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재료과학 수업·시험·대학원 입시에서 쓰는 공식을 분야별로 정리했습니다. 식마다 기호의 의미와 SI 단위, 적용 조건과 범위, 흔한 실수, 수치 예를 싣고, 양변의 차원은 모두 기계로 확인했습니다. 계산 연습의 문제 유형과 계산 도구로 가는 링크에서 같은 식으로 연습하고 계산할 수 있습니다.
예의 수치는 이 사이트 계산 도구의 데이터이거나 교과서 예제와 같은 값입니다(출처는 식마다 기재). 부재 설계에는 규격이나 재료 자료의 값을 사용하십시오.
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결정 14
dhkl = a/√(h² + k² + l²) [m]
기호 의미 SI 단위
dhkl (hkl) 면의 면간 거리 m a 격자 상수(입방체의 모서리 길이) m h, k, l 밀러 지수(정수) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 입방정(단순 입방·BCC·FCC·다이아몬드 구조·NaCl형 등)에만 쓴다. 정방정·육방정 등은 다음의 ‘면간 거리(정방정·사방정·육방정)’ 식을 쓴다. 이 식은 면들의 간격으로, 소멸 규칙으로 반사가 사라지는 (hkl)에도 수치로서는 성립한다.
흔한 실수 √를 빠뜨리거나 h + k + l로 나눈다. (100)과 (200)의 구별: BCC에서는 (100) 반사가 사라지고 d/2인 (200)으로 나타난다. nm와 Å(1 Å = 0.1 nm)의 혼동.
예 Cu(FCC, a = 0.36146 nm)의 (111) 면: d = 0.36146/√3 = 0.2087 nm. BCC Fe(a = 0.28665 nm)의 (110) 면이라면 0.28665/√2 = 0.2027 nm.
계산 연습 면간 거리(입방정) 피크 각도로부터 격자 상수 계산 도구 결정 구조 뷰어 XRD 분석 워크벤치
용어 밀러 지수 면심 입방 격자 체심 입방 격자
출처: Callister 제10판 3장; Cullity 제3판 2장
1/d² = h²/a² + k²/b² + l²/c² 정방·사방 [m⁻²]
1/d² = 4(h² + hk + k²)/(3a²) + l²/c² 육방 [m⁻²]
기호 의미 SI 단위
d 면간 거리 m a, b, c 격자 상수(사방정은 a ≠ b ≠ c, 정방정은 a = b) m h, k, l 밀러 지수(육방정은 4지수 (hkil)의 h·k·l, i = −(h + k)) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 세 축이 직교하는 격자(입방·정방·사방)는 위의 식, 육방정(a축이 120°, c축이 수직)은 아래의 식을 쓴다. 단사정·삼사정은 축 사이의 각을 포함한 일반식(역격자의 계량)이 필요하다. 육방정 식의 h·k·l은 4지수 (hkil)에서 i를 뺀 세 개이다.
흔한 실수 육방정의 4지수 (10−11)의 i를 식에 넣는다(i는 h·k로부터 정해진다). 육방정에 1/d² = (h² + k² + l²)/a² 꼴의 식을 적용한다. 정방정에서 a와 c를 바꿔 넣는다.
예 정방정 β-Sn(a = 0.58318 nm, c = 0.31818 nm)의 (101): 1/d² = 1/a² + 1/c²에서 d = 0.2793 nm. 육방정 Mg(a = 0.32094 nm, c = 0.52107 nm)의 (101)(4지수로 (10−11)): 1/d² = 4/(3a²) + 1/c²에서 d = 0.2452 nm.
계산 도구 XRD 분석 워크벤치 결정 구조 뷰어
용어 조밀 육방 구조 밀러 지수
출처: Cullity 제3판 2장; Callister 제10판 3장
기호 의미 SI 단위
n 반사의 차수(보통 n = 1로 하고, n차 반사는 면간 거리 d/n인 면의 1차 반사로 본다) 1 λ X선의 파장 m d 면간 거리 m θ 브래그 각(입사선과 면이 이루는 각. 측정하는 것은 2θ) rad
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 결정면에서 산란된 파가 보강되는 조건(운동학적 회절)이다. λ ≤ 2d가 아니면 반사는 나타나지 않는다. 피크의 위치만 정하는 식이며, 세기는 구조 인자와 LP 인자로 정해진다.
흔한 실수 θ와 2θ의 혼동(장치는 2θ를 출력한다). 도와 라디안. Kα1과 Kα 평균 파장의 혼동. 소멸 규칙으로 나타나지 않는 (hkl)을 피크에 지정한다.
예 Cu Kα1(λ = 0.15406 nm)로 Cu의 (111)(d = 0.2087 nm): sinθ = λ/(2d) = 0.3691, θ = 21.66°, 피크 위치 2θ = 43.32°.
계산 연습 회절각 2θ(브래그 법칙) 피크 각도로부터 격자 상수 계산 도구 XRD 분석 워크벤치
용어 브래그 법칙 XRD(X선 회절) 소멸 규칙
출처: Cullity 제3판 3장; Callister 제10판 3장
ρ = nM/(NA Vc ) [kg·m⁻³]
Vc = a³ 입방정 [m³]
기호 의미 SI 단위
ρ 이론 밀도 kg/m³ n 단위정 안의 원자 수(SC 1, BCC 2, FCC 4, 다이아몬드 8, HCP의 육각기둥 6) 1 M 몰 질량(원자량 × 10⁻³ kg/mol) kg/mol NA 아보가드로 상수 mol⁻¹ Vc 단위정의 부피 m³ a 격자 상수 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 결함이 없는 결정의 밀도이다. 실제 재료는 공공·기공·불순물 때문에 조금 다르다. 화합물에서는 n을 화학식 단위의 수, M을 화학식량으로 한다(NaCl형: Na⁺와 Cl⁻ 4쌍).
흔한 실수 a를 nm 그대로 세제곱한다(g/cm³로 구할 때 nm → cm는 × 10⁻⁷). M을 g/mol 그대로 m³와 조합한다(kg/m³로 하려면 M은 kg/mol). BCC와 FCC의 n을 혼동한다.
예 BCC Fe(n = 2, M = 55.845 g/mol, a = 0.28665 nm = 0.28665×10⁻⁷ cm): Vc = a³ = 2.355 × 10⁻²³ cm³, ρ = 2 × 55.845/(6.02214 × 10²³ × 2.355 × 10⁻²³) = 7.874 g/cm³(문헌값 7.87 g/cm³).
계산 연습 이론 밀도(입방정 금속) 계산 도구 재료를 위한 주기율표 결정 구조 뷰어
용어 체심 입방 격자 면심 입방 격자
출처: Callister 제10판 3장
a = 2r SC [m]
√3a = 4r BCC [m]
√2a = 4r FCC [m]
a = 2r HCP [m]
c/a = √(8/3) ≈ 1.633 HCP의 이상값 [1]
기호 의미 SI 단위
a 격자 상수 m r 원자의 반지름(강체구) m c HCP의 c축 길이 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: c/a
적용 조건과 범위 강체구가 접하는 방향: SC는 모서리, BCC는 체대각선, FCC는 면대각선, HCP는 바닥면 안. 결합의 성질에 따라 ‘반지름’은 달라진다(금속 결합 반지름은 배위수 12의 값).
흔한 실수 반지름과 지름의 혼동(√3a = 4r의 4r은 지름의 2배). BCC와 FCC의 식을 바꿔 쓴다.
예 BCC Fe(a = 0.28665 nm): r = √3a/4 = 0.1241 nm. FCC Cu(a = 0.36146 nm): r = √2a/4 = 0.1278 nm.
계산 연습 격자 상수와 원자 반지름 계산 도구 결정 구조 뷰어
용어 원자 충진율 체심 입방 격자 면심 입방 격자 조밀 육방 구조
출처: Callister 제10판 3장
APF = Σ ni (4/3)πri ³/Vc [1]
기호 의미 SI 단위
APF 원자 충진율 1 ni 단위정 안에 있는 반지름 ri 인 원자(이온)의 수 1 ri 원자(이온)의 반지름 m Vc 단위정의 부피 m³
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 강체구 모델이다. 금속: SC 0.524, BCC 0.680, FCC·HCP 0.740, 다이아몬드 0.340. 이온 결정에서는 양이온과 음이온이 접하는 방향(NaCl형은 모서리, CsCl형은 체대각선)으로부터 a를 정한다.
흔한 실수 이온 결정에서 음이온끼리 접한다고 보고 a를 정한다(반지름비가 작을 때만 맞다). NaCl형의 n을 1쌍으로 센다(4쌍).
예 BCC: 2 × (4/3)π(√3a/4)³/a³ = √3π/8 = 0.6802, FCC: π/(3√2) = 0.7405. NaCl형(Na⁺ 0.102 nm, Cl⁻ 0.181 nm, 양이온과 음이온이 모서리 위에서 접함): a = 2(r₊ + r₋) = 0.5660 nm, 충진율 = 4 × (4/3)π(r₊³ + r₋³)/a³ = 0.646.
계산 연습 이온 결정의 충진율 계산 도구 결정 구조 뷰어
용어 원자 충진율
출처: Callister 제10판 3장; Callister 제10판 12장
PD = Np /A [m⁻²]
LD = Nl /L [m⁻¹]
기호 의미 SI 단위
PD 면밀도 m⁻² LD 선밀도 m⁻¹ Np , Nl 면·선 위에 중심이 있는 원자의 수(단면에 들어가는 비율로 센다) 1 A 면의 면적 m² L 선의 길이 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 중심이 면(선) 위에 있는 원자만 센다. 단위정의 단면으로 셀 때는 꼭짓점·모서리의 원자를 단면에 들어가는 비율만큼 더한다. 슬립면은 면밀도가 가장 큰 면, 슬립 방향은 선밀도가 가장 큰 방향이다(FCC: {111}⟨110⟩, BCC: {110}⟨111⟩).
흔한 실수 면을 조금이라도 가로지르는 원자까지 센다. 단위정 면의 면적 a²를 모든 면에 쓴다((110)은 √2a², (111)의 삼각형은 (√3/2)a²).
예 FCC Al(a = 0.40496 nm)의 (111): 단위정의 단면은 한 변이 √2a인 정삼각형(면적 (√3/2)a² = 0.1420 nm²)이고, 원자는 3 × 1/6 + 3 × 1/2 = 2개. PD = 14.08 nm⁻². [110]의 선밀도는 2/(√2a) = 3.492 nm⁻¹.
계산 연습 면밀도(BCC·FCC) 계산 도구 결정 구조 뷰어
용어 밀러 지수 원자 충진율
출처: Callister 제10판 3장
Vc = (3√3/2)a²c [m³]
n = 6 육각기둥 [1]
기호 의미 SI 단위
Vc 육각기둥의 부피 m³ a, c 격자 상수 m n 육각기둥 안의 원자 수 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 육각기둥(기본 단위정의 3배)으로 센다: 꼭짓점 12 × 1/6, 위아래 면 2 × 1/2, 내부 3으로 6개. 기본 단위정(평행육면체, (√3/2)a²c)이라면 2개. 이론 밀도의 식에 그대로 넣을 수 있다. 이상적인 c/a는 √(8/3) = 1.633(Mg 1.624, Zn 1.856, Ti 1.587).
흔한 실수 육각기둥의 부피에 원자 2개, 또는 평행육면체에 원자 6개를 조합한다(어느 쪽이든 밀도가 3배 어긋난다).
예 Mg(a = 0.32094 nm, c = 0.52107 nm): c/a = 1.624(이상값 1.633에 가깝다). 육각기둥의 부피 (3√3/2)a²c = 1.394 × 10⁻²² cm³에 원자 6개, M = 24.305 g/mol로부터 ρ = 1.737 g/cm³(문헌값 1.74 g/cm³).
계산 도구 결정 구조 뷰어 재료를 위한 주기율표
용어 조밀 육방 구조
출처: Callister 제10판 3장
r/R = √2 − 1 ≈ 0.414 팔면체 자리 [1]
r/R = √(3/2) − 1 ≈ 0.225 사면체 자리 [1]
r/R = √3 − 1 ≈ 0.732 입방체 자리 [1]
기호 의미 SI 단위
r 자리에 들어가는 구의 반지름 m R 주위 원자(음이온)의 반지름 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: r/R, r/R, r/R
적용 조건과 범위 최밀 충진(FCC·HCP)의 팔면체·사면체 자리와 단순 입방의 중심 자리이다. 이온 결정에서는 양이온이 음이온에 접한 채로 들어가는 하한의 반지름비로, 배위수의 기준이 된다(0.225~0.414에서 4배위, 0.414~0.732에서 6배위, 0.732 이상에서 8배위). BCC의 자리는 모양이 찌그러져 있어 팔면체 0.155, 사면체 0.291이다.
흔한 실수 BCC의 팔면체 자리에 FCC의 0.414를 쓴다. 반지름비 규칙은 기준일 뿐이며, 공유 결합성이 강한 화합물에서는 맞지 않는다.
예 γ-Fe(FCC, a ≈ 0.3647 nm): R = √2a/4 = 0.1289 nm, 팔면체 자리에 들어가는 구는 r = (√2 − 1)R = 0.0534 nm. 탄소 원자(반지름 약 0.071 nm)는 이보다 크므로 주위의 격자를 밀어 넓히며 들어간다.
계산 도구 결정 구조 뷰어
용어 면심 입방 격자
출처: Callister 제10판 12장; Askeland 제7판 3장
Fhkl = Σj fj exp[2πi(hxj + kyj + lzj )] [1]
I ∝ p|F|² × (1 + cos²2θ)/(sin²θ cosθ) [1]
기호 의미 SI 단위
Fhkl 구조 인자(전자 1개의 산란을 1로 한다) 1 fj 원자 j의 원자 산란 인자(sinθ/λ에 따라 감소) 1 h, k, l 밀러 지수 1 xj , yj , zj 원자 j의 위치(격자 상수를 1로 한 분율 좌표) 1 I 적분 세기(상대값) 1 p 다중도(같은 d를 갖는 면의 수) 1 θ 브래그 각 rad
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 분말(무배향)·충분히 두꺼운 시료의 브래그–브렌타노 배치에서, 흡수·소광를 고려하지 않은 운동학적 세기이다. LP 인자 (1 + cos²2θ)/(sin²θ cosθ)는 편광 인자와 로렌츠 인자이다(모노크로미터가 있으면 형태가 바뀐다). 온도 인자 exp(−2B sin²θ/λ²)를 곱하면 고각이 약해진다. 소멸 규칙: BCC는 h + k + l이 홀수, FCC는 h·k·l의 홀짝이 섞이면 F = 0.
흔한 실수 |F|²가 아니라 F로 세기를 비교한다. 다중도를 넣지 않는다. 같은 d의 반사(BCC의 (411)과 (330) 등)를 따로 센다.
예 FCC에서 (hkl)이 모두 짝수이거나 모두 홀수이면 F = 4f, 섞이면 0. Al을 Cu Kα1로 측정: (111)은 2θ = 38.47°, f = 8.96, F = 35.8, LP = 15.7, 다중도 8. (200)은 2θ = 44.72°, f = 8.51, F = 34.0, LP = 11.2, 다중도 6. 세기의 비 I(200)/I(111) = 0.48(온도 인자와 이상 분산을 넣지 않았을 때의 값).
계산 도구 XRD 분석 워크벤치
용어 소멸 규칙 XRD(X선 회절)
출처: Cullity 제3판 4장
기호 의미 SI 단위
D 결정자 크기(회절면에 수직인 방향의 평균) m K 형상 계수(0.89~0.94, 보통 0.9) 1 λ X선의 파장 m β 크기에 의한 폭(반치전폭, 장치 폭을 뺀 것) rad θ 브래그 각 rad
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 폭의 넓어짐이 결정자 크기에만 기인할 때(변형의 기여는 Williamson–Hall로 분리한다). 기준은 100 nm 정도까지이다(그보다 크면 장치 폭에 묻힌다). 장치 폭 βi 는 가우스형이면 β² = βm ² − βi ², 로렌츠형이면 β = βm − βi 로 뺀다.
흔한 실수 β를 도 단위 그대로 넣는다(라디안으로). 2θ 값을 θ로 보고 cos에 넣는다. 장치 폭을 빼지 않는다. 얻어지는 것은 결정자(간섭성 영역)의 크기이며, 결정립의 크기와 같다고는 할 수 없다.
