什麼是霍爾-佩奇關係
降伏應力與晶粒尺寸d的平方根成反比增加的關係 σy = σ₀ + k/√d。晶界阻礙差排運動，因此晶粒越細越強。
日文名稱: ホール・ペッチの関係
「霍爾-佩奇關係」出現在2領域的3道練習題中（熱處理與金屬材料, 高溫材料與潛變等）。
這個名詞所屬的領域: 熱處理與金屬材料
式的由來與機制
降伏應力與晶粒尺寸的平方根成反比而增加的關係，由Hall於1951年、Petch於1953年在鋼中提出。在晶界處晶體方向改變，因此滑移過來的差排會在晶界前停下而排成列（差排堆積）。堆積差排的前端集中了很大的應力，當它使相鄰晶粒的差排源作動時，降伏便擴展開來。晶粒越大，形成的列越長，應力集中越大，因此在較低的應力下降伏，由此想法導出 d^(−1/2) 的相依性。
係數的大小與計算的注意
σ₀ 是沒有晶界時的摩擦應力，k是表示晶界強化效果大小的係數，單位為MPa·√m。k隨材料差異很大，BCC的鋼鐵大，FCC的鋁或銅小，因此晶粒細化的效果在鋼中特別大。晶界造成的強化量與 1/√d 成正比，例如將晶粒尺寸由100 µm變為1 µm、成為1/100時，強化量變為10倍。計算時，別忘了配合k的單位把晶粒尺寸換算成m。
成立的範圍與逆霍爾-佩奇
晶粒尺寸小於約10〜20 nm時，晶粒內無法形成差排列，改由晶界滑動等其他變形作用，強度會達到上限甚至反而下降（逆霍爾-佩奇）。此外在高溫下，晶粒越細越容易發生擴散潛變與晶界滑動，晶粒細化反而不利。相同形式的關係也用於硬度、麻田散鐵區塊的大小、波來鐵的層間距，晶粒細化也有降低延性-脆性轉移溫度的效果。
晶粒細化的實例
晶粒細化是少數能同時提高強度與韌性的強化法，不需增加合金元素，因此也不損害焊接性。在鋼中，以控制軋延與加速冷卻組合的TMCP，使肥粒鐵晶粒尺寸成為數µm到10 µm左右，製造高強度、高韌性的厚板。在鋁鑄件中，加入Al-Ti-B系的細化劑以增加凝固的晶核。晶粒尺寸以JIS或ASTM的晶粒度號數，或計算與直線相交晶界數的截線法評估。
練習霍爾-佩奇關係的題目
某鋼的降伏應力遵循霍爾-佩奇關係 σy = σ₀ + k/√d，σ₀ = 70 MPa，k = 0.74 MPa·√m。平均晶粒尺寸 d = 25 µm 時的降伏應力最接近下列何者？
- A約75 MPa
- B約148 MPa
- C約218 MPa
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正確答案：C. 約218 MPa
將晶粒尺寸換算成m得 d = 25×10⁻⁶ m，√d = 5.0×10⁻³ √m，因此 k/√d = 0.74/(5.0×10⁻³) = 148 MPa。所以 σy = 70 + 148 = 218 MPa。約75 MPa 是晶粒尺寸直接以 mm 代入 d = 0.025 計算的錯誤，k的單位（MPa·√m）與晶粒尺寸的單位不一致。約148 MPa 只是晶界強化的部分，忘了加上 σ₀。晶粒細化是少數能同時提高強度與韌性的強化方法，被用於鋼的控制軋延等。晶粒尺寸縮小到奈米左右時，有時會偏離這個關係。
某金屬的降伏應力在平均晶粒尺寸100 µm時為150 MPa，25 µm時為250 MPa。若遵循霍爾-佩奇關係 σy = σ₀ + k/√d，晶粒尺寸4 µm時的降伏應力最接近下列何者？
- A約278 MPa
- B約550 MPa
- C約950 MPa
查看答案與解析
正確答案：B. 約550 MPa
將晶粒尺寸換算成m並計算 1/√d，d = 100 µm 時為100，25 µm 時為200，4 µm 時為500（單位皆為 1/√m）。由2點求得 k = (250 − 150)/(200 − 100) = 1.0 MPa·√m，σ₀ = 150 − 1.0 × 100 = 50 MPa，因此4 µm時 σy = 50 + 1.0 × 500 = 550 MPa。約950 MPa 是以為降伏應力與 1/d 成正比而畫直線的錯誤，約278 MPa 是以為降伏應力對晶粒尺寸d呈直線變化而外插的錯誤。強化量與晶粒尺寸的平方根成反比，因此晶粒尺寸每縮為1/4，晶界強化的部分就變為2倍。
常見問題
晶粒細化為什麼能同時提高強度與韌性？
晶界阻礙差排運動而提高降伏應力；另一方面，劈裂裂縫每經過晶界就要改變方向而不易前進，破壞所需的能量增加。結果延性-脆性轉移溫度也會下降。
霍爾-佩奇係數k的單位是什麼？
是MPa·√m（MPa·m^(1/2)）。要以m表示晶粒尺寸d，使 k/√d 成為應力。若以µm或mm直接代入晶粒尺寸，會大幅算錯數量級。
晶粒越小就越強嗎？
不是。在數十nm以下強度的增加變緩，小於約10〜20 nm時可能達到上限甚至下降（依材料與製作方法而異）。此外在高溫下晶粒越細越容易潛變，因此必須選擇適合用途的晶粒尺寸。