹²는 두께를 mm 그대로 5.0으로 나눈 단위 환산의 오류, 약 7.2×10⁻⁹는 농도 차이 대신 한쪽의 농도 1.2 kg/m³를 사용한 오류입니다. 농도의 차이가 흐름을 만들므로 기울기를 올바르게 취하는 것이 중요합니다. 이 사고방식은 수소 투과 시험이나 기체 분리막의 평가에도 사용됩니다.
자주 묻는 질문
픽의 제1법칙과 제2법칙은 어떻게 구분하여 사용합니까?
농도 분포가 시간에 따라 변하지 않는 정상 상태의 유량은 제1법칙으로 구합니다. 침탄이나 도핑처럼 농도 분포가 시간에 따라 변하는 비정상 문제에서는 제2법칙을 경계 조건에 맞추어 풉니다.
오차 함수 해는 어떤 조건에서 사용할 수 있습니까?
표면 농도가 일정하고, 확산 깊이에 비해 재료가 충분히 두꺼우며(반무한체로 볼 수 있으며), 확산 계수가 농도와 관계없이 일정하다고 볼 수 있는 경우입니다. 얇은 판이나 표면 농도가 변하는 처리에는 다른 해가 필요합니다.
J = −D(dC/dx)의 음의 부호는 무엇을 나타냅니까?
흐름이 농도가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 향한다는 것을 나타냅니다. 농도가 x에 따라 감소할 때(dC/dx < 0) J는 양이 되어 +x 방향으로 흐릅니다.
해설 속의 ‘픽의 법칙’
정상 상태에서는 픽의 제1법칙 J = −D(dC/dx)를 사용할 수 있습니다.
두께 5.0 mm인 강판의 양면에서 탄소 농도가 각각 1.2 kg/m³와 0.8 kg/m³로 유지되며 정상…