예 Cu Kα1, 2θ = 44.5°, 측정한 반치폭 0.55°, 장치 폭 0.08°(가우스형으로 β = √(0.55² − 0.08²) = 0.5442° = 0.009497 rad), K = 0.9: D = 0.9 × 0.15406/(0.009497 × cos 22.25°) = 15.8 nm.
계산 도구 XRD 분석 워크벤치
용어 셰러 식 XRD(X선 회절)
출처: Cullity 제3판 5장
β cosθ = Kλ/D + 4ε sinθ [1]
기호 의미 SI 단위
β 폭(반치전폭, 장치 폭을 뺀 것) rad θ 브래그 각 rad K 형상 계수 1 λ 파장 m D 결정자 크기 m ε 불균일 변형(미소 변형) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 크기에 의한 넓어짐(1/cosθ)과 변형에 의한 넓어짐(tanθ)이 둘 다 로렌츠형이고 단순히 더해진다고 가정한 형태이다. β cosθ를 4 sinθ에 대해 그려 절편에서 D, 기울기에서 ε을 얻는다. 탄성 이방성이 강한 재료에서는 점이 흩어진다(수정 W–H법을 쓴다).
흔한 실수 가로축을 sinθ로 하고 기울기를 4로 나누는 것을 잊는다(4ε과 ε). 절편이 음수이거나 0에 가까울 때 D를 구해 버린다(크기에 의한 넓어짐이 측정되지 않은 것이다).
예 XRD 분석 워크벤치 예제의 Ni 피크 5개(2θ = 44.5°~98.4°, 장치 폭 0.08°를 가우스형으로 뺌)로 세로축 β cosθ, 가로축 4 sinθ의 직선을 최소제곱법으로 그으면 절편 6.924 × 10⁻³ rad, 기울기 ε = 1.50 × 10⁻³(= 0.150 %). D = Kλ/절편 = 0.9 × 0.15406/6.924 × 10⁻³ = 20.0 nm.
계산 도구 XRD 분석 워크벤치
용어 셰러 식
출처: Williamson & Hall 1953; Cullity 제3판 5장
Δ(2θ) ≈ −2 tanθ · Δd/d [1]
기호 의미 SI 단위
Δ(2θ) 피크 위치의 변화 rad θ 원래의 브래그 각 rad Δd/d 면간 거리의 상대 변화(격자 변형) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 브래그 법칙을 미분한 근사로, Δd/d가 작을 때 성립한다. 균일한 변형(잔류 응력·고용·열팽창)은 위치를, 불균일한 변형은 폭을 바꾼다. 같은 Δd/d라면 고각일수록 크게 움직이므로, 정밀한 격자 상수는 고각 피크로 측정한다.
흔한 실수 부호: 격자가 늘어나면 2θ는 작아진다. 결과는 라디안이므로 도로 바꾼다(× 180/π). θ에 2θ를 넣는다. 시료 높이의 어긋남(영점)도 피크를 움직인다.
예 Cu의 (111)(2θ = 43.32°, θ = 21.66°)에서 격자가 0.1 % 늘어나면(Δd/d = 1.0 × 10⁻³): Δ(2θ) ≈ −2 × 1.0 × 10⁻³ × tan 21.66° = −7.94 × 10⁻⁴ rad = −0.0455°(저각 쪽으로 이동).
계산 도구 XRD 분석 워크벤치
용어 브래그 법칙
출처: Cullity 제3판 3장
기호 의미 SI 단위
a 고용체의 격자 상수 m x B의 몰 분율(원자의 비율) 1 aA , aB 순물질 A·B의 격자 상수(같은 구조) m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 같은 결정 구조인 전율 고용체의 경험칙이다. 많은 합금에서 어긋남(위나 아래로 휨)이 있으므로, 조성을 정밀하게 정할 때는 계마다 실측한 관계를 쓴다. x는 wt%가 아니라 몰 분율이다.
흔한 실수 x에 wt%를 쓴다. 구조가 다른 상의 격자 상수를 쓴다.
예 Si(a = 0.54306 nm)와 Ge(a = 0.56574 nm)의 고용체에서 a = 0.5500 nm를 측정했다: xGe = (0.5500 − 0.54306)/(0.56574 − 0.54306) = 0.306. Si–Ge는 베가드 법칙에서 약간 아래로 어긋나므로, 정밀한 조성에는 보정식을 쓴다.
계산 도구 XRD 분석 워크벤치
용어 고용 강화
출처: Cullity 제3판 13장
상태도 9
F = C − P + 2 [1]
F = C − P + 1 압력 일정(응축계) [1]
기호 의미 SI 단위
F 자유도(평형을 유지한 채 독립적으로 바꿀 수 있는 세기 변수의 수) 1 C 성분의 수 1 P 공존하는 상의 수 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 평형 상태에서만 성립한다. 금속·세라믹스의 상태도는 보통 압력이 일정하므로 +1의 형태를 쓴다. 상의 양은 자유도에 들어가지 않는다.
흔한 실수 조직(펄라이트 등)을 상으로 센다. 압력이 일정한 상태도에 +2를 쓴다. 비평형 조직(마르텐사이트)에 적용한다.
예 Pb–Sn의 공정점(압력 일정, C = 2, 상은 α·β·액상으로 P = 3): F = 2 − 3 + 1 = 0이므로 온도도 세 상의 조성도 정해진다(183 ℃). 2상 영역에서는 F = 1(온도를 정하면 두 상의 조성이 정해진다). 물의 삼중점(압력도 변수, C = 1, P = 3): F = 1 − 3 + 2 = 0.
계산 도구 이원계 상태도 랩
용어 깁스 상률 공정 반응
출처: Callister 제10판 9장; Porter 제3판 1장
Wα = (Cβ − C₀)/(Cβ − Cα ) [1]
Wβ = (C₀ − Cα )/(Cβ − Cα ) = 1 − Wα [1]
기호 의미 SI 단위
Wα , Wβ α상·β상의 질량 분율 1 C₀ 합금 전체의 조성(wt%) 1 Cα , Cβ 연결선의 양 끝(그 온도에서 각 상의 조성, wt%) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 2상 영역 안에서 평형일 때 성립한다. wt%로 넣으면 질량 분율, at%로 넣으면 몰 분율이 나온다. 부피 분율로 바꾸려면 각 상의 밀도로 나누어 다시 계산한다. 공정 조직·초석상의 비율도 3상 선의 바로 위나 아래에서 지렛대 법칙으로 구한다.
흔한 실수 분자에 ‘구하는 상 쪽’의 길이를 쓴다(반대쪽의 길이를 쓴다). wt%와 at%를 섞는다. 연결선의 끝이 아니라 합금의 조성을 상의 조성으로 쓴다.
예 Cu–Ni 합금 35 wt% Ni를 1250 ℃로 유지(연결선의 양 끝 CL = 31.5 wt%, Cα = 42.5 wt%): WL = (42.5 − 35)/(42.5 − 31.5) = 0.682, Wα = 0.318.
계산 연습 지렛대 법칙(상의 질량 분율) 계산 도구 이원계 상태도 랩 철–탄소 상태도
용어 지렛대 법칙
출처: Callister 제10판 9장
We = (C₀ − Cα )/(CE − Cα ) 아공정 [1]
Wα ′ = (CE − C₀)/(CE − Cα ) 초정 α [1]
기호 의미 SI 단위
We 공정 조직의 질량 분율 1 Wα ′ 초정 α의 질량 분율 1 C₀ 합금의 조성(wt%) 1 Cα 공정 온도에서 α의 최대 고용도(wt%) 1 CE 공정 조성(wt%) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 공정 온도 바로 아래, 평형 응고했을 때이다. 과공정은 α를 β로, Cα 를 Cβ 로 바꾼다. 공정 조직 안에도 α가 있으므로, 상으로서의 α의 양은 Cβ 를 쓰는 지렛대 법칙으로 따로 구한다.
흔한 실수 조직의 비율(초정과 공정)과 상의 비율(α와 β)을 혼동한다. 응고가 빠르면(Scheil에 가까우면) 평형에서는 나타나지 않는 조성에서도 공정이 나타난다.
예 Pb–40 wt% Sn(아공정)을 183 ℃ 바로 아래로: 공정 조직 We = (40 − 18.3)/(61.9 − 18.3) = 0.498, 초정 α는 0.502. 상으로 세면 β = (40 − 18.3)/(97.8 − 18.3) = 0.273, α = 0.727(공정 조직 안의 α도 포함).
계산 연습 초정과 공정 조직의 비율 계산 도구 이원계 상태도 랩
용어 공정 반응 지렛대 법칙
출처: Callister 제10판 9장
WP = (C₀ − 0.022)/(0.76 − 0.022) 아공석 [1]
Wα ′ = (0.76 − C₀)/(0.76 − 0.022) 아공석 [1]
WFe₃C ′ = (C₀ − 0.76)/(6.70 − 0.76) 과공석 [1]
기호 의미 SI 단위
WP 펄라이트의 질량 분율 1 Wα ′, WFe₃C ′ 초석 페라이트·초석 세멘타이트의 질량 분율 1 C₀ 강의 탄소량(wt%) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 Fe–Fe₃C계를 727 ℃ 바로 아래까지 천천히 냉각했을 때이다. 수치는 공석점 0.76 wt% C, 페라이트의 고용 한도 0.022 wt%, Fe₃C 6.70 wt%(사이트의 상태도·문제와 같다. 자료에 따라 0.77·6.67도 쓴다).
흔한 실수 초석 페라이트의 비율과 페라이트 전체(펄라이트 안의 것도 포함)의 비율을 혼동한다. 아공석과 과공석의 식을 바꿔 쓴다. 담금질 등 빠른 냉각에는 쓸 수 없다.
예 0.40 wt% C 강(아공석)을 727 ℃ 바로 아래로: 펄라이트 WP = (0.40 − 0.022)/(0.76 − 0.022) = 0.512, 초석 페라이트 0.488. 상으로서의 페라이트(펄라이트 안의 것도 포함)는 (6.70 − 0.40)/(6.70 − 0.022) = 0.943. 1.00 wt% C(과공석)의 초석 세멘타이트는 (1.00 − 0.76)/(6.70 − 0.76) = 0.0404.
계산 연습 초석 페라이트·초석 세멘타이트의 비율 계산 도구 철–탄소 상태도
용어 공석 반응 펄라이트
출처: Callister 제10판 9장
xB = (wB /MB )/(wA /MA + wB /MB ) [1]
wB = xB MB /(xA MA + xB MB ) [1]
기호 의미 SI 단위
xA , xB 몰 분율(× 100으로 at%) 1 wA , wB 질량 분율(× 100으로 wt%) 1 MA , MB 몰 질량(원자량) kg/mol
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 2성분일 때이다. 3성분 이상도 같은 형태로 분모에 전 성분의 합을 넣는다. 화합물 조성(Fe₃C의 6.70 wt% C = 25 at% C 등)의 확인에도 쓸 수 있다.
흔한 실수 A와 B의 원자량을 바꿔 넣는다. wt%를 그대로 원자 수의 비로 쓴다.
예 Pb–Sn의 공정 61.9 wt% Sn(Pb 207.2, Sn 118.71 g/mol): xSn = (61.9/118.71)/(61.9/118.71 + 38.1/207.2) = 73.9 at%.
계산 연습 wt%와 at%의 환산 계산 도구 이원계 상태도 랩
출처: Callister 제10판 4장
Cs = kC₀(1 − fs )k−1 [1]
CL = C₀ fL k−1 [1]
기호 의미 SI 단위
Cs 고액 계면에서 굳는 고상의 조성(wt%) 1 CL 액상의 조성(wt%) 1 k 분배 계수 Cs /CL (상태도의 고상선과 액상선의 비) 1 C₀ 합금의 조성(wt%) 1 fs , fL 고상·액상의 분율 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 고상 안에서는 확산하지 않고, 액상은 즉시 균일해지며, 계면에서는 국소 평형이고, k가 일정할 때(고상선과 액상선이 직선)이다. 주조 편석이나 평형에서는 나타나지 않는 공정의 양을 어림하는 데 쓴다. k < 1에서는 마지막 액상일수록 용질이 진하다.
흔한 실수 fs 와 fL 을 혼동한다. k를 거꾸로(액상선/고상선의 비로) 잡는다. 평형의 지렛대 법칙과 같은 결과가 된다고 생각한다(평형은 고상 안도 균일하다).
예 Al–4 wt% Cu(상태도의 직선으로부터 k = 5.65/33.2 = 0.170): 절반이 굳었을 때(fs = 0.5) 계면의 고상 Cs = 0.170 × 4 × 0.5^(−0.830) = 1.21 wt%. 액상이 공정 조성 33.2 wt%에 도달할 때의 액상 분율 fL = (33.2/4)^(1/(k − 1)) = 0.0781. 평형이라면 공정이 나타나지 않는 조성인데도 약 7.8 %가 공정으로 굳는다.
계산 도구 이원계 상태도 랩
용어 공정 반응
출처: Scheil 1942; Porter 제3판 4장
ΔGmix = ΩxA xB + RT(xA ln xA + xB ln xB ) [kg·m²·s⁻²·mol⁻¹]
ΔSmix = −R(xA ln xA + xB ln xB ) [kg·m²·s⁻²·K⁻¹·mol⁻¹]
Tc = Ω/(2R) 용해도 갭이 닫히는 온도 [K]
기호 의미 SI 단위
ΔGmix 혼합의 깁스 에너지(1 mol당) J/mol ΔSmix 이상적인 혼합 엔트로피 J/(mol·K) Ω 상호작용 계수(0이면 이상 용액, 양이면 분리되기 쉬움) J/mol xA , xB 몰 분율 1 R 기체 상수 J/(mol·K) T 온도 K Tc 임계 온도 K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 원자가 무질서하게 섞이고 혼합열만 ΩxA xB 로 나타낼 수 있을 때(정규 용액)이다. Ω > 2RT이면 ΔGmix 에 골이 두 개 생겨 2상으로 분리된다(스피노달 분해·용해도 갭).
흔한 실수 ln을 log₁₀로 한다. T를 ℃로 넣는다. ΔSmix 의 음의 부호를 빠뜨린다(ΔSmix 는 양수).
예 이상 용액(Ω = 0), xB = 0.5, T = 1000 K: ΔGmix = RT(0.5 ln 0.5 × 2) = −5763 J/mol, ΔSmix = 5.763 J/(mol·K). Ω = 20 kJ/mol이면 2상으로 분리되기 시작하는 온도(임계 온도)는 Tc = Ω/(2R) = 1203 K.
계산 도구 이원계 상태도 랩
용어 정규 용액 혼합 엔트로피 스피노달 분해
출처: Porter 제3판 1장
ΔGv = Lv ΔT/Tm [kg·m⁻¹·s⁻²]
r* = 2γ/ΔGv = 2γTm /(Lv ΔT) [m]
ΔG* = 16πγ³/(3ΔGv ²) [kg·m²·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
ΔGv 단위 부피당 구동력(크기) J/m³ Lv 단위 부피당 융해열(양의 값) J/m³ ΔT 과냉도 Tm − T K Tm 융점 K γ 고액 계면 에너지 J/m² r* 임계 핵 반경 m ΔG* 핵생성의 장벽(임계 핵을 만드는 일) J
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 구형 핵, 계면 에너지가 등방적이고 ΔT가 작을 때(ΔGv 를 융점 근처에서 직선으로 본다)이다. 불균일 핵생성에서는 ΔG*에 접촉각의 함수 S(θ) = (2 + cosθ)(1 − cosθ)²/4가 곱해져 작아진다.
흔한 실수 부호 약속의 차이(Callister는 ΔHf 를 음으로 두고 r* = −2γTm /(ΔHf ΔT)). 1 mol당 융해열을 그대로 쓴다(몰 부피로 나눈다). r*와 지름의 혼동.
예 순금(융해열 Lv = 1.16 × 10⁹ J/m³, γ = 0.132 J/m², Tm = 1337 K)을 ΔT = 230 K 과냉: r* = 2 × 0.132 × 1337/(1.16 × 10⁹ × 230) = 1.32 nm, ΔG* = 9.68 × 10⁻¹⁹ J(Callister 10장 예제와 같은 수치).
용어 임계 핵 반경
출처: Callister 제10판 10장; Porter 제3판 4장
기호 의미 SI 단위
y 변태한 분율 1 k 속도 상수(온도로 정해진다. 단위는 n에 따라 다르다) s⁻ⁿ t 시간 s n 아브라미 지수(핵생성과 성장 방식에 따라 1~4) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: ktⁿ
적용 조건과 범위 일정한 온도에서 핵생성과 성장으로 무작위로 일어나는 변태(재결정·펄라이트 변태 등)이다. log(ln(1/(1 − y)))를 log t에 대해 그리면 기울기가 n이다. 변태 속도는 1/t₀.₅로 나타내는 경우가 많다.
