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계산 연습

재료과학 수업·시험·대학원 입시에 나오는 대표적인 계산 문제를 매번 수치를 바꿔 출제합니다. 직접 풀어 답을 단위와 함께 입력하면 맞았는지 판정하고, 어느 식에 어떤 값을 넣었는지(풀이 과정)와 답의 값으로 알 수 있는 흔한 실수를 보여 줍니다. 같은 수치 그대로 계산 도구를 열어 확인할 수도 있습니다.

문제의 수치는 범위 안에서 매번 새로 만드는 연습용 값입니다. 물성값은 이 사이트 계산 도구의 데이터 모음(출처는 아래에 기재)에서 고르거나, 문제에서 ‘~로 한다’고 가정한 값입니다. 부재 설계 등에는 규격이나 재료 자료의 값을 사용하십시오.

문제 유형(38개)

유형 이름을 누르면 그 유형의 문제가 한 문제 나옵니다. 분야 이름을 누르면 그 분야를 고른 상태로 시작할 수 있습니다.

결정

상태도

확산과 결함

기계적 성질

파괴

열

복합재료

전기·부식·고온

사용 방법

분야나 문제 유형을 고르고 5문제 또는 10문제 세트를 시작합니다. ‘취약 유형을 더 자주’를 고르면 지금까지 틀린 비율이 높은 유형일수록 잘 나옵니다. 문제 유형 목록에서 유형 이름을 누르면 그 유형의 문제가 한 문제만 나옵니다.

답은 수치로 입력하고 단위 칸에서 단위를 고릅니다. 1.23e-5, 1.23×10^-5, 1.23 × 10⁻⁵ 중 어느 방식으로 써도 읽을 수 있습니다. 단위를 고르는 칸이 있을 때는 mm든 µm든 고른 단위에 맞춘 수로 입력하면 올바르게 판정합니다(환산은 표시된 단위가 기준의 몇 배인지로 합니다).

‘정답 확인’을 누르면 판정이 나오고 풀이 과정이 열립니다. 틀렸을 때는 답의 값으로부터 생각할 수 있는 실수(반지름과 지름, ℃와 K, wt%와 at%, 2θ와 θ 등)를 보여 줍니다. ‘답 보기’로 풀지 않고 풀이 과정을 볼 수도 있습니다.

‘이 문제의 URL 복사’로 같은 수치의 문제를 여는 URL을 공유할 수 있습니다. URL에 들어가는 것은 문제 유형과 수치의 시드뿐이며, 답은 들어가지 않습니다. 성적은 이 브라우저 안(localStorage)에만 저장되고 서버로 전송되지 않습니다. 저장할 수 없도록 설정된 브라우저에서도 문제는 풀 수 있습니다(성적이 남지 않을 뿐입니다).

계산 문제를 푸는 요령

먼저 주어진 값과 구할 값을 적고 기호와 단위를 붙입니다. 문제의 ‘지름’, ‘전체 길이 2a’, ‘질량 분율’ 같은 말은 식에 넣을 양(반지름·a·부피 분율)과 다른 경우가 많으므로 여기서 고쳐 둡니다.

식에 넣기 전에 단위를 SI(m, kg, s, K, J, Pa)로 맞추는 것이 가장 확실합니다. 재료 계산에서는 MPa와 mm(1 MPa = 1 N/mm²)의 조합도 편리하지만, MPa·√m 단위의 파괴 인성을 쓸 때는 길이를 m로 합니다. 온도는 차(ΔT)라면 ℃이든 K이든 같은 수이지만, exp(−Q/RT)나 T(C + log t)의 T는 반드시 절대 온도입니다.

답이 나오면 크기를 어림하여 확인합니다. 금속의 면간 거리는 0.1~0.3 nm, 밀도는 2~22 g/cm³, 구속한 강 막대를 100 K 가열했을 때의 열응력은 수백 MPa, 탄소의 침탄 깊이는 0.1~수 mm입니다. 어림값에서 한 자릿수 이상 벗어나면 단위 환산이나 10의 거듭제곱을 의심합니다.

중간값은 답보다 1~2자리 더 남겨 둡니다(계산기의 메모리에 넣어 두는 것이 확실합니다). 중간에 3자리로 반올림한 뒤 다음 계산에 쓰면 뺄셈이나 지수·거듭제곱 부분에서 오차가 커져 허용 오차를 벗어날 수 있습니다.

단위 다루기

단위 칸에서는 같은 양의 다른 단위(nm와 Å, MPa와 GPa, m²/s와 cm²/s, h와 s 등)를 고를 수 있습니다. 고른 단위로 올바른 값이면 정답입니다. 단위 칸에 단위가 하나뿐인 문제는 그 단위로 답합니다.

