什麼是Paris定律

疲勞裂縫擴展速率與應力強度因子範圍的冪次成正比的經驗法則 da/dN = C(ΔK)ᵐ。用於估算裂縫的擴展壽命。

日文名稱: パリス則

「Paris定律」出現在1領域的2道練習題中（破壞力學與疲勞等）。

裂縫擴展曲線的3個區域

將疲勞裂縫擴展速率 da/dN 對應力強度因子範圍 ΔK = K_max − K_min 以雙對數作圖，會得到S形的曲線。在 ΔK 小的區域，接近門檻值 ΔK_th 時速率急遽變小，低於此值時裂縫實質上不擴展。中間區域成為直線，將它表示為 da/dN = C(ΔK)ᵐ 的就是Paris定律。在 ΔK 大、最大應力強度因子接近破壞韌性的區域，速率急遽增加，最後導致不穩定破壞。設計上用於估算壽命的，主要是中間區域。

指數m與常數C

指數 m 在金屬中約為2〜4，在陶瓷中有時超過10。m 越大，應力或裂縫長度稍微增加時擴展速率的變化越大。常數 C 的值隨單位系統而改變，因此要統一資料的單位使用，例如 da/dN 用 m/cycle、ΔK 用 MPa·√m。已知在鋼之中，中間區域的速率因組織或強度造成的差異比較小。另一方面，速率受平均應力（應力比R）、環境與溫度的影響，因此選用在使用條件下量測的資料很重要。

壽命的估算與損傷容許設計

把 ΔK = YΔσ√(πa) 代入Paris定律，從初始裂縫長度 a₀ 積分到臨界裂縫長度 a_f，就能求出裂縫擴展所需的反覆次數。臨界長度由 K_max = K_IC 的條件決定。裂縫短時擴展慢，因此壽命的大部分在初期消耗，結果強烈受到 a₀ 估計值的左右。在飛機等的損傷容許設計中，假設存在非破壞檢測可能漏掉之大小的裂縫，並決定檢查間隔，使它在達到臨界大小之前能在下一次檢查中被發現。

練習Paris定律的題目

某鋼板的疲勞裂縫擴展可用Paris定律 da/dN = C(ΔK)ᵐ（C = 1.0×10⁻¹²，da/dN 的單位為 m/cycle，ΔK 的單位為 MPa·√m，m = 4）表示，並設 ΔK = Δσ√(πa)（形狀係數1）。在應力範圍 Δσ = 200 MPa 的反覆負荷下，裂縫長度從1.0 mm擴展到5.0 mm的次數最接近下列何者？假設這段期間的 ΔK（約11〜25 MPa·√m）遠大於門檻值，位於Paris定律成立的範圍內。

A約2.5×10⁵ 次
B約5.1×10⁴ 次
C約6.3×10⁴ 次

查看答案與解析

正確答案：B. 約5.1×10⁴ 次

m = 4 時 da/dN = C(Δσ√π)⁴a²，分離變數後積分得 N = (1/a₀ − 1/a_f)/[C(Δσ√π)⁴]。C(Δσ√π)⁴ = 1.0×10⁻¹²×200⁴×π² ≈ 1.58×10⁻² m⁻¹，1/a₀ − 1/a_f = 1000 − 200 = 800 m⁻¹，因此 N ≈ 800/(1.58×10⁻²) ≈ 5.1×10⁴ 次。約2.5×10⁵ 次是假設初始1.0 mm時的速率 1.58×10⁻⁸ m/cycle 一直持續到最後的值，忽略了裂縫延伸時 ΔK 增加而加速。約6.3×10⁴ 次是漏掉 1/a_f 項的值。壽命的大部分，是在裂縫還短的初期消耗掉的。

常見問題

Paris定律是由理論導出的式子嗎？

不是，它是整理大量實驗數據而得的經驗法則。雖然有從裂縫尖端的塑性變形或鈍化來說明指數的模型，但 C 與 m 通常以各材料的試驗決定。也要注意它只在中間區域成立。

只要小於 ΔK_th，裂縫就絕對不會擴展嗎？

在固定振幅的負荷下，這是可視為實質上不擴展的標準。不過，裂縫非常短、偶爾混入大負荷，或在腐蝕環境中時，即使低於 ΔK_th 裂縫也可能擴展。

應力比 R 改變時，裂縫擴展會如何變化？

即使 ΔK 相同，R = σmin/σmax 越大（平均應力越高），擴展速率有越大、ΔK_th 越小的傾向。主要原因之一是裂縫閉合：卸載途中裂縫面相互接觸時，實際作用在尖端的 ΔK 變小，但 R 越大這個效果越弱。

解析中的「Paris定律」

中間區域在雙對數下成為直線，可用Paris定律 da/dN = C(ΔK)ᵐ 表示，金屬的指數 m 約為2〜4。
將疲勞裂縫擴展速率 da/dN 對應力強度因子範圍 ΔK 以雙對數作圖的曲線，下列敘述何者正確？