흔한 실수 k의 단위를 s⁻¹로 정해 버린다(n에 따라 다르다). 온도가 변하는 냉각에 그대로 쓴다.
예 n = 3, 절반이 변태하는 시간 t₀.₅ = 100 s라면 k = ln 2/t₀.₅³ = 6.93 × 10⁻⁷ s⁻³. 150 s에서는 y = 1 − exp(−k × 150³) = 0.904.
용어 재결정 펄라이트
출처: Callister 제10판 10장; Porter 제3판 5장
확산과 결함 10
D = D₀ exp(−Q/(RT)) [m²·s⁻¹]
ln D = ln D₀ − (Q/R)(1/T) 아레니우스 도표(기울기 −Q/R) [1]
Q = R ln(D₂/D₁)/(1/T₁ − 1/T₂) 두 점으로부터 [kg·m²·s⁻²·mol⁻¹]
기호 의미 SI 단위
D 확산 계수 m²/s D₀ 진동수 인자(온도에 무관한 상수) m²/s Q 활성화 에너지(1 mol당. 원자 1개당이면 R을 k로) J/mol R 기체 상수 8.314 J/(mol·K) T 절대 온도 K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: Q/RT
적용 조건과 범위 하나의 기구(격자 확산 등)가 지배하는 온도 범위이다. 저온에서는 결정립계·전위를 따르는 확산이 효과를 나타내 아레니우스 도표가 꺾인다. 강자성 Fe나 상변태를 넘는 범위에서는 D₀·Q가 바뀐다.
흔한 실수 T를 ℃로 넣는다. Q를 kJ/mol 그대로 J/(mol·K)의 R로 나눈다(1000배). eV/원자와 kJ/mol의 혼동(1 eV/원자 = 96.49 kJ/mol). ln과 log₁₀의 기울기 차이(log₁₀이면 기울기는 −Q/(2.303R)).
예 γ-Fe 속의 탄소(D₀ = 2.3 × 10⁻⁵ m²/s, Q = 148 kJ/mol), 1000 ℃ = 1273.15 K: Q/RT = 13.98, D = 1.95 × 10⁻¹¹ m²/s. 거꾸로 900 ℃의 5.92 × 10⁻¹²와 1100 ℃의 5.39 × 10⁻¹¹ m²/s로부터 Q = R ln(D₂/D₁)/(1/T₁ − 1/T₂) = 148.0 kJ/mol로 돌아간다. 원자 1개당으로는 Q/NA = 1.53 eV.
계산 연습 확산 계수(아레니우스 식) 계산 도구 확산·표면 처리 시뮬레이터 확산·표면 처리 시뮬레이터
용어 확산 계수
출처: Callister 제10판 5장; Shewmon 제2판 2장
J = −D dC/dx [kg·m⁻²·s⁻¹]
J ≈ D(C₁ − C₂)/(x₂ − x₁) 농도가 직선일 때 [kg·m⁻²·s⁻¹]
기호 의미 SI 단위
J 확산 플럭스(단위 면적·단위 시간에 통과하는 양) kg/(m²·s) D 확산 계수 m²/s C 농도(mol/m³나 원자/m³도 된다. J의 단위가 그에 맞춰 바뀐다) kg/m³ x 위치 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 농도 분포가 시간에 따라 변하지 않는 정상 상태(막을 통과하는 수소의 투과 등)이고, D가 농도에 무관할 때이다. 흐름은 농도가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 향한다(음의 부호).
흔한 실수 mm를 m로 바꾸지 않는다. wt%를 그대로 쓴다(부피당 농도로 바꾼다). 비정상 상태의 문제에 쓴다.
예 700 ℃의 강판에서 표면으로부터 5 mm에서 1.2 kg/m³, 10 mm에서 0.8 kg/m³의 탄소, D = 3 × 10⁻¹¹ m²/s(정상 상태): J = 3 × 10⁻¹¹ × (1.2 − 0.8)/(5 × 10⁻³) = 2.4 × 10⁻⁹ kg/(m²·s)(Callister 5장 예제와 같은 수치).
계산 연습 정상 상태의 확산 플럭스(픽의 제1법칙)
용어 픽의 법칙 확산 계수
출처: Callister 제10판 5장
∂C/∂t = D ∂²C/∂x² [kg·m⁻³·s⁻¹]
∂C/∂t = ∂/∂x(D ∂C/∂x) D가 농도에 따라 변할 때 [kg·m⁻³·s⁻¹]
∂C/∂t = ∇·(D∇C) 3차원 [kg·m⁻³·s⁻¹]
기호 의미 SI 단위
C 농도 kg/m³ t 시간 s D 확산 계수 m²/s x 위치 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 농도가 시간에 따라 변하는 경우의 일반식이다. 경계 조건마다 해가 다르다: 반무한체에서 표면 농도가 일정하면 erfc, 표면에 일정한 양이 있으면 가우스 분포, 확산쌍이면 erf, 유한한 판이면 푸리에 급수나 수치 계산. D가 농도에 따라 변하는 계(상호 확산)는 둘째 줄의 형태를 쓴다.
흔한 실수 D를 밖으로 꺼낸 첫째 줄의 식을 D가 크게 변하는 계에 쓴다. 해의 형태(erfc와 가우스)를 경계 조건을 보지 않고 고른다.
예 농도의 산과 골의 간격(덴드라이트 가지 간격 등) L = 50 µm를 D = 1 × 10⁻¹³ m²/s로 균일화하는 시간의 기준은 L²/D = 2.5 × 10⁴ s(약 6.9 h). 식의 형태로부터 거리가 2배이면 시간은 4배이다.
계산 도구 확산·표면 처리 시뮬레이터
용어 픽의 법칙
출처: Crank 제2판 2장; Callister 제10판 5장
(Cx − C₀)/(Cs − C₀) = 1 − erf(x/(2√(Dt))) 표면 농도가 일정 [1]
C(x, t) = (CA + CB )/2 − ((CA − CB )/2) erf(x/(2√(Dt))) 확산쌍(x = 0이 접합면) [kg·m⁻³]
기호 의미 SI 단위
Cx 깊이 x, 시간 t에서의 농도 kg/m³ C₀ 처음의 균일한 농도 kg/m³ Cs 표면 농도(일정) kg/m³ CA , CB 확산쌍의 왼쪽(x < 0)과 오른쪽의 처음 농도 kg/m³ x 표면(접합면)으로부터의 거리 m D 확산 계수(일정) m²/s t 시간 s
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: x/(2√(Dt))
적용 조건과 범위 반무한체(확산 깊이 √(Dt)가 판의 두께보다 훨씬 작음)이고, D가 일정하며, 표면(또는 접합면 양쪽)의 농도가 일정할 때이다. 침탄의 농도를 wt% 그대로 넣어도 비의 형태이므로 쓸 수 있다.
흔한 실수 erf와 erfc(= 1 − erf)의 혼동. 2√(Dt)의 2를 빠뜨린다. 시간을 h 그대로 넣는다. 비의 분모를 Cs − Cx 로 한다.
예 탄소 0.25 wt%의 강을 950 ℃(D = 1.10 × 10⁻¹¹ m²/s, 확산·표면 처리 시뮬레이터와 같은 데이터)에서 표면 1.20 wt%로 침탄하여 깊이 0.5 mm를 0.80 wt%로 한다: (0.80 − 0.25)/(1.20 − 0.25) = 0.5789 = 1 − erf z에서 erf z = 0.4211, z = 0.3924, t = x²/(4z²D) = 3.69 × 10⁴ s = 10.2 h. 확산쌍에서는 x = √(Dt)의 위치(z = 0.5)에서 C = (CA + CB )/2 − (CA − CB )/2 × erf 0.5로, CA 에서 CB 까지 차이의 0.760배만큼 CB 쪽으로 치우친 값이다.
계산 연습 침탄 깊이(오차 함수) 침탄 시간(오차 함수) 계산 도구 확산·표면 처리 시뮬레이터 확산·표면 처리 시뮬레이터
용어 침탄 픽의 법칙 확산 계수
출처: Callister 제10판 5장; Crank 제2판 2장
x ∝ √(Dt) [m]
D₁t₁ = D₂t₂ 같은 농도 분포가 되는 조건 [m²]
t₂ = t₁ exp[(Q/R)(1/T₂ − 1/T₁)] 온도를 바꿨을 때 [s]
기호 의미 SI 단위
x 같은 농도가 되는 깊이 m D 확산 계수 m²/s t 시간 s Q 활성화 에너지 J/mol R 기체 상수 J/(mol·K) T₁, T₂ 온도 K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 같은 경계 조건(표면 농도 등)에서 오차 함수나 가우스 해처럼 농도가 x/√(Dt)만으로 정해질 때이다. 깊이를 2배로 하려면 시간이 4배 필요하다.
흔한 실수 시간과 깊이를 비례시킨다(√를 빠뜨린다). 온도 환산에서 T₁과 T₂를 바꿔 넣는다(고온일수록 짧다).
예 Al 속의 Cu(D₀ = 6.5 × 10⁻⁵ m²/s, Q = 136 kJ/mol): 500 ℃에서 D = 4.22 × 10⁻¹⁴, 600 ℃에서 4.75 × 10⁻¹³ m²/s. 500 ℃에서 10 h와 같은 깊이까지 확산시키려면 600 ℃에서 t = 10 h × D₅₀₀/D₆₀₀ = 0.887 h. 10 h의 √(Dt)는 500 ℃에서 39.0 µm.
계산 연습 온도를 바꿨을 때의 확산 시간 계산 도구 확산·표면 처리 시뮬레이터 확산·표면 처리 시뮬레이터
용어 확산 계수
출처: Callister 제10판 5장
C(x, t) = M/√(πDt) · exp(−x²/(4Dt)) [m⁻³]
xj = √(4Dt ln(C(0, t)/CB )) 접합 깊이 [m]
기호 의미 SI 단위
C 농도(원자의 수밀도. kg/m³도 된다) m⁻³ M 표면에 놓은 단위 면적당 양(일정) m⁻² D 확산 계수 m²/s t 시간 s x 표면으로부터의 깊이 m xj 기판 농도 CB 와 같아지는 깊이 m CB 기판(배경)의 농도 m⁻³
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: x²/(4Dt)
적용 조건과 범위 처음에 표면에 얇게 놓은 양 M이 늘지도 줄지도 않고(표면을 통한 흐름 없음) 반무한체로 퍼질 때이다. 반도체의 드라이브인, 트레이서 확산. 양쪽으로 퍼지는 박막(무한체 속의 층)이라면 M/(2√(πDt)).
흔한 실수 반무한체와 무한체의 계수(1/√(πDt)와 1/(2√(πDt)))의 혼동. cm와 m(10¹⁴ cm⁻² = 10¹⁸ m⁻², cm²/s = 10⁻⁴ m²/s).
예 Si 속의 붕소(D₀ = 0.76 cm²/s, Ea = 3.46 eV)를 1100 ℃(D = 1.52 × 10⁻¹⁷ m²/s)에서 1 h 드라이브인, 양 M = 5 × 10¹⁸ m⁻²(5 × 10¹⁴ cm⁻²): 표면 농도 M/√(πDt) = 1.21 × 10²⁵ m⁻³. 기판 농도 10²¹ m⁻³와 같아지는 깊이(접합 깊이) xj = √(4Dt ln(C(0)/CB )) = 1.43 µm.
계산 도구 확산·표면 처리 시뮬레이터 확산·표면 처리 시뮬레이터
용어 픽의 법칙
출처: Crank 제2판 3장; Sze 제3판
Ci n+1 = Ci n + r(Ci+1 n − 2Ci n + Ci−1 n ) [kg·m⁻³]
r = DΔt/Δx² ≤ 1/2 안정 조건 [1]
기호 의미 SI 단위
Ci n 격자점 i, 시각 n에서의 농도 kg/m³ r 확산수(격자 푸리에 수) 1 D 확산 계수 m²/s Δt 시간 간격 s Δx 격자 간격 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 1차원, D가 일정한 제2법칙을 시간은 전진 차분, 공간은 중심 차분으로 푼다. r > 1/2에서는 해가 진동하며 발산한다. 유한한 판·표면 농도가 변하는 경우 등 해석해가 없는 조건에 쓴다.
흔한 실수 격자를 잘게 했는데 Δt를 그대로 둔다(Δx를 절반으로 하면 Δt는 1/4).
예 D = 1 × 10⁻¹¹ m²/s, Δx = 10 µm: Δt ≤ Δx²/(2D) = 5.0 s. 확산·표면 처리 시뮬레이터는 여유를 두어 r = 0.4(Δt = 4.0 s)로 계산한다.
계산 도구 확산·표면 처리 시뮬레이터
용어 픽의 법칙
출처: Crank 제2판 8장
Nv = N exp(−Qv /(kT)) [m⁻³]
N = NA ρ/A [m⁻³]
기호 의미 SI 단위
Nv 평형 공공의 수밀도 m⁻³ N 원자 자리의 수밀도 m⁻³ Qv 공공 형성 에너지(1개당. eV로 주어지는 경우가 많다) J k 볼츠만 상수(8.617 × 10⁻⁵ eV/K) J/K T 절대 온도 K NA 아보가드로 상수 mol⁻¹ ρ 밀도 kg/m³ A 몰 질량 kg/mol
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: Qv /kT
적용 조건과 범위 열평형의 공공이다. 형성 엔트로피 항 exp(Sv /k)(1~10 정도)는 생략한 형태이다. 급랭한 시료에는 고온의 공공이 남는다.
흔한 실수 Qv 를 eV 그대로 J/K의 k로 나눈다(eV/K의 k를 쓴다). T를 ℃로 넣는다. ρ의 g/cm³를 m⁻³로 바꿀 때의 10⁶.
예 1000 ℃의 Cu(ρ = 8.4 g/cm³, A = 63.5 g/mol, Qv = 0.9 eV): N = NA ρ/A = 7.97 × 10²⁸ m⁻³, Qv /kT = 8.203, Nv = 2.2 × 10²⁵ m⁻³(Callister 4장 예제와 같은 수치). 원자 3653개에 1개가 공공.
계산 연습 평형 공공 농도
용어 공공
출처: Callister 제10판 4장
|b| = (a/n)√(u² + v² + w²) b = (a/n)[uvw] [m]
|b| = a/√2 FCC의 a/2⟨110⟩ [m]
|b| = √3a/2 BCC의 a/2⟨111⟩ [m]
기호 의미 SI 단위
b 버거스 벡터의 크기 m a 격자 상수 m n 계수의 분모(완전 전위에서는 FCC·BCC 모두 2) 1 u, v, w 방향 지수 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 완전 전위의 b는 가장 가까운 원자끼리를 잇는 격자 병진이다(FCC a/2⟨110⟩, BCC a/2⟨111⟩, HCP a/3⟨11−20⟩에서 |b| = a). 부분 전위(FCC의 쇼클리 부분 전위 a/6⟨112⟩)는 |b| = a/√6.
흔한 실수 a/2⟨110⟩의 1/2을 빠뜨려 √2a로 한다. BCC와 FCC의 방향을 혼동한다.
예 FCC Cu(a = 0.36146 nm)의 a/2⟨110⟩: |b| = a/√2 = 0.2556 nm(최근접 원자 간 거리와 같다). BCC Fe(a = 0.28665 nm)의 a/2⟨111⟩: |b| = √3a/2 = 0.2482 nm.
계산 도구 결정 구조 뷰어
용어 버거스 벡터 전위
출처: Hull & Bacon 제5판 1장; Callister 제10판 7장
NA = N₀ · 2G−1 [m⁻²]
ℓ̄ = ℓ₀ · 2−G/2 [m]
기호 의미 SI 단위
NA 실제 크기에서 단위 면적당 결정립 수 m⁻² N₀ 15.50 mm⁻²(100배에서 1제곱인치에 1개에 해당) m⁻² G ASTM 결정립도 번호 1 ℓ̄ 평균 절편 길이(절단법) m ℓ₀ 0.320 mm(G = 0의 절편 길이) m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 ASTM E112의 환산이다. 원래의 정의는 N = 2G−1 (100배 상에서 1제곱인치당 결정립 수)이다. 일본 JIS G 0551(ISO 643)은 1 mm²당 m = 8 × 2G 로, 같은 조직에서 번호가 약 0.05 작다. 결정립 크기를 지름으로 바꿀 때의 환산(d ≈ ℓ̄ 등)은 약속에 따른다.