비율의 답은 0~1의 소수와 % 중에서 고를 수 있습니다(0.25와 25 %는 같습니다). 질량 분율이나 부피 분율을 물으면 어느 쪽으로 답해도 됩니다.

온도의 답은 ℃와 K 중에서 고릅니다. ℃와 K는 곱셈이 아니라 273.15를 더하거나 빼서 환산하므로, ℃의 답을 K 칸에 넣으면 틀립니다. 반대로 K의 값을 ℃로 답하면 ‘절대 온도(K)의 값을 ℃로 답했습니다’라고 표시합니다.

자주 쓰는 환산: 1 nm = 10 Å = 10⁻⁹ m, 1 µm = 10⁻⁶ m, 1 MPa = 1 N/mm² = 10⁶ Pa, 1 GPa = 1000 MPa, 1 cm²/s = 10⁻⁴ m²/s, 1 g/cm³ = 1000 kg/m³, 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J, 1 kJ/mol = 1000 J/mol.

유효 숫자와 판정

문제의 수치는 표시한 자릿수로 반올림한 값입니다. 답의 기준은 그 반올림한 값으로 계산하므로, 문제의 수치를 쓰면 반올림 오차 때문에 오답이 되는 일은 없습니다.

판정은 상대 오차로 하며, 대부분의 유형은 ±1 % 이내를 정답으로 합니다. 지수 함수를 거치는 유형(확산 계수·침탄·공공 농도·라슨-밀러의 시간)은 중간 반올림의 영향이 커지므로 ±2 %, 각도나 격자 상수처럼 자릿수가 많은 값이 필요한 유형은 ±0.5 %입니다. 온도로 답하는 유형(구속한 막대의 최고 온도, 라슨-밀러의 온도)은 절대 온도(K)에 대한 상대 오차로 판정합니다(±0.3 %·±0.5 %. 300~1200 K에서 약 ±1~6 K). 허용 오차는 문제마다 표시합니다.

답은 문제에 적힌 자릿수(대부분 유효 숫자 3자리)로 입력하면 충분합니다. 그보다 많이 입력해도 됩니다. 예를 들어 올바른 값이 0.2867 nm라면 0.287이든 0.2867이든 정답입니다. 0.29처럼 2자리로 입력하면 오차가 1 %를 넘어 오답이 될 수 있습니다.

허용 오차에서 조금만 벗어났을 때(5 % 이내)는 ‘아깝습니다’라고 표시하고, 중간값을 너무 많이 반올림했거나 상수가 다를 가능성을 알려 줍니다. 식은 맞는 경우가 많으므로, 중간값을 너무 많이 반올림하지 않았는지, 상수(N_A, R, k 등)를 문제의 값으로 썼는지 확인하십시오.

데이터 출처

격자 상수·밀도·결정 구조·원자량
‘재료를 위한 주기율표’의 데이터(격자 상수와 밀도는 CRC Handbook of Chemistry and Physics, 원자량은 IUPAC/CIAAW의 표준 원자량).
영률·열팽창 계수·열전도율·파괴 인성의 범위
‘재료 선정 도표’의 데이터(M. F. Ashby, “Material property data for engineering materials” 제5판, 2021년의 표의 범위). 범위 안의 값을 골라 문제에 ‘~로 한다’고 씁니다.
상태도의 값(Cu–Ni, Pb–Sn, Ag–Cu, Al–Si, Al–Cu, Pt–Ag)과 Fe–C계의 공석점
‘이원계 상태도 랩’과 ‘철–탄소 상태도 뷰어’의 데이터(Callister 『Materials Science and Engineering』 등의 값. 도구 페이지에 계별 출처가 있습니다). Fe–C는 공석점 0.76 wt% C, 페라이트의 고용 한도 0.022 wt% C, Fe₃C 6.70 wt% C.
X선의 파장
‘XRD 분석 워크벤치’와 같은 Kα1 값(X-ray Data Booklet의 광자 에너지로부터 λ = hc/E로 구한 값).
확산의 D₀와 Q, 오차 함수
‘확산·표면 처리 시뮬레이터’의 데이터 모음과 같은 값(W. D. Callister, Jr., D. G. Rethwisch 『Materials Science and Engineering: An Introduction』 제9판의 표 5.2). 오차 함수와 그 역함수도 같은 도구의 계산을 사용합니다. 온도는 그 도구가 주의를 표시하지 않는 범위(상의 범위 안, 치환형 확산은 융점의 0.75배보다 위)에서 고르고, 침탄의 표면 농도는 그 온도의 Acm선보다 낮게 합니다.
도체의 비저항
표준 연동(IEC 60028, 20 ℃에서 1.7241 × 10⁻⁸ Ω·m, 온도 계수 0.00393 K⁻¹)과 전기용 알루미늄(61 % IACS, 2.8264 × 10⁻⁸ Ω·m, 온도 계수 0.00403 K⁻¹).
물리 상수
CODATA 값을 3~4자리로 반올림한 것(N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹, R = 8.314 J/(mol·K), k = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K, e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C, F = 96485 C/mol).
가정한 값
공공 형성 에너지, 푸아송비, 홀-페치 상수, 임계 분해 전단 응력, 섬유의 영률, 이온 반경, 라슨-밀러 상수 C = 20 등은 그 재료에서 있을 수 있는 범위에서 고른 연습용 값입니다. n형 실리콘의 전자 이동도는 도너 농도 N으로부터 Caughey–Thomas 식 µ = 52.2 + 1365/[1 + (N/9.68 × 10¹⁶ cm⁻³)^0.68] cm²/(V·s)(300 K, Jacoboni 등 1977의 계수)로 어림한 값의 ±5 % 범위로 합니다.

