Monte-Carlo-Methode: Was ist damit gemeint?

Lösung: C. ca. 0,31

Beim Metropolis-Verfahren werden Schritte, die die Energie senken, immer angenommen, solche, die sie erhöhen, mit der Wahrscheinlichkeit exp(−ΔE/kT). Mit kT = 8,617×10⁻⁵ × 1000 ≈ 0,0862 eV ist ΔE/kT ≈ 1,16 und die Wahrscheinlichkeit exp(−1,16) ≈ 0,31. Praktisch wird eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 erzeugt und der Schritt angenommen, wenn sie kleiner als diese Wahrscheinlichkeit ist. Da auch energieerhöhende Schritte mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit angenommen werden, besucht das System Zustände gemäß der Boltzmann-Verteilung, und im Mittel ergeben sich die Gleichgewichtseigenschaften bei endlicher Temperatur. Würden energieerhöhende Schritte nie angenommen, bliebe das System in einem lokalen Energieminimum gefangen, was einer Optimierung bei 0 K entspräche. Ca. 0,69 verwechselt die Ablehnungswahrscheinlichkeit 1 − 0,31 mit der Annahmewahrscheinlichkeit.

Lösung: A. Ereignissen wie Atomsprüngen werden Raten ν exp(−E_a/kT) zugeordnet, Ereignisse mit ratenproportionaler Wahrscheinlichkeit gewählt und die Zeit fortgeschrieben, sodass Diffusion und Ausscheidung über lange Zeiten verfolgbar sind

Bei der Diffusion im Festkörper führen Atome sehr viele Schwingungen aus, bevor sie selten in eine benachbarte Leerstelle springen. Die Molekulardynamik verfolgt alle diese Schwingungen, sodass Vorgänge über mehr als Mikrosekunden schwer zugänglich sind. Die kMC lässt die Schwingungen weg: Sie stellt eine Liste von Ereignissen wie Leerstellensprüngen mit ihren Aktivierungsenergien auf, wählt das nächste Ereignis mit einer zur Rate ν exp(−E_a/kT) proportionalen Wahrscheinlichkeit und schreitet in der Zeit gemäß dem Kehrwert der Summe aller Raten voran. Als Aktivierungsenergien werden häufig DFT-Werte verwendet. So lassen sich das Wachstum von Ausscheidungen beim Auslagern oder die Entwicklung von Strahlenschäden in realer Zeit verfolgen. Die Bewegungsgleichungen zu integrieren, kennzeichnet die Molekulardynamik, und ohne Zeitbegriff Gleichgewichtsmittelwerte zu bestimmen, das Metropolis-Verfahren.