흔한 실수 번호가 클수록 결정립은 미세하다. 배율이 100배가 아닌 상의 개수를 그대로 쓴다(실제 크기로 바꾼다).
예 결정립도 번호 G = 6: 100배에서 1제곱인치에 2⁵ = 32개, 실제 크기로는 NA = 15.50 × 32 = 496 mm⁻². 평균 절편 길이는 ℓ̄ = 0.3200 × 2^(−3) = 40.0 µm.
읽을거리 조직 아틀라스
용어 홀-페치 관계
출처: ASTM E112
기계적 성질 10
σ = F/A₀ [kg·m⁻¹·s⁻²]
ε = Δl/l₀ [1]
σ = Eε [kg·m⁻¹·s⁻²]
Δl = Fl₀/(A₀E) 막대의 신장량 [m]
기호 의미 SI 단위
σ 공칭 응력 Pa F 하중 N A₀ 원래의 단면적(환봉은 πd²/4) m² ε 공칭 변형률 1 Δl, l₀ 신장량과 원래의 길이 m E 영률 Pa
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 선형 탄성(비례 한도 이하), 작은 변형률, 단면이 균일한 막대의 일축 인장·압축이다. 항복한 뒤에는 쓸 수 없다. 단면이 바뀌는 막대는 구간별로 신장량을 구해 더한다.
흔한 실수 지름을 반지름으로 보고 면적을 구한다(πd²로 하면 4배). MPa와 GPa(N/mm²와 kN/mm²)의 혼동. 항복 응력을 넘는 하중에서 이 식을 쓴다.
예 Cu 막대를 σ = 276 MPa로 잡아당긴다(l₀ = 305 mm, E = 110 GPa, 탄성 범위): ε = 276/110000 = 2.51 × 10⁻³, Δl = εl₀ = 0.765 mm. 지름 10 mm의 막대라면 F = σA = 276 × 78.54 = 21.68 kN.
계산 연습 탄성 변형에 의한 신장량
용어 영률
출처: Callister 제10판 6장
ν = −εx /εz [1]
Δd = −νεz d₀ 지름의 변화 [m]
기호 의미 SI 단위
ν 푸아송비(금속 0.26~0.35, 고무는 0.5에 가깝다) 1 εz 하중 방향의 변형률 1 εx 가로 방향의 변형률 1 d₀, Δd 원래의 지름과 그 변화 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 등방성이고 선형 탄성인 범위이다. 소성 변형에서는 부피가 거의 일정하므로 겉보기 비는 0.5에 가까워진다.
흔한 실수 부호(인장하면 지름은 줄어든다). 지름의 변화를 반지름의 변화로 다룬다.
예 황동 환봉(d₀ = 10 mm, ν = 0.34, E = 97 GPa)의 지름이 2.5 µm 줄어드는 하중: εx = −2.5 × 10⁻⁴, εz = −εx /ν = 7.35 × 10⁻⁴, σ = Eεz = 71.3 MPa, F = σπd₀²/4 = 5602 N(Callister 6장 예제와 같은 수치).
계산 연습 푸아송비와 지름 변화
용어 영률
출처: Callister 제10판 6장
G = E/(2(1 + ν)) [kg·m⁻¹·s⁻²]
K = E/(3(1 − 2ν)) [kg·m⁻¹·s⁻²]
εx = [σx − ν(σy + σz )]/E 일반화된 훅의 법칙 [1]
기호 의미 SI 단위
E 영률 Pa G 강성률(횡탄성 계수) Pa K 체적 탄성률 Pa ν 푸아송비 1 σx , σy , σz 수직 응력 Pa εx x 방향의 변형률 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 등방체에만 쓴다(독립인 상수는 2개). 단결정·섬유 강화재 등의 이방체에서는 성립하지 않는다. 열변형률이 있으면 αΔT를 더한다. ν → 0.5에서 K → ∞(비압축).
흔한 실수 이방성 재료(Si 웨이퍼, CFRP)에 적용한다. 실측 표의 G와 E/(2(1 + ν))가 맞지 않는 재료는 집합 조직이나 측정 방법의 차이 때문이다.
예 Al(E = 69 GPa, ν = 0.33): G = 69/(2 × 1.33) = 25.9 GPa, K = 69/(3 × 0.34) = 67.6 GPa. 강판(E = 200 GPa, ν = 0.30)에 σx = σy = 100 MPa의 등이축 응력: εx = (100 − 0.30 × 100)/200000 = 3.5 × 10⁻⁴, εz = −0.30 × 200/200000 = −3.0 × 10⁻⁴.
계산 도구 열팽창·열응력 랩
용어 영률
출처: Callister 제10판 6장; Dowling 제4판 5장
σT = F/Ai = σ(1 + ε) [kg·m⁻¹·s⁻²]
εT = ln(li /l₀) = ln(1 + ε) [1]
기호 의미 SI 단위
σT 진응력 Pa Ai 그 순간의 단면적 m² F 하중 N σ 공칭 응력 Pa ε 공칭 변형률 1 εT 진변형률 1 li , l₀ 그 순간의 길이와 원래의 길이 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 오른쪽의 형태(1 + ε)는 부피가 일정하다고 본 것으로, 네킹이 시작될 때까지(균일 연신) 성립한다. 네킹 이후에는 실제 최소 단면 Ai 로 σT = F/Ai 를 쓴다(여기에 삼축 응력에 대한 Bridgman 보정이 더해진다).
흔한 실수 네킹 이후에도 σ(1 + ε)를 쓴다. 압축에서는 ε이 음수이므로 σT 는 작아진다. 진변형률을 log₁₀로 구한다.
예 공칭 응력 400 MPa, 공칭 변형률 0.20(네킹 전): σT = 400 × 1.20 = 480 MPa, εT = ln 1.20 = 0.182.
계산 연습 진응력과 진변형률
용어 가공 경화
출처: Callister 제10판 6장
%EL = (lf − l₀)/l₀ × 100 [1]
%RA = (A₀ − Af )/A₀ × 100 [1]
εT,f = ln(A₀/Af ) 파단 진변형률 [1]
기호 의미 SI 단위
%EL 파단 연신율(%) 1 %RA 단면 감소율(%) 1 lf , l₀ 파단 후의 표점 거리와 원래의 표점 거리 m Af , A₀ 파단부의 단면적과 원래의 단면적 m² εT,f 파단 진변형률 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 %EL은 표점 거리에 따라 달라지므로(네킹 부분이 차지하는 비율이 다르다) 시험편 규격(일본 JIS 14A, ASTM의 50 mm 등)을 함께 적는다. %RA는 표점 거리에 무관하다.
흔한 실수 지름의 비로 단면 감소율을 구한다(면적은 지름의 제곱). 파단 진응력을 처음 단면적으로 구한다.
예 지름 12.8 mm의 강 시험편이 공칭 응력 460 MPa에서 파단하고 파단부의 지름이 10.7 mm: %RA = (128.7 − 89.9)/128.7 × 100 = 30.1 %, 파단 진변형률 ln(A₀/Af ) = 0.358, 진파단 응력 = 460 × A₀/Af = 658 MPa(Callister 6장 예제와 같은 수치).
계산 연습 단면 감소율과 진파단 응력
출처: Callister 제10판 6장
σT = KεT ⁿ [kg·m⁻¹·s⁻²]
εT = n 네킹의 시작(Considère) [1]
기호 의미 SI 단위
σT 진응력 Pa K 강도 계수 Pa εT (소성) 진변형률 1 n 가공 경화 지수(0.1~0.5) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 항복에서 네킹까지 균일한 소성 변형 범위이다. 양대수 그래프에서 직선이 되는 범위에서 n과 K를 정한다. 네킹 조건 dσT /dεT = σT 로부터 εT = n.
흔한 실수 공칭 응력·공칭 변형률로 맞춘다. n이 log₁₀와 ln에서 다르다고 생각한다(비이므로 어느 쪽이든 같다).
예 K = 1035 MPa인 합금에서 진변형률 0.10일 때 진응력 415 MPa: n = ln(415/1035)/ln 0.10 = 0.40. 네킹은 εT = n ≈ 0.40에서 시작된다.
용어 가공 경화
출처: Callister 제10판 6장; Dowling 제4판 15장
Ur = σy ²/(2E) [kg·m⁻¹·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
Ur 리질리언스 계수(항복까지 저장하는 단위 부피당 탄성 에너지) J/m³ σy 항복 강도 Pa E 영률 Pa
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 선형 탄성으로 항복까지이다. 스프링재는 Ur 이 큰(σy 가 높고 E가 낮은) 재료를 고른다. 인성(파단까지의 면적)과는 다른 것이다.
흔한 실수 J/m³와 MPa의 관계(1 J/m³ = 1 Pa)를 놓친다. 인성과 혼동한다.
예 σy = 350 MPa, E = 207 GPa인 강: Ur = (350 × 10⁶)²/(2 × 207 × 10⁹) = 2.96 × 10⁵ J/m³(= 296 kJ/m³).
용어 0.2% 내력 영률
출처: Callister 제10판 6장
σy = σ₀ + ky d−1/2 [kg·m⁻¹·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
σy 항복 강도 Pa σ₀ 마찰 응력(결정립계가 없을 때의 값) Pa ky 홀-페치 계수 Pa·√m d 평균 결정립 지름 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 결정립 지름이 대략 10 nm보다 큰 다결정이다. 이보다 미세하면 오히려 약해지는 경우가 있다(역홀-페치). 풀림재이고 석출·집합 조직이 같은 상태끼리 비교할 때 쓴다.
흔한 실수 d에 µm를 넣은 채 MPa·√m의 ky 를 쓴다(m로). d를 그대로(1/√d가 아니라) 축으로 잡는다. 결정립도 번호를 결정립 지름과 혼동한다.
예 σ₀ = 70 MPa, ky = 0.74 MPa·√m인 강: d = 20 µm에서 σy = 70 + 0.74/√(2 × 10⁻⁵) = 235.5 MPa, d = 5 µm에서는 400.9 MPa. 결정립을 1/4로 하면 ky 항이 2배가 된다.
계산 연습 홀-페치 관계 읽을거리 조직 아틀라스
용어 홀-페치 관계
출처: Callister 제10판 7장; Hull & Bacon 제5판 10장
τR = σ cosφ cosλ [kg·m⁻¹·s⁻²]
σy = τCRSS /(cosφ cosλ)max 항복 [kg·m⁻¹·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
τR 분해 전단 응력 Pa σ 인장 응력 Pa φ 인장축과 슬립면 법선이 이루는 각 rad λ 인장축과 슬립 방향이 이루는 각 rad τCRSS 임계 분해 전단 응력 Pa σy 항복 응력 Pa
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 단결정의 일축 인장·압축이다. 여러 슬립계 가운데 cosφ cosλ(슈미트 인자, 최대 0.5)가 가장 큰 계가 먼저 움직인다. 입방정에서는 각도의 cos를 지수의 내적으로 구한다: cosφ = (축·법선)/(|축||법선|).
흔한 실수 φ와 λ를 더해 90°로 한다(일반적으로는 그렇지 않다). 슬립 방향이 슬립면 안에 없는 조합을 고른다. sin을 쓴다.
예 BCC Fe 단결정을 [010] 방향으로 52 MPa로 잡아당긴다. 슬립계 (110)[−111]: cosφ = 1/√2 = 0.7071(φ = 45°), cosλ = 1/√3 = 0.5774(λ = 54.7°), τR = 52 × 0.7071 × 0.5774 = 21.2 MPa. 임계 분해 전단 응력이 30 MPa라면 항복하는 인장 응력은 30/(0.4082) = 73.5 MPa(Callister 7장 예제와 같은 수치).
계산 연습 분해 전단 응력(슈미트 법칙) 계산 도구 결정 구조 뷰어
용어 전위
출처: Callister 제10판 7장
M = E/ρ 인장 막대의 강성 [m²·s⁻²]
M = E1/2 /ρ 굽힘 보의 강성 [kg⁻¹ᐟ²·m⁵ᐟ²·s⁻¹]
M = E1/3 /ρ 굽힘 판의 강성 [kg⁻²ᐟ³·m⁸ᐟ³·s⁻²ᐟ³]
M = σf 2/3 /ρ 굽힘 보의 강도 [kg⁻¹ᐟ³·m⁷ᐟ³·s⁻⁴ᐟ³]
기호 의미 SI 단위
M 성능 지수(클수록 같은 성능에서 가볍다. 단위는 식마다 다르다) — E 영률 Pa σf 파괴(항복) 강도 Pa ρ 밀도 kg/m³
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 형상(단면 치수의 비)을 바꿔도 되고 무게를 최소로 할 때이다. 부재의 형상·하중 방식·무엇을 일정하게 하는지에 따라 지수가 바뀐다. 재료 선정 도표에서는 지수가 일정한 직선(기울기 1·2·3)보다 위에 있는 재료가 후보이다.
흔한 실수 보에 E/ρ를 쓴다(보는 √E/ρ). 단위를 맞추지 않고 서로 다른 지수를 비교한다.
예 가볍고 굽힘에 강한 보(지표 √E/ρ, E는 GPa, ρ는 g/cm³): Al 합금 √70/2.70 = 3.10, 강 √210/7.85 = 1.85. 같은 굽힘 강성이라면 Al 보의 무게는 강의 1/1.68. 인장 막대(E/ρ)에서는 거의 같다(25.9와 26.8).
계산 도구 재료 선정 도표
용어 재료 선정의 성능 지수 비강성 재료 선정 도표(애시비 도표)
출처: Ashby 제5판 5장
파괴 10
σmax = σ₀(1 + 2√(a/ρt )) ≈ 2σ₀√(a/ρt ) [kg·m⁻¹·s⁻²]
Kt = σmax /σ₀ [1]
기호 의미 SI 단위
σmax 균열(노치) 선단의 최대 응력 Pa σ₀ 멀리 떨어진 곳의 공칭 응력 Pa a 표면 균열의 깊이(내부 균열은 길이의 절반) m ρt 선단의 곡률 반지름 m Kt 응력 집중 계수 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: a/ρt
적용 조건과 범위 무한판 속의 타원 구멍(장축에 수직으로 인장), 선형 탄성이다. 날카로운 균열에서는 ρt → 0에서 응력이 발산하므로 K(응력 확대 계수)로 다룬다. 실제 부품의 Kt 는 형상별 선도를 쓴다.
흔한 실수 내부 균열에서 전체 길이를 a에 넣는다(절반). a와 ρt 의 단위를 맞추지 않는다(mm와 µm).
예 깊이 a = 0.5 mm, 선단 반지름 ρt = 5 µm인 표면 균열, σ₀ = 100 MPa: a/ρt = 100, Kt = 1 + 2√100 = 21.0, σmax = 2100 MPa(근사식 2σ₀√(a/ρt )로는 2000 MPa).
계산 연습 균열 선단의 응력 집중
용어 응력 집중 계수 그리피스 이론
출처: Callister 제10판 8장; Anderson 제4판 2장
σc = √(2Eγs /(πa)) 평면 응력 [kg·m⁻¹·s⁻²]
σc = √(2Eγs /(π(1 − ν²)a)) 평면 변형률 [kg·m⁻¹·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
σc 파괴 응력 Pa E 영률 Pa γs 표면 에너지 J/m² a 표면 균열의 깊이(내부 균열은 길이의 절반) m ν 푸아송비 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 유리처럼 완전히 취성인 재료이다. 금속에서는 소성 일 γp 가 γs 의 수천 배나 되므로, 2γs 를 Gc (파괴 인성)로 바꾼 형태(KIC 의 식)로 쓴다.
흔한 실수 금속에 γs 만으로 계산한다(파괴 응력이 지나치게 작게 나온다). 2γs 의 2를 빠뜨린다.
예 유리판(E = 69 GPa, 표면 에너지 γs = 0.3 J/m²)에 40 MPa의 인장: 파괴되지 않는 최대 표면 균열 a = 2Eγs /(πσ²) = 8.2 µm.