자주 묻는 질문

답이 맞을 텐데 오답이 됩니다.

먼저 단위 칸을 확인하십시오. 고른 단위와 입력한 수의 단위가 맞지 않으면 올바른 값이라도 오답이 됩니다(대개 ‘단위를 혼동한 것 같습니다’라고 표시합니다). 단위가 맞는데 조금만 어긋날 때는 중간값을 너무 많이 반올림했거나 문제와 다른 상수를 쓴 것입니다. 문제의 수치와 상수를 쓰고, 중간값을 4자리 이상 남겨 다시 계산해 보십시오.

문제의 수치는 어떻게 정합니까?

유형마다 실제 재료에서 있을 수 있는 범위를 정하고, 그 안에서 매번 고릅니다. 격자 상수·밀도·영률·열팽창 계수 등의 물성값은 이 사이트의 ‘재료를 위한 주기율표’·‘재료 선정 도표’·‘이원계 상태도 랩’과 같은 데이터에서 고릅니다. 범위로 실린 물성(영률 등)은 그 범위 안의 값을 골라 문제에 ‘~로 한다’고 씁니다.

같은 문제를 다시 풀거나 친구와 같은 문제를 풀 수 있습니까?

할 수 있습니다. ‘이 문제의 URL 복사’로 나오는 URL(?t=유형&s=시드)을 열면 같은 수치의 같은 문제가 나옵니다. URL에는 답이 들어 있지 않으므로 서로 문제를 내는 데 쓸 수 있습니다.

성적은 어디에 저장됩니까? 지울 수 있습니까?

이 브라우저의 localStorage에만 저장되며 서버로 전송되지 않습니다. 다른 기기나 브라우저와는 공유되지 않습니다. 페이지 아래의 ‘기록 지우기’로 지울 수 있습니다. 시크릿 모드 등 저장할 수 없는 설정에서는 성적이 남지 않지만, 문제는 평소대로 풀 수 있습니다.

‘취약 유형을 더 자주’는 어떻게 고릅니까?

유형마다 틀린 횟수와 맞힌 횟수로부터, 틀린 비율이 높은 유형일수록 잘 뽑히게 합니다. 아직 풀지 않은 유형도 어느 정도의 비율로 뽑힙니다. 같은 세트 안에서 같은 유형이 두 번 연속으로 나오는 일은 없습니다.

계산 도구로 열면 무엇을 알 수 있습니까?

같은 수치를 넣은 계산 도구가 열려, 답을 다른 방법으로 확인하거나 조건을 바꿨을 때의 변화를 볼 수 있습니다. 예를 들어 브래그 각 문제에서는 ‘XRD 분석 워크벤치’로 회절 패턴 전체를, 침탄 문제에서는 ‘확산·표면 처리 시뮬레이터’로 농도 분포를 볼 수 있습니다. 도구가 다루지 않는 유형에서는 관련 용어나 해설 기사로 가는 링크를 보여 줍니다.

교과서의 답과 조금 다릅니다.

교과서는 중간값을 반올림하거나 상수(N_A = 6.02 × 10²³, R = 8.31 등)를 짧게 쓰기 때문에 셋째 자리가 다를 수 있습니다. 이 계산 연습의 답은 문제에 적은 수치와 상수로부터 중간에 반올림하지 않고 계산한 값입니다. 허용 오차 범위라면 어느 쪽으로 답해도 정답이 됩니다.

결정 문제에서 어떤 원소의 구조가 BCC인지 FCC인지 외워야 합니까?

이 계산 연습에서는 문제에 결정 구조를 적어 둡니다. 시험에서는 적혀 있지 않을 수도 있으므로, Fe(α)·Cr·Mo·W·V·Nb·Ta가 BCC, Al·Cu·Ni·Ag·Au·Pt·Pb·Pd가 FCC라는 것을 기억해 두면 도움이 됩니다.

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