용어 그리피스 이론
출처: Callister 제10판 8장; Anderson 제4판 2장
KI = Yσ√(πa) [kg·m⁻¹ᐟ²·s⁻²]
KI = KIC 파괴 조건 [kg·m⁻¹ᐟ²·s⁻²]
ac = (1/π)(KIC /(Yσ))² 임계 균열 [m]
기호 의미 SI 단위
KI 응력 확대 계수(모드 I) Pa·√m Y 형상 계수(무한판 속의 균열 1.0, 표면 균열 ≈ 1.12) 1 σ 공칭 응력 Pa a 표면 균열의 깊이·내부 균열 길이의 절반 m KIC 평면 변형률 파괴 인성 Pa·√m ac 임계 균열 크기 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 선형 파괴 역학(LEFM): 균열 선단의 소성 영역이 균열·부재의 치수에 비해 작을 때(소규모 항복)이다. 파괴 응력이 항복 강도에 가까우면 먼저 항복한다(파괴 전 항복). KIC 는 평면 변형률이 되는 두께(E399)로 측정한 값이다.
흔한 실수 내부 균열에서 전체 길이를 a에 넣는다. a를 mm 그대로 √ 안에 넣는다(MPa·√m에는 m). Y를 1로 정해 버린다.
예 KIC = 60 MPa·√m인 강판의 표면 균열(Y = 1.12): 300 MPa에서 파괴되는 균열의 깊이 ac = (1/π)(60/(1.12 × 300))² = 10.2 mm. 깊이 5 mm의 균열이 있을 때의 파괴 응력 σc = 60/(1.12√(π × 0.005)) = 427 MPa.
계산 연습 파괴 인성과 파괴 응력 파괴가 일어나는 균열 크기
용어 응력 확대 계수 파괴 인성 파괴 전 항복
출처: Callister 제10판 8장; Anderson 제4판 2장
G = K²/E 평면 응력 [kg·s⁻²]
G = K²(1 − ν²)/E 평면 변형률 [kg·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
G 에너지 해방률(균열이 단위 면적만큼 진전할 때 방출되는 에너지) J/m² K 응력 확대 계수 Pa·√m E 영률 Pa ν 푸아송비 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 선형 탄성, 모드 I이다. G ≥ Gc 에서 균열이 진전한다(그리피스의 사고방식을 일반화한 형태). 복합 모드에서는 G = (KI ² + KII ²)(1 − ν²)/E + KIII ²(1 + ν)/E.
흔한 실수 평면 응력과 평면 변형률의 혼동. K를 MPa·√m 그대로 넣어 단위를 놓친다(Pa·√m로).
예 KIC = 50 MPa·√m, E = 210 GPa, ν = 0.3(평면 변형률): GIC = K²(1 − ν²)/E = 10.8 kJ/m².
용어 에너지 해방률
출처: Anderson 제4판 2장
rp = (1/(2π))(K/σy )² 평면 응력의 소성 영역(Irwin) [m]
B, a ≥ 2.5(KIC /σy )² 평면 변형률 조건 [m]
기호 의미 SI 단위
rp 균열 선단의 소성 영역 크기 m K, KIC 응력 확대 계수·평면 변형률 파괴 인성 Pa·√m σy 항복 강도 Pa B, a 시험편의 두께·균열 길이 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 Irwin의 1차 어림이다(평면 변형률에서는 약 1/3). 2.5(KIC /σy )²는 ASTM E399의 유효성 조건으로, 이보다 얇으면 평면 응력에 가까워져 겉보기 인성이 크게 나온다.
흔한 실수 소성 영역의 크기를 지름으로 다룬다. 박판으로 측정한 값을 KIC 라고 부른다.
예 K = 50 MPa·√m, σy = 500 MPa: 평면 응력의 소성 영역 rp = (1/2π)(50/500)² = 1.59 mm(평면 변형률이라면 약 1/3). KIC 를 유효하게 측정하려면 두께·균열 길이가 2.5(KIC /σy )² = 25.0 mm 이상이어야 한다.
용어 파괴 인성 파괴 전 항복
출처: Anderson 제4판 2장; ASTM E399
da/dN = C(ΔK)m [m]
ΔK = YΔσ√(πa) [kg·m⁻¹ᐟ²·s⁻²]
Nf = [ac 1−m/2 − a₀1−m/2 ]/[C(YΔσ√π)m (1 − m/2)] Y 일정, m ≠ 2 [1]
기호 의미 SI 단위
da/dN 1사이클당 균열 진전량 m C 재료 상수(단위는 m에 따라 정해진다) m·(Pa·√m)⁻ᵐ ΔK 응력 확대 계수 범위 Pa·√m m 파리스 지수(금속에서 2~4) 1 Δσ 응력 범위(압축 부분은 보통 세지 않는다) Pa Y 형상 계수 1 a, a₀, ac 균열 크기(처음·임계) m Nf 수명(사이클 수) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 균열 진전의 제II 영역(ΔK의 하한계보다 위, Kmax 가 KIC 보다 충분히 아래)이다. 평균 응력(R)의 영향을 포함하지 않는 형태이다. Y가 균열 길이에 따라 변할 때는 수치 적분한다.
흔한 실수 C의 단위(MPa·√m와 m로 정한 것인지)를 확인하지 않고 쓴다. ΔK에 Kmax 를 넣는다. 적분에서 m = 2인 경우를 같은 식으로 계산한다(로그 형태가 된다).
예 Δσ = 100 MPa(압축 쪽은 세지 않음), 처음 표면 균열 2.0 mm, KIC = 25 MPa·√m, Y = 1.0, C = 1.0 × 10⁻¹², m = 3(MPa·√m와 m의 단위): 최종 균열 ac = (1/π)(25/100)² = 19.9 mm, Nf = [ac ^(−1/2) − a₀^(−1/2)]/[C(Δσ√π)³(−1/2)] = 5.48 × 10⁶ 사이클(Callister 8장 예제와 같은 조건).
용어 파리스 법칙 스트라이에이션 응력 확대 계수
출처: Paris & Erdogan 1963; Callister 제10판 8장; Anderson 제4판 10장
σa = σf ′(2Nf )b Basquin(고사이클) [kg·m⁻¹·s⁻²]
Δε/2 = (σf ′/E)(2Nf )b + εf ′(2Nf )c Coffin–Manson 항을 더한 형태(저사이클) [1]
기호 의미 SI 단위
σa 응력 진폭 Pa σf ′ 피로 강도 계수 Pa 2Nf 파단까지의 반전 수(사이클 수의 2배) 1 b 피로 강도 지수(−0.05~−0.12) 1 Δε/2 변형률 진폭 1 E 영률 Pa εf ′ 피로 연성 계수 1 c 피로 연성 지수(−0.5~−0.7) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 평균 응력이 없는 완전 양진의 일정 진폭, 평활 시험편이다. 고사이클에서는 탄성 항, 저사이클(대략 10⁴ 사이클 미만)에서는 소성 항이 지배한다. 평균 응력은 Morrow 등의 보정, 변동 하중은 마이너 법칙과 조합한다.
흔한 실수 2Nf (반전 수)와 Nf (사이클 수)의 혼동. 응력 진폭과 응력 범위(2배)의 혼동.
예 가정한 상수 σf ′ = 1000 MPa, b = −0.09, εf ′ = 0.6, c = −0.6, E = 200 GPa: Nf = 10⁴ 사이클의 변형률 진폭은 탄성 2.05 × 10⁻³ + 소성 1.58 × 10⁻³ = 3.63 × 10⁻³. 탄성과 소성이 같아지는 천이 수명 Nt = 5968 사이클. 응력 진폭 400 MPa(고사이클)의 수명은 Basquin 식으로 Nf = (400/1000)^(1/b)/2 = 1.32 × 10⁴ 사이클.
용어 피로 한도
출처: Dowling 제4판 9장; Dowling 제4판 14장
σa /σe + σm /σu = 1 수정 굿맨 [1]
σm = (σmax + σmin )/2 평균 응력 [kg·m⁻¹·s⁻²]
σa = (σmax − σmin )/2 응력 진폭 [kg·m⁻¹·s⁻²]
R = σmin /σmax 응력비 [1]
기호 의미 SI 단위
σa 응력 진폭 Pa σm 평균 응력 Pa σe 완전 양진 피로 한도(또는 N 사이클의 피로 강도) Pa σu 인장 강도 Pa σmax , σmin 최대·최소 응력 Pa R 응력비 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: σa /σe , σm /σu
적용 조건과 범위 인장 평균 응력이 피로 강도를 낮추는 영향을 안전 쪽으로 근사한 직선이다. 연성 재료에서는 거버(포물선, (σm /σu )²)가 실측에 가깝고, 항복으로 정한다면 소더버그(σu 를 σy 로)를 쓴다. 압축 평균 응력은 보통 반영하지 않는다.
흔한 실수 응력 범위를 진폭에 넣는다(절반). R = −1(완전 양진)과 R = 0(편진)의 혼동.
예 피로 한도 σe = 300 MPa(완전 양진), 인장 강도 σu = 800 MPa, 평균 응력 200 MPa: 허용 응력 진폭 σa = 300(1 − 200/800) = 225 MPa. σmax = 200 + 225 = 425 MPa, σmin = −25 MPa, R = −0.059.
용어 수정 굿맨 선도 피로 한도
출처: Dowling 제4판 10장; Callister 제10판 8장
D = Σ ni /Ni [1]
D = 1 파단 [1]
기호 의미 SI 단위
D 손상의 합 1 ni 응력 i에서 가한 사이클 수 1 Ni 응력 i만으로 파괴되는 사이클 수 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 순서의 영향을 무시한 근사이다. 높은 응력부터 먼저 가하면 D < 1에서 파괴되기 쉽고, 낮은 응력부터 먼저 가하면 D > 1이 되는 경우가 있다. 설계에서는 D를 0.3~0.5 정도로 억제하기도 한다.
흔한 실수 피로 한도보다 낮은 응력의 사이클 수를 세지 않거나 Ni 를 무한대로 정한다(균열이 진전하면 그 아래에서도 손상된다).
예 수명 10⁵ 사이클인 응력으로 2 × 10⁴ 사이클(0.2), 수명 10⁶ 사이클인 응력으로 3 × 10⁵ 사이클(0.3): 손상 D = 0.50. 나머지를 수명 10⁷ 사이클인 응력으로 쓰면 앞으로 (1 − 0.50) × 10⁷ = 5.0 × 10⁶ 사이클.
용어 마이너 법칙
출처: Dowling 제4판 9장
Pf = 1 − exp[−(V/V₀)(σ/σ₀)m ] [1]
σ₂/σ₁ = (V₁/V₂)1/m 크기 효과 [1]
기호 의미 SI 단위
Pf 파괴 확률 1 V, V₀ 응력이 걸리는 부피와 기준 부피 m³ σ 응력 Pa σ₀ 척도 모수(V₀에서 63.2 %가 파괴되는 응력) Pa m 와이블 계수(편차가 작은 정도, 세라믹스 5~20) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 가장 약한 곳에서 파괴되는(최약 고리) 취성 재료이다. 부피 전체가 균일한 인장인 형태이므로, 굽힘 등 응력이 균일하지 않을 때는 유효 부피를 쓴다. m은 ln ln(1/(1 − Pf ))와 ln σ의 직선의 기울기이다.
흔한 실수 굽힘 시험의 강도를 인장 부품에 그대로 쓴다(유효 부피가 다르다). Pf 와 생존 확률 Ps = 1 − Pf 의 혼동.
예 와이블 계수 m = 10, σ₀ = 300 MPa(부피 V₀의 시험편)인 세라믹스를 200 MPa로: Pf = 1 − exp[−(200/300)¹⁰] = 0.0172. 부피가 10배인 부품에서 같은 파괴 확률이 되는 응력은 (1/10)^(1/10) = 0.794배로 내려간다.
용어 와이블 계수
출처: Weibull 1951; Callister 제10판 12장
열 12
ΔL/L₀ = αl ΔT [1]
αv ≈ 3αl 부피 팽창(등방) [K⁻¹]
기호 의미 SI 단위
ΔL, L₀ 길이의 변화와 원래의 길이 m αl 선팽창 계수 K⁻¹ ΔT 온도 변화(T₂ − T₁) K αv 부피 팽창 계수 K⁻¹
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 α를 그 온도 범위에서 일정하다고 볼 수 있을 때이다(넓은 범위에서는 α(T)를 적분). 부피의 3α는 등방성 재료에만 해당한다(이방성 결정·섬유 강화재는 방향별로).
흔한 실수 10⁻⁶ K⁻¹의 10⁻⁶을 빠뜨린다. 온도 차가 아니라 절대 온도를 곱한다. ℃의 차와 K의 차는 같다(ΔT는 어느 쪽으로 써도 된다).
예 황동선(α = 20 × 10⁻⁶ K⁻¹) 15 m를 40 ℃에서 −9 ℃로: ΔL = 20 × 10⁻⁶ × 15 × (−49) = −1.47 × 10⁻² m = −14.7 mm(줄어든다). 부피는 3α로 0.29 % 줄어든다.
계산 연습 열팽창에 의한 길이 변화 계산 도구 열팽창·열응력 랩
용어 선팽창 계수 인바
출처: Callister 제10판 19장
σ = −EαΔT 일축 구속 [kg·m⁻¹·s⁻²]
σ = −EαΔT/(1 − ν) 등이축 구속(판) [kg·m⁻¹·s⁻²]
σ = −EαΔT/(1 − 2ν) 삼축 구속 [kg·m⁻¹·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
σ 열응력(인장이 양) Pa E 영률 Pa α 선팽창 계수 K⁻¹ ΔT 응력이 없는 상태로부터의 온도 변화 K ν 푸아송비 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 완전히 구속한(신장을 0으로 한) 선형 탄성 범위이다. 가열하면 압축, 냉각하면 인장. 부분적인 구속이나 장소에 따라 온도가 다른 경우는 ‘열팽창·열응력 랩’의 식으로 다룬다.
흔한 실수 부호의 혼동. 판(2축)에 일축의 식을 쓴다. 항복을 넘은 값을 그대로 쓴다.
예 양 끝을 고정한 황동 막대(E = 100 GPa, α = 20 × 10⁻⁶ K⁻¹)를 20 ℃에서 가열: 압축 응력을 172 MPa 이하로 하는 최고 온도는 ΔT = 172/(100000 × 20 × 10⁻⁶) = 86.0 K, T = 106 ℃. 2축으로 구속한 판(ν = 0.35)이라면 같은 ΔT에서 응력은 1/(1 − ν) = 1.54배.
계산 연습 구속된 막대의 열응력 계산 도구 열팽창·열응력 랩
용어 열응력 선팽창 계수
출처: Callister 제10판 19장; Timoshenko & Goodier 제3판 13장
σf = [Ef /(1 − νf )](αs − αf )ΔT [kg·m⁻¹·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
σf 막의 열응력(등이축, 인장이 양) Pa Ef /(1 − νf ) 막의 이축 탄성 계수 Pa αs , αf 기판·막의 선팽창 계수 K⁻¹ ΔT 응력이 없는 온도로부터의 변화(냉각하면 음) K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 막이 기판보다 훨씬 얇고(기판은 변형하지 않음), 막의 면내에서 등방이며, 선형 탄성일 때이다. 성막 온도를 응력이 없는 온도로 한다(성막 중의 진성 응력은 따로 더한다).
흔한 실수 (αf − αs )와 (αs − αf )의 방향. 1 − ν를 빠뜨린다(일축의 식). 단결정 기판·막의 이방성을 무시한다.
예 Si 기판(αs = 2.6 × 10⁻⁶ K⁻¹) 위의 Al 막(Ef = 70 GPa, νf = 0.33, αf = 23.1 × 10⁻⁶ K⁻¹)을 400 ℃에서 응력이 없다고 보고 25 ℃로 냉각: σf = (70000/0.67) × (2.6 − 23.1) × 10⁻⁶ × (−375) = 803 MPa(인장). 실제로는 Al이 항복하므로 이 탄성 값까지 올라가지 않는다.
계산 연습 박막의 열응력(등이축) 계산 도구 열팽창·열응력 랩
용어 열응력
출처: Timoshenko & Goodier 제3판 13장
σf = Es ts ² κ/[6(1 − νs ) tf ] [kg·m⁻¹·s⁻²]
κ = 1/R 곡률 [m⁻¹]
기호 의미 SI 단위
σf 막의 평균 응력 Pa Es /(1 − νs ) 기판의 이축 탄성 계수 Pa ts , tf 기판·막의 두께 m κ 곡률(성막 전후의 차) m⁻¹ R 곡률 반지름 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 tf ≪ ts 이고, 휨이 기판 두께보다 작으며, 기판이 등방일 때이다(Si(100)은 이축 탄성 계수 180 GPa를 쓴다). 막의 탄성 상수는 필요 없다.
흔한 실수 ts 와 tf 를 바꿔 넣는다(ts 는 제곱). 성막 전의 곡률을 빼지 않는다. 지름과 반지름의 혼동(곡률 반지름).
예 (100) Si 웨이퍼(이축 탄성 계수 Es /(1 − νs ) = 180 GPa, 두께 0.525 mm)에 1 µm 막을 입혔더니 곡률 반지름이 50 m가 되었다: σf = 180 × 10⁹ × (0.525 × 10⁻³)²/(6 × 10⁻⁶ × 50) = 165 MPa.
계산 도구 열팽창·열응력 랩
용어 열응력
출처: Stoney 1909
σ₁A₁ + σ₂A₂ = 0 힘의 평형 [kg·m·s⁻²]
α₁ΔT + σ₁/E₁ = α₂ΔT + σ₂/E₂ 신장량이 같음 [1]
σ₁ = −(α₁ − α₂)ΔT/[1/E₁ + A₁/(A₂E₂)] 해 [kg·m⁻¹·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
σ₁, σ₂ 각 막대의 응력 Pa A₁, A₂ 단면적 m² α₁, α₂ 선팽창 계수 K⁻¹ E₁, E₂ 영률 Pa ΔT 온도 변화 K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 양 끝을 연결한 병렬의 두 막대(외력 없음), 균일한 온도, 선형 탄성, 굽힘 없음일 때이다. 외부 하중도 걸릴 때는 힘의 평형식의 우변을 그 하중으로 한다.
흔한 실수 어느 한쪽을 완전히 구속한 값(EαΔT)으로 끝낸다. 단면적의 차이를 무시한다.
예 같은 단면(100 mm²)의 강(E = 200 GPa, α = 12 × 10⁻⁶)과 Al(70 GPa, 23 × 10⁻⁶) 막대를 양 끝에서 연결하고 100 K 가열: 강의 응력 σ₁ = −(12 − 23) × 10⁻⁶ × 100/(1/200000 + 1/70000) = 57.0 MPa(인장), Al의 응력 σ₂ = −57.0 MPa(압축).
계산 연습 조합 막대(바이메탈)의 열응력 계산 도구 열팽창·열응력 랩
용어 열응력 선팽창 계수
출처: Timoshenko & Goodier 제3판 13장; Callister 제10판 19장
κ = 6Δε(1 + m)²/{h[3(1 + m)² + (1 + mn)(m² + 1/(mn))]} [m⁻¹]
κ = 3Δε/(2h) t₁ = t₂, E₁ = E₂ [m⁻¹]
m = t₁/t₂, n = E₁/E₂ 기호 [1]
h = t₁ + t₂ 전체 두께 [m]
기호 의미 SI 단위
κ 곡률 m⁻¹ Δε 열변형률의 차 (α₂ − α₁)ΔT 1 t₁, t₂, h 각 층의 두께와 전체 두께 m m, n 두께의 비·영률의 비 1 E₁, E₂ 각 층의 영률 Pa
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 2층 보, 폭 방향의 구속 없음(평면 응력의 보), 선형 탄성, 균일한 온도일 때이다. 판으로서 폭도 넓을 때는 E를 E/(1 − ν)로 한다.
흔한 실수 팽창이 큰 층 쪽이 볼록해지는 방향을 혼동한다. h를 한쪽 층의 두께로 한다.
예 두께 0.5 mm씩이고 영률이 같은 2층에서 팽창 계수의 차 18 × 10⁻⁶ K⁻¹, 50 K 가열(Δε = 9.0 × 10⁻⁴): m = n = 1로 κ = 3Δε/(2h) = 1.35 m⁻¹(곡률 반지름 0.741 m).
계산 도구 열팽창·열응력 랩
용어 열응력
출처: Timoshenko 1925
R = σf (1 − ν)/(Eα) 열충격 저항(급랭) [K]
R′ = κR 열유속이 일정할 때 [kg·m·s⁻³]
β = ah/κ 비오 수 [1]
ΔTc = R(1.5 + 3.25/β − 0.5e−16/β ) Manson 식 [K]
기호 의미 SI 단위
R 급랭으로 균열이 생기는 온도 차(β → ∞) K σf 파괴 강도 Pa ν 푸아송비 1 E 영률 Pa α 선팽창 계수 K⁻¹ κ 열전도율 W/(m·K) R′ 제2 열충격 저항 W/m β 비오 수 1 a 판 두께의 절반 m h 열전달 계수 W/(m²·K) ΔTc 균열이 생기는 온도 차 K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 취성 재료의 판을 표면에서 갑자기 냉각(또는 가열)할 때 균열이 생기기 시작하는 조건이다. β가 클수록(급랭·두꺼움·낮은 열전도) R에 가까워진다. 강도의 편차·균열의 진전 방식(R‴ 등)은 따로 생각한다.
흔한 실수 a에 판 두께 전체를 넣는다(절반). α의 10⁻⁶을 빠뜨린다. 가열과 냉각에서 표면 응력의 방향이 반대가 되는 것을 잊는다.
예 알루미나(‘열팽창·열응력 랩’의 데이터: σf = 310 MPa, ν = 0.23, E = 360 GPa, α = 7.2 × 10⁻⁶ K⁻¹, κ = 29 W/(m·K)): R = 92.1 K, R′ = κR = 2671 W/m. 두께 10 mm의 판(a = 5 mm)을 물로 냉각(h ≈ 10⁴ W/(m²·K)): β = ah/κ = 1.72, 균열이 생기는 온도 차 ΔTc ≈ R × (1.5 + 3.25/β − 0.5e^(−16/β)) = 312 K.
계산 도구 열팽창·열응력 랩
용어 열응력
출처: Kingery 제2판 16장; Manson 1966
q = −κ dT/dx [kg·s⁻³]
q = κΔT/L 평판(정상 상태) [kg·s⁻³]
기호 의미 SI 단위
q 열유속 W/m² κ 열전도율 W/(m·K) T, ΔT 온도·판 양면의 온도 차 K x, L 위치·판의 두께 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 정상 상태이고 κ가 온도에 무관할 때이다. 겹친 판은 열저항 L/κ를 더한다. 표면의 열전달(대류)이 있으면 1/h도 더한다.
흔한 실수 두께를 mm 그대로 넣는다. 열전도율과 열확산율의 혼동.
예 강판(κ = 50 W/(m·K)), 두께 10 mm, 양면의 온도 차 100 K(정상 상태): q = 50 × 100/0.010 = 5.0 × 10⁵ W/m².
계산 연습 판을 통과하는 열유속
용어 포논
출처: Callister 제10판 19장
a = κ/(ρcp ) [m²·s⁻¹]
∂T/∂t = a ∂²T/∂x² 비정상 열전도 [s⁻¹·K]
기호 의미 SI 단위
a 열확산율 m²/s κ 열전도율 W/(m·K) ρ 밀도 kg/m³ cp 비열(정압) J/(kg·K) T 온도 K t 시간 s x 위치 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 비정상 열전도의 빠르기를 정하는 양으로, 확산의 D와 같은 형태의 식이 된다(erfc 해 등을 그대로 쓸 수 있다). 레이저 플래시법으로 a를 측정하고 κ = aρcp 로 열전도율을 구한다.
흔한 실수 cp 를 J/(mol·K) 그대로 쓴다(질량당으로). ρ를 g/cm³ 그대로 쓴다.
예 Cu(κ = 398 W/(m·K), ρ = 8960 kg/m³, cp = 385 J/(kg·K)): a = 1.15 × 10⁻⁴ m²/s. 1 s에 열이 도달하는 거리의 기준 √(at) = 10.7 mm.
용어 열확산율
출처: Callister 제10판 19장
Cv = 3R T ≫ θD (뒬롱-프티) [kg·m²·s⁻²·K⁻¹·mol⁻¹]
Cv = (12π⁴/5)R(T/θD )³ T ≪ θD (디바이의 T³ 법칙) [kg·m²·s⁻²·K⁻¹·mol⁻¹]
기호 의미 SI 단위
Cv 정적 몰 비열(격자 성분) J/(mol·K) R 기체 상수 J/(mol·K) T 온도 K θD 디바이 온도 K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 단체 고체의 1 mol(원자)당 값이다. 화합물은 화학식의 원자 수를 곱한다. 금속은 저온에서 전자 비열(T에 비례)이 더해진다. 고체에서는 Cp 와 Cv 의 차가 작다.
흔한 실수 몰당과 질량당의 혼동. 화합물에서 원자 수를 곱하는 것을 잊는다.
예 Al(디바이 온도 θD = 428 K): 20 K에서 Cv = (12π⁴/5)R(20/428)³ = 0.198 J/(mol·K). 실온 부근의 상한 3R = 24.94 J/(mol·K), 질량당 3R/M = 924 J/(kg·K)(실측 cp 는 897 J/(kg·K)).
용어 뒬롱-프티 법칙 디바이 온도 포논
출처: Kittel 제8판 5장; Callister 제10판 19장
κe /(σT) = L₀ [kg²·m⁴·s⁻⁶·K⁻²·A⁻²]
L₀ = (π²/3)(k/e)² = 2.44 × 10⁻⁸ W·Ω/K² 로렌츠 수 [kg²·m⁴·s⁻⁶·K⁻²·A⁻²]
기호 의미 SI 단위
κe 전자에 의한 열전도율 W/(m·K) σ 전기 전도도 S/m T 온도 K L₀ 로렌츠 수 W·Ω/K² k 볼츠만 상수 J/K e 기본 전하 C
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 금속의 전자 전도로, 실온 이상과 극저온에서 잘 맞는다(중간 온도에서는 비탄성 산란 때문에 작아진다). 격자(포논)의 열전도는 포함하지 않으므로 합금·반도체에서는 κ = κe + κph .
흔한 실수 비저항 ρ와 전기 전도도 σ의 혼동. 절연체·세라믹스에 적용한다.
예 Cu(σ = 5.96 × 10⁷ S/m, 293 K): κe = L₀σT = 2.443 × 10⁻⁸ × 5.96 × 10⁷ × 293 = 427 W/(m·K)(실측 401 W/(m·K)).
용어 비데만-프란츠 법칙
출처: Kittel 제8판 6장
p = δ/{d[(1/Eo )((D² + d²)/(D² − d²) + νo ) + (1/Ei )((d² + di ²)/(d² − di ²) − νi )]} [kg·m⁻¹·s⁻²]
σθ = p(D² + d²)/(D² − d²) 링 내면의 원주 방향 응력 [kg·m⁻¹·s⁻²]
ΔT = (δ + c)/(αd) 조립에 필요한 가열 [K]
기호 의미 SI 단위
p 끼워맞춤면의 압력 Pa δ 지름 죔새 m d 끼워맞춤 지름 m D 외측 부재(링)의 바깥지름 m di 내측 부재의 구멍 지름(중실이면 0) m Eo , Ei 외측·내측 부재의 영률 Pa νo , νi 외측·내측 부재의 푸아송비 1 σθ 원주 방향 응력 Pa c 조립 틈새 m α 외측 부재의 선팽창 계수 K⁻¹ ΔT 가열하는 온도 차 K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 후육 원통, 평면 응력, 선형 탄성, 끼워맞춤 길이 전체에서 압력이 균일할 때이다. 항복하면 압력은 내려간다. 링 내면의 원주 방향 응력이 가장 크다.
흔한 실수 반지름 죔새를 지름의 식에 넣는다(2배의 차이). 내측 부재 항의 ν 부호(− νi ).
예 강 링(바깥지름 100 mm)을 지름 50 mm의 강 축에 지름 죔새 0.05 mm로 열박음(E = 200 GPa, ν = 0.3): p = 75.0 MPa, 링 내면의 원주 방향 응력 p(D² + d²)/(D² − d²) = 125 MPa(인장). 0.02 mm의 틈새를 두고 끼우려면 링을 ΔT = (0.05 + 0.02)/(12 × 10⁻⁶ × 50) = 117 K 가열한다.
계산 도구 열팽창·열응력 랩
용어 선팽창 계수
출처: Timoshenko & Goodier 제3판 4장
복합재료 9
Ecl = Vf Ef + Vm Em 섬유 방향(등변형률, Voigt) [kg·m⁻¹·s⁻²]
Ff /Fm = Vf Ef /(Vm Em ) 하중 분담 [1]
Vf + Vm = 1 공극 없음 [1]
기호 의미 SI 단위
Ecl 복합재료의 섬유 방향 영률 Pa Ef , Em 섬유·기지의 영률 Pa Vf , Vm 섬유·기지의 부피 분율 1 Ff , Fm 섬유·기지가 받는 힘 N
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 연속 섬유가 정렬되어 있고 섬유와 기지가 같은 변형률이 될 때(잘 접착되어 있을 때)이다. 탄성률의 상한(Voigt)이다. 부피 분율로 넣는다(질량 분율은 먼저 부피 분율로 바꾼다). 공극은 강성이 0인 상으로서 V에 센다.
흔한 실수 질량 분율을 그대로 넣는다. 섬유에 수직인 방향에도 쓴다(아래의 역혼합 법칙). 하중의 비와 하중의 분율(Ff /(Ff + Fm ))을 혼동한다.
예 유리 섬유 40 vol%(Ef = 69 GPa)와 폴리에스터(Em = 3.4 GPa)의 일방향재(Callister 16장 예제와 같은 수치): Ecl = 0.40 × 69 + 0.60 × 3.4 = 29.6 GPa. 하중 분담 Ff /Fm = (0.40 × 69)/(0.60 × 3.4) = 13.5(섬유가 전체의 93.1 %를 받는다).
계산 연습 혼합 법칙(섬유 방향의 영률) 섬유와 기지의 하중 분담 계산 도구 복합재료 설계 도구
용어 혼합 법칙 GFRP(유리 섬유 강화 플라스틱)
출처: Callister 제10판 16장; Hull & Clyne 제2판 3장
1/Ect = Vf /Ef + Vm /Em 섬유에 수직(등응력, Reuss) [kg⁻¹·m·s²]
Ect = Ef Em /(Vf Em + Vm Ef ) [kg·m⁻¹·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
Ect 섬유에 수직인 방향의 영률 Pa Ef , Em 섬유·기지의 영률 Pa Vf , Vm 부피 분율 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 섬유와 기지가 같은 응력을 받는다고 보는 탄성률의 하한(Reuss)이다. 실제 횡방향 탄성률은 이보다 조금 크며, Halpin–Tsai 식이 더 잘 맞는다. 탄소 섬유는 지름 방향의 탄성률이 섬유 방향보다 훨씬 작으므로(T300에서 약 15 GPa) Ef 에는 지름 방향의 값을 쓴다.
흔한 실수 역수를 취하는 것을 잊는다(Vf /Ef + Vm /Em 그대로). 탄소 섬유의 Ef 에 섬유 방향의 값을 넣는다.
예 같은 유리 40 vol%/폴리에스터의 섬유에 수직인 방향: 1/Ect = 0.40/69 + 0.60/3.4 → Ect = 5.49 GPa(섬유 방향의 19 %).
계산 연습 역혼합 법칙(섬유에 수직인 방향) 계산 도구 복합재료 설계 도구
용어 혼합 법칙
출처: Callister 제10판 16장; Hull & Clyne 제2판 3장
P/Pm = (1 + ξηVf )/(1 − ηVf ) [1]
η = (Pf /Pm − 1)/(Pf /Pm + ξ) [1]
기호 의미 SI 단위
P 복합재료의 탄성률(E₂ 또는 G₁₂) Pa Pf , Pm 섬유·기지의 같은 종류의 탄성률 Pa ξ 형상 계수(원형 섬유의 E₂에서 2, G₁₂에서 1) 1 η 보조량 1 Vf 섬유의 부피 분율 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 일방향재의 횡방향 탄성률 E₂와 면내 전단 탄성률 G₁₂의 실용적인 근사이다. ξ = 0이면 역혼합 법칙, ξ → ∞이면 혼합 법칙이 된다. Vf 가 0.6을 넘으면 실측보다 작게 나오는 경우가 있다.
흔한 실수 ξ를 성질별로 바꾸지 않는다(E₂와 G₁₂에서 다르다). G₁₂의 Pm 에 Em 을 넣는다(Gm = Em /[2(1 + νm )]).
예 같은 유리 40 vol%/폴리에스터의 횡방향 탄성률을 ξ = 2로: η = (69/3.4 − 1)/(69/3.4 + 2) = 0.8654, E₂ = 3.4 × (1 + 2 × 0.8654 × 0.40)/(1 − 0.8654 × 0.40) = 8.80 GPa(역혼합 법칙의 5.49 GPa보다 크다).
계산 도구 복합재료 설계 도구
용어 혼합 법칙
출처: Halpin & Kardos 1976; Jones 제2판 3장
Vf = (wf /ρf )/(wf /ρf + wm /ρm ) 질량 분율에서 부피 분율로 [1]
wf = Vf ρf /ρc 부피 분율에서 질량 분율로 [1]
ρc = Vf ρf + Vm ρm 밀도(혼합 법칙) [kg·m⁻³]
기호 의미 SI 단위
Vf , Vm 섬유·기지의 부피 분율 1 wf , wm 섬유·기지의 질량 분율 1 ρf , ρm , ρc 섬유·기지·복합재료의 밀도 kg/m³
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 공극이 없을 때이다. 공극의 부피 분율 Vv 가 있으면 Vf + Vm + Vv = 1이며, 실측 밀도와 연소법 등으로 구한 질량 분율로부터 Vv 를 구한다. 밀도의 단위는 비를 취하므로 g/cm³ 그대로 써도 된다.
흔한 실수 질량 분율을 부피 분율로 보고 혼합 법칙에 넣는다. wm = 1 − wf 대신 1 − Vf 를 쓴다.
예 탄소 섬유(ρf = 1.76 g/cm³) 65 wt%의 에폭시(ρm = 1.20 g/cm³): Vf = (0.65/1.76)/(0.65/1.76 + 0.35/1.20) = 0.3693/(0.3693 + 0.2917) = 0.559. ρc = 0.559 × 1.76 + 0.441 × 1.20 = 1.51 g/cm³.
계산 연습 혼합 법칙(섬유 방향의 영률) 계산 도구 복합재료 설계 도구
용어 CFRP(탄소 섬유 강화 플라스틱) 혼합 법칙
출처: Hull & Clyne 제2판 1장; Callister 제10판 16장
σcl * = Vf σf * + Vm σm ′ 섬유가 먼저 끊어짐(εf * < εm *) [kg·m⁻¹·s⁻²]
σm ′ = Em εf * 섬유가 끊어질 때의 기지 응력 [kg·m⁻¹·s⁻²]
Vmin = (σm * − σm ′)/(σf * + σm * − σm ′) 섬유가 강도를 지배하는 최소 부피 분율 [1]
기호 의미 SI 단위
σcl * 섬유 방향의 인장 강도 Pa σf *, σm * 섬유·기지의 인장 강도 Pa σm ′ 섬유가 끊어지는 변형률에서의 기지 응력 Pa εf * 섬유의 파단 변형률 σf */Ef 1 Em 기지의 영률 Pa Vf , Vm 부피 분율 1 Vmin 최소 부피 분율 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 연속 섬유이고, 섬유의 파단 변형률이 기지보다 작을 때(탄소·유리/에폭시)이다. 섬유 강도의 편차(와이블)나 섬유 배향의 흐트러짐 때문에 실측값은 70~90 %가 되는 경우가 많다. 기지가 먼저 깨지는 조합(세라믹 기지)에서는 다른 식을 쓴다.
흔한 실수 σm ′에 기지의 인장 강도 σm *을 넣는다. 섬유에 수직인 방향의 강도에도 쓴다(수직 방향은 기지와 계면이 정한다).
예 T300 탄소 섬유(σf * = 3530 MPa, Ef = 230 GPa)와 8552 에폭시(Em = 4.67 GPa, σm * = 121 MPa, 파단 변형률 1.7 %), Vf = 0.60(‘복합재료 설계 도구’의 값): 섬유의 파단 변형률 3530/230000 = 1.53 %가 기지보다 작으므로 섬유가 먼저 끊어진다. σm ′ = 4670 × 0.0153 = 71.7 MPa, σcl * = 0.60 × 3530 + 0.40 × 71.7 = 2147 MPa. Vmin = 1.4 × 10⁻²이므로 보통의 부피 분율에서는 섬유가 강도를 지배한다.
계산 도구 복합재료 설계 도구
용어 CFRP(탄소 섬유 강화 플라스틱) 혼합 법칙
출처: Callister 제10판 16장; Hull & Clyne 제2판 8장
lc = σf * d/(2τc ) 임계 섬유 길이 [m]
σcd * = Vf σf *(1 − lc /(2l)) + Vm σm ′ l > lc [kg·m⁻¹·s⁻²]
σcd * = Vf τc l/d + Vm σm ′ l < lc [kg·m⁻¹·s⁻²]
기호 의미 SI 단위
lc 임계 섬유 길이 m l 섬유 길이 m σf * 섬유의 인장 강도 Pa d 섬유의 지름 m τc 계면 전단 강도(또는 기지의 전단 항복 응력) Pa σcd * 정렬된 단섬유 복합재료의 강도 Pa Vf , Vm 부피 분율 1 σm ′ 기지의 응력 Pa
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 섬유가 하중 방향으로 정렬되어 있고, 계면 전단 응력이 섬유 끝에서부터 일정하다고(강소성) 볼 때이다. 섬유의 방향이 제각각이면 배향 효율(Krenchel, 2차원 랜덤에서 3/8)을 곱한다. l이 lc 의 15배 정도이면 연속 섬유에 가깝다.
흔한 실수 d에 반지름을 넣는다(2배의 차이). µm와 mm를 섞는다. l < lc 인데 위의 식을 쓴다.
예 탄소 섬유(σf * = 3500 MPa, d = 7 µm), 계면 전단 강도 τc = 40 MPa: lc = 3500 × 0.007/(2 × 40) = 0.306 mm. 길이 3 mm의 섬유를 30 vol% 정렬하고 σm ′ = 50 MPa라면 σcd * = 0.30 × 3500 × (1 − 0.306/6) + 0.70 × 50 = 1031 MPa. 길이 0.2 mm(l < lc )라면 0.30 × 40 × 0.2/0.007 + 35 = 378 MPa.
계산 도구 복합재료 설계 도구
용어 임계 섬유 길이
출처: Kelly & Tyson 1965; Callister 제10판 16장; Hull & Clyne 제2판 7장
α₁ = (Ef αf Vf + Em αm Vm )/(Ef Vf + Em Vm ) 섬유 방향 [K⁻¹]
α₂ = (1 + νf )αf Vf + (1 + νm )αm Vm − α₁ν₁₂ 섬유에 수직 [K⁻¹]
ν₁₂ = Vf νf + Vm νm 주 푸아송비 [1]
기호 의미 SI 단위
α₁, α₂ 일방향재의 선팽창 계수(섬유 방향·수직) K⁻¹ αf , αm 섬유·기지의 선팽창 계수 K⁻¹ Ef , Em 섬유·기지의 영률 Pa νf , νm , ν₁₂ 푸아송비 1 Vf , Vm 부피 분율 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 등방성인 섬유와 기지(유리·현무암)이다. 탄소·아라미드 섬유는 지름 방향과 축 방향의 α가 다르므로, α₂의 (1 + νf )αf 를 αf2 + νf αf1 로 바꾼다(‘복합재료 설계 도구’는 이 형태). α₁은 강성이 큰 섬유에 끌려 부피 분율의 단순 평균보다 훨씬 작다.
흔한 실수 α₁을 부피 분율의 단순 평균으로 한다. 탄소 섬유의 α가 음(축 방향)이라는 것을 잊는다.
예 E 유리(Ef = 72.3 GPa, αf = 5.4 × 10⁻⁶ K⁻¹, νf = 0.2)와 에폭시(2.73 GPa, 83.4 × 10⁻⁶ K⁻¹, νm = 0.35), Vf = 0.60(‘복합재료 설계 도구’의 값): α₁ = (72.3 × 5.4 × 0.6 + 2.73 × 83.4 × 0.4)/(72.3 × 0.6 + 2.73 × 0.4) = 7.32 × 10⁻⁶ K⁻¹(단순 평균이라면 36.6 × 10⁻⁶). ν₁₂ = 0.260, α₂ = 47.0 × 10⁻⁶ K⁻¹.
계산 도구 복합재료 설계 도구
용어 선팽창 계수 혼합 법칙
출처: Schapery 1968; Jones 제2판 3장
1/Ex = cos⁴θ/E₁ + (1/G₁₂ − 2ν₁₂/E₁) sin²θ cos²θ + sin⁴θ/E₂ [kg⁻¹·m·s²]
기호 의미 SI 단위
Ex 섬유로부터 θ 방향의 영률 Pa E₁, E₂ 단층의 섬유 방향·수직 방향 영률 Pa G₁₂ 면내 전단 탄성률 Pa ν₁₂ 주 푸아송비 1 θ 하중과 섬유가 이루는 각 rad
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 일방향재 한 장의 층(평면 응력, 직교 이방성)을 섬유로부터 θ 방향으로 일축 인장할 때이다. 적층판의 강성은 층을 겹친 고전 적층 이론(A 행렬)으로 구한다. G₁₂ 항 때문에 G₁₂가 약 E₂/2보다 작은 재료에서는 45°와 90° 사이에서 E₂보다 작아진다(예의 재료는 모든 각도에서 E₂ 이상이다).
흔한 실수 E를 cos²θ로 회전시킨다(4제곱과 전단 항이 필요하다). 1/Ex 의 역수를 취하는 것을 잊는다. 도와 라디안의 혼동.
예 T300/5208 단층(E₁ = 181 GPa, E₂ = 10.3 GPa, G₁₂ = 7.17 GPa, ν₁₂ = 0.28, ‘복합재료 설계 도구’의 값): θ = 30°에서 Ex = 28.8 GPa, 45°에서 16.7 GPa. 30° 어긋나는 것만으로 섬유 방향의 1/6.3이 된다.
계산 도구 복합재료 설계 도구
용어 준등방성 적층 CFRP(탄소 섬유 강화 플라스틱)
출처: Jones 제2판 2장; Hull & Clyne 제2판 5장
(σ₁/X)² − σ₁σ₂/X² + (σ₂/Y)² + (τ₁₂/S)² = 1 파손 조건 [1]
R = 1/√ITH 강도비(비례 하중, ITH 는 좌변의 값) [1]
기호 의미 SI 단위
σ₁, σ₂, τ₁₂ 층의 주축 방향 응력 Pa X, Y 섬유 방향·수직 방향의 강도(인장인지 압축인지는 응력의 부호로 고른다) Pa S 면내 전단 강도 Pa ITH 좌변의 값(파손 지수) 1 R 강도비(몇 배의 하중에서 파손되는가) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 일방향재 층의 면내 응력(평면 응력)이다. 인장과 압축에서 강도가 다른 재료에서는 응력의 부호별로 X·Y를 고른다. 응력의 비를 바꾸지 않고 하중을 크게 했을 때의 강도비 R은 좌변 제곱근의 역수이다.
흔한 실수 전체 좌표의 응력(σx )을 그대로 넣는다(층의 주축으로 회전시킨다). 강도비를 좌변의 역수로 한다(제곱근이 필요하다).
예 T300/5208(X = 1500, Y = 40, S = 68 MPa)을 섬유로부터 30° 방향으로 100 MPa 인장: σ₁ = 75.0, σ₂ = 25.0, τ₁₂ = −43.3 MPa. 좌변 = 0.798로 1을 넘지 않으므로 파손되지 않는다. 강도비 R = 1/√0.798 = 1.12(30° 방향의 강도 112 MPa).
계산 도구 복합재료 설계 도구
용어 CFRP(탄소 섬유 강화 플라스틱) 층간 박리
출처: Jones 제2판 2장; Hull & Clyne 제2판 8장
전기·부식·고온 11
R = ρL/A 도선의 저항 [kg·m²·s⁻³·A⁻²]
ρ(T) = ρ₂₀[1 + αR (T − T₂₀)] 온도에 따른 변화 [kg·m³·s⁻³·A⁻²]
σ = 1/ρ 전기 전도도 [kg⁻¹·m⁻³·s³·A²]
기호 의미 SI 단위
R 전기 저항 Ω ρ, ρ₂₀ 비저항·20 ℃의 비저항 Ω·m L 길이 m A 단면적 πd²/4 m² αR 비저항의 온도 계수(20 ℃ 기준) K⁻¹ T, T₂₀ 온도·기준 온도 20 ℃ K σ 전기 전도도 S/m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 금속의 실온 부근(대략 −50~150 ℃)에서 비저항이 온도에 비례하여 변할 때이다. αR 은 기준 온도마다 값이 다르다(0 ℃ 기준과 20 ℃ 기준).
흔한 실수 지름을 반지름으로 보고 단면적을 πd²로 한다. 온도 보정을 잊는다. 비저항과 저항의 혼동.
예 풀림 구리(IEC 60028: ρ₂₀ = 1.7241 × 10⁻⁸ Ω·m, αR = 0.00393 K⁻¹)의 지름 1 mm, 길이 100 m의 선을 75 ℃에서: ρ = 1.7241 × 10⁻⁸ × (1 + 0.00393 × 55) = 2.097 × 10⁻⁸ Ω·m, A = π(0.001)²/4 = 7.854 × 10⁻⁷ m², R = 2.67 Ω(20 ℃에서는 2.20 Ω).
계산 연습 도선의 전기 저항과 온도
용어 마티센 규칙
출처: IEC 60028; Callister 제10판 18장
ρ = ρt + ρi + ρd 마티센 규칙 [kg·m³·s⁻³·A⁻²]
ρi = A ci (1 − ci ) 고용에 의한 성분(노르트하임) [kg·m³·s⁻³·A⁻²]
기호 의미 SI 단위
ρ 전체 비저항 Ω·m ρt , ρi , ρd 열진동·불순물·결함(가공)에 의한 성분 Ω·m A 용질과 용매의 조합으로 정해지는 상수 Ω·m ci 용질의 원자 분율 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 산란 원인끼리 독립이라고 볼 수 있는 금속이다. ρt 만 온도에 따라 변하고, ρi ·ρd 는 온도에 무관하다(저온에서 남는 잔류 저항). 노르트하임 식은 전율 고용 합금의 희박~중간 농도에서 쓴다.
흔한 실수 전기 전도도(σ)를 더한다(더하는 것은 비저항). 농도를 at% 그대로 넣는다(분율로).
예 Cu에 Ni를 3 at% 고용시킨다(실온 Cu의 ρt = 1.72 × 10⁻⁸ Ω·m, Cu–Ni의 A는 Callister의 그림에서 읽은 기준값으로 1.2 × 10⁻⁶ Ω·m): ρi = 1.2 × 10⁻⁶ × 0.03 × 0.97 = 3.49 × 10⁻⁸ Ω·m, ρ ≈ 5.21 × 10⁻⁸ Ω·m(순구리의 3.03배).
용어 마티센 규칙 고용 강화
출처: Callister 제10판 18장
σ = n e μe + p e μh [kg⁻¹·m⁻³·s³·A²]
σ ≈ ND e μe n형(도너가 모두 이온화) [kg⁻¹·m⁻³·s³·A²]
ρ = 1/σ 비저항 [kg·m³·s⁻³·A⁻²]
기호 의미 SI 단위
σ 전기 전도도 S/m n, p 전자·정공의 농도 m⁻³ ND 도너 농도 m⁻³ e 기본 전하 C μe , μh 전자·정공의 이동도 m²/(V·s) ρ 비저항 Ω·m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 실온 부근에서 도너·억셉터가 모두 이온화되어 있을 때(외인성 영역)이다. 이동도는 불순물 농도에 따라 내려가므로 농도에 맞는 값을 쓴다(실험식에 따라 몇 % 다르다. 이 사이트의 계산 연습은 Caughey–Thomas 형태, ‘확산·표면 처리 시뮬레이터’는 Arora 식이며, n형 Si의 전자에서는 10¹⁷~10¹⁸ cm⁻³에서 최대 8 % 정도 다르다).
흔한 실수 cm⁻³와 cm²/(V·s)를 SI로 바꾸지 않는다(또는 한쪽만 바꾼다). 전도도와 비저항의 혼동.
예 도너 농도 10¹⁶ cm⁻³(= 10²² m⁻³)인 n형 Si, 전자 이동도 1200 cm²/(V·s) = 0.12 m²/(V·s): σ = 10²² × 1.602 × 10⁻¹⁹ × 0.12 = 192 S/m, ρ = 1/σ = 5.20 × 10⁻³ Ω·m = 0.520 Ω·cm.
계산 연습 n형 실리콘의 비저항 계산 도구 확산·표면 처리 시뮬레이터
용어 간접 천이형 반도체
출처: Sze 제3판 1장; Callister 제10판 18장
ni = √(Nc Nv ) exp(−Eg /(2kT)) [m⁻³]
ni ∝ T3/2 exp(−Eg /(2kT)) 온도에 따른 변화 [m⁻³]
np = ni ² 질량 작용 법칙 [m⁻⁶]
기호 의미 SI 단위
ni 진성 캐리어 농도 m⁻³ Nc , Nv 전도대·가전자대의 유효 상태 밀도 m⁻³ Eg 밴드갭(eV라면 k를 eV/K로) J k 볼츠만 상수 J/K T 온도 K n, p 전자·정공의 농도 m⁻³
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: Eg /2kT
적용 조건과 범위 비축퇴 반도체(페르미 준위가 밴드 끝에서 수 kT 이상 떨어져 있음)이다. Nc ·Nv 는 T3/2 에 비례한다. Eg 도 온도에 따라 조금 변한다(Si에서 300 K일 때 1.12 eV).
흔한 실수 지수의 2를 빠뜨린다(Eg /kT로 한다). eV와 J의 혼동.
예 Si(Eg = 1.12 eV, 온도에 따른 Eg 의 변화는 무시)를 300 K에서 350 K로: ni (350)/ni (300) = (350/300)^(1.5) × exp[−1.12/(2 × 8.617 × 10⁻⁵) × (1/350 − 1/300)] = 27.8배. 300 K의 ni 는 약 10¹⁰ cm⁻³(Sze).
용어 간접 천이형 반도체
출처: Sze 제3판 1장; Kittel 제8판 8장
Rs = ρ/xj 면저항 [kg·m²·s⁻³·A⁻²]
Rs = 1/(q∫₀xj μ(N) N(x) dx) 농도 분포가 있을 때 [kg·m²·s⁻³·A⁻²]
Rs ≈ 1/(qμN xj ) 균일한 층 [kg·m²·s⁻³·A⁻²]
기호 의미 SI 단위
Rs 면저항(Ω/□) Ω ρ 층의 비저항 Ω·m xj 접합 깊이(층의 두께) m q 기본 전하 C μ 캐리어 이동도(농도에 따라 다르다) m²/(V·s) N 순 불순물 농도 m⁻³ x 깊이 m
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 층이 얇고 전류가 면에 평행하게 흐를 때이다. 4탐침법으로 측정하는 Rs = 4.53 V/I는 시료가 탐침 간격보다 충분히 넓고 얇을 때 성립한다. 기판의 불순물과 반대형인 층에서 N은 순 농도(N − NB )이다.
흔한 실수 농도와 관계없이 하나의 이동도를 쓴다(농도가 높을수록 작다). xj 를 µm 그대로 넣는다.
예 깊이 0.5 µm까지 균일하게 10¹⁹ cm⁻³(= 10²⁵ m⁻³)의 도너를 넣은 n형 층(전자 이동도는 Arora 식으로 114 cm²/(V·s), ‘확산·표면 처리 시뮬레이터’와 같다): Rs = 1/(qμNxj ) = 1/(1.602 × 10⁻¹⁹ × 0.0114 × 10²⁵ × 0.5 × 10⁻⁶) = 109 Ω/□.
계산 도구 확산·표면 처리 시뮬레이터
용어 확산 계수
출처: Sze 제3판 1장
m = ItM/(nF) 용해된 질량 [kg]
v = iM/(nFρ) 표면이 후퇴하는 속도 [m·s⁻¹]
기호 의미 SI 단위
m 용해된 금속의 질량 kg I 전류 A t 시간 s M 몰 질량(원자량) kg/mol n 이온의 가수(원자 1개가 내놓는 전자의 수) 1 F 패러데이 상수 C/mol v 부식 속도(두께) m/s i 부식 전류 밀도 A/m² ρ 금속의 밀도 kg/m³
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 흐른 전기가 모두 금속의 용해에 쓰이고(전류 효율 100 %) 전면이 균일하게 용해될 때이다. 공식 부식 같은 국부 부식에서는 평균 속도보다 깊은 구멍이 생긴다.
흔한 실수 가수 n을 빠뜨린다. µA/cm²와 A/m²의 환산(1 µA/cm² = 10⁻² A/m²). g/cm³ 그대로 cm와 µm를 섞는다.
예 철(M = 55.845 g/mol, ρ = 7.87 g/cm³)이 Fe²⁺로 균일하게 용해되고 부식 전류 밀도가 1 µA/cm²: 1 cm²에서 1초에 10⁻⁶ × 55.845/(2 × 96485) = 2.89 × 10⁻¹⁰ g, 밀도로 나누어 3.68 × 10⁻¹¹ cm/s, 1년(365일)에 11.6 µm. 0.5 A가 30일 흐르면 m = 0.5 × 2.592 × 10⁶ × 55.845/(2 × 96485) = 375 g.
계산 연습 부식량(패러데이 법칙)
용어 패러데이 법칙 국부 전지
출처: Callister 제10판 17장
E = E° − (RT/(nF)) ln Q [kg·m²·s⁻³·A⁻¹]
E = E° − (0.0592/n) log₁₀Q 25 ℃(V) [kg·m²·s⁻³·A⁻¹]
기호 의미 SI 단위
E, E° 전지의 기전력·표준 기전력 V R 기체 상수 J/(mol·K) T 온도 K n 반응에서 주고받는 전자의 수 1 F 패러데이 상수 C/mol Q 반응 지수(생성물 활동도의 곱/반응물 활동도의 곱) 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 평형(전류가 흐르지 않는) 전극의 전위이다. 묽은 용액에서는 활동도를 농도(mol/L)로 근사한다. 0.0592는 25 ℃에서의 (RT/F) ln 10.
흔한 실수 반응의 방향과 Q의 분자·분모를 거꾸로 한다. log₁₀와 ln의 혼동. n을 빠뜨린다.
예 Ni 전극(Ni²⁺ 10⁻³ M)과 Cd 전극(Cd²⁺ 0.5 M)의 전지, 25 ℃(Callister 17장 예제와 같은 수치): 반응 Ni²⁺ + Cd → Ni + Cd²⁺의 E° = −0.250 − (−0.403) = 0.153 V. E = 0.153 − (RT/2F) ln(0.5/10⁻³) = 0.153 − 0.01285 × 6.215 = 0.073 V. 양수이므로 표준 상태와 같은 방향(Cd가 용해된다).
용어 표준 전극 전위 갈바닉 부식
출처: Callister 제10판 17장
PBR = Mox ρm /(n Mm ρox ) [1]
기호 의미 SI 단위
PBR 필링-베드워스 비(산화물과 금속의 부피비) 1 Mox , Mm 산화물의 화학식량·금속의 원자량 kg/mol ρox , ρm 산화물·금속의 밀도 kg/m³ n 산화물 화학식 1개당 금속 원자 수 1
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 고온 산화에서 피막이 보호적인지를 가늠하는 기준이다. 1 미만은 피막에 구멍이 생기고(다공질), 1~2는 보호적이 되기 쉬우며, 2를 크게 넘으면 압축 응력으로 벗겨지기 쉽다. 예외도 많으므로(피막의 밀착, 확산 속도) 기준으로만 쓴다.
흔한 실수 n(Al₂O₃라면 2)을 빠뜨린다. 화학식량과 원자량을 바꿔 넣는다.
예 Al₂O₃(M = 101.96 g/mol, ρ = 3.95 g/cm³)와 Al(26.982, 2.70): PBR = 101.96 × 2.70/(2 × 26.982 × 3.95) = 1.29(1~2이므로 보호적). MgO(40.304, 3.58)와 Mg(24.305, 1.74): 0.81(1보다 작으므로 피막에 구멍이 생겨 보호적이지 않다).
용어 필링-베드워스 비 부동태
출처: Pilling & Bedworth 1923; Callister 제10판 17장
x² = kp t 포물선 법칙(확산이 지배) [m²]
x = kl t 직선 법칙(보호적이지 않은 피막) [m]
kp = k₀ exp(−Q/(RT)) 온도에 따른 변화 [m²·s⁻¹]
기호 의미 SI 단위
x 피막의 두께(또는 단위 면적당 질량 증가) m t 시간 s kp 포물선 속도 상수 m²/s kl 직선 속도 상수 m/s k₀ 진동수 인자 m²/s Q 활성화 에너지 J/mol R 기체 상수 J/(mol·K) T 온도 K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 포물선 법칙은 치밀한 피막 속을 이온이 확산하여 진행하는 고온 산화이다. 처음의 얇은 시기나 피막이 깨지거나 벗겨질 때는 맞지 않는다. 질량 증가로 쓸 때는 x를 Δm/A로 하며 kp 의 단위도 바뀐다.
흔한 실수 시간을 2배로 하면 두께도 2배라고 한다(포물선 법칙에서는 √2배). 두께와 질량 증가의 kp 를 섞는다.
예 포물선 법칙을 따르는 산화에서 10 h에 2.0 µm의 피막: kp = 2.0²/10 = 0.40 µm²/h. 100 h에서는 x = √(0.40 × 100) = 6.32 µm(시간은 10배라도 두께는 √10배).
용어 산화의 포물선 법칙 필링-베드워스 비
출처: Birks 외 제2판 4장; Callister 제10판 17장
P = T(C + log₁₀tr ) [K]
T₁(C + log₁₀t₁) = T₂(C + log₁₀t₂) 같은 응력의 두 조건 [K]
기호 의미 SI 단위
P 라슨-밀러 파라미터(응력으로 정해진다) K T 절대 온도 K C 재료 상수(많은 금속에서 약 20) 1 tr 파단 시간(시간 h로 나타낸 수를 log에 넣는다) h t₀ 1 h(log₁₀tr 은 log₁₀(tr /t₀)의 의미) h
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위)
적용 조건과 범위 같은 응력의 크리프 파단에서 온도와 시간을 맞바꾼다(짧은 고온 시험으로 긴 저온 수명을 어림한다). C는 시간을 h로 나타냈을 때의 값이며, 20은 기준값이다(15~25). 외삽은 시험 시간의 10배 정도까지로 한다.
흔한 실수 ℃ 그대로 넣는다. log₁₀가 아니라 ln을 쓴다. 시간을 s로 넣는다(C = 20은 h일 때).
예 어떤 응력에서 900 ℃·50 h에 파단한 합금을 같은 응력으로 800 ℃에서 쓴다(C = 20): P = 1173.15 × (20 + log₁₀50) = 25456 K, tr = 10^(25456/1073.15 − 20) = 5260 h. 온도를 100 K 낮추면 수명은 약 105배.
계산 연습 라슨-밀러 파라미터
용어 라슨-밀러 파라미터 크리프
출처: Larson & Miller 1952; Callister 제10판 8장
ε̇s = Aσⁿ exp(−Qc /(RT)) [s⁻¹]
기호 의미 SI 단위
ε̇s 정상 크리프의 변형률 속도 s⁻¹ A 재료 상수 s⁻¹·Pa⁻ⁿ σ 응력 Pa n 응력 지수(전위 크리프에서 3~8) 1 Qc 크리프의 활성화 에너지 J/mol R 기체 상수 J/(mol·K) T 온도 K
차원 각 행의 양변이 일치([ ]는 SI 기본 단위) · 무차원: Qc /RT
적용 조건과 범위 융점의 0.4배 정도 이상의 온도에서 전위 크리프가 주된 범위이다. 응력이 낮고 결정립이 미세하면 확산 크리프(n ≈ 1), 응력이 높으면 멱법칙이 무너진다. 어느 기구인지는 변형 기구 지도에서 확인한다.
흔한 실수 응력을 2배로 하면 속도도 2배라고 한다(2ⁿ배). Q를 eV와 J/mol로 섞는다.
예 n = 5, Q = 300 kJ/mol인 재료: 응력을 1.2배로 하면 변형률 속도는 1.2⁵ = 2.49배. 900 K에서 950 K로 하면 exp[(300000/8.314)(1/900 − 1/950)] = 8.25배.
용어 멱법칙 크리프 크리프 변형 기구 지도 확산 크리프
출처: Callister 제10판 8장; Dowling 제4판 15장
사용 방법
위의 검색란에 식의 이름·기호·용어(‘브래그’, ‘KIC ’, ‘확산 거리’ 등)를 입력하면 그 식만 남습니다. 분야 버튼으로 좁힐 수도 있습니다. 식 제목의 링크(#f-…)로 그 식으로 바로 이동할 수 있습니다.
식 오른쪽 위의 ‘선택’에 체크하면 나만의 공식 시트가 됩니다. ‘선택한 식만 인쇄’를 누르면 선택한 식의 식과 기호 표를 2단으로 A4에 인쇄합니다(10~15개라면 1~2쪽). ‘조건과 예도 인쇄’에 체크하면 적용 조건·흔한 실수·예도 인쇄합니다.
‘선택한 식의 URL 복사’로 선택한 식을 여는 URL(?f=…)을 공유할 수 있습니다. 선택한 식은 이 브라우저 안(localStorage)에도 남지만 서버로는 보내지 않습니다. 저장할 수 없도록 설정된 브라우저에서도 URL로 다시 선택할 수 있습니다.
식을 고르는 방법
확산: 농도 분포가 시간에 따라 변하지 않으면(막을 통과하는 정상 상태의 흐름) 픽의 제1법칙 을 쓰며, 플럭스 J는 일정하고 농도는 두께 방향으로 직선이 됩니다. 농도가 시간에 따라 변하는 침탄 이나 불순물 확산은 픽의 제2법칙으로 다루며, 표면 농도가 일정하면 erfc 해를, 넣은 총량이 일정하면(짧은 프리디포지션 뒤의 드라이브인) 가우스 해를 사용합니다. 둘 다 확산 거리 √(Dt)가 시편의 두께보다 충분히 작을 때(반무한체로 볼 수 있을 때)의 해입니다.
응력과 변형률: 인장 시험의 공칭 응력 F/A₀와 공칭 변형률 Δl/l₀는 설계(항복 응력·인장 강도)에 사용합니다. 가공 경화 의 식(홀로몬)이나 큰 변형의 계산에는 진응력 σ(1 + ε)와 진변형률 ln(1 + ε)을 사용합니다. 이 환산은 부피가 일정하고 변형이 균일한 범위, 즉 네킹(최대 하중)까지 성립하며, 네킹이 시작된 뒤에는 단면을 측정합니다.
혼합 법칙 : 섬유 방향의 영률 은 등변형률의 혼합 법칙(상한, Voigt)으로, 섬유에 수직인 방향의 영률은 등응력의 역혼합 법칙(하한, Reuss)으로 대략 구할 수 있습니다. 실제 횡방향 탄성률은 하한보다 조금 크므로 Halpin–Tsai 식으로 보완합니다. 입자가 분산된 재료에서는 실제 값이 상한과 하한 사이에 있습니다.
파괴: 구멍이나 노치 선단의 응력은 응력 집중 계수 Kt 로 구하지만, 날카로운 균열에서는 Kt 가 너무 커져서 쓸 수 없습니다. 균열에는 응력 확대 계수 K = Yσ√(πa)를 사용하여 파괴 인성 KIC 와 비교합니다. 반복 하중에서 균열이 자라는 속도는 파리스 법칙 으로, 균열이 없는 부재의 피로는 S–N 곡선과 마이너 법칙 으로 다룹니다.
열응력 : 한 방향만 구속한 막대는 EαΔT, 면내 두 방향을 구속한 판이나 박막은 EαΔT/(1 − ν)입니다. 구속이 완전하지 않을 때(두 막대를 연결한 조합 막대, 바이메탈)는 힘의 평형과 신장량의 조건으로 풉니다.
차원을 확인한 방법
모든 식(85개)에 대해 기호 표의 SI 단위를 기본 단위(kg·m·s·K·mol·A)로 바꾸고, 식의 양변의 차원이 같은지, exp·ln·erf·삼각함수의 인수와 기호로 된 지수가 무차원인지를 프로그램으로 확인했습니다. 각 식 오른쪽의 [ ]가 그 행의 양변의 차원입니다.
log₁₀tr (라슨-밀러), ASTM 결정립도 번호, 파리스 법칙 의 C처럼 정해진 단위로 수를 넣기로 약속된 식은 그 단위를 기호 표에 적어 두었습니다. 단위가 다르면 계수의 값이 바뀌므로 주의하십시오.
단위 환산
식에 넣기 전에 SI 단위로 바꿀 때의 환산입니다(NIST SP 811에 따름).
물리 상수
CODATA 2022 권장값입니다(Mohr 외, Rev. Mod. Phys. 97, 025002 (2025), physics.nist.gov/cuu). ‘정의값’은 2019년 SI에서 값이 정해진 상수와 그로부터 계산할 수 있는 상수로, 오차가 없습니다. 괄호 안의 수는 마지막 자릿수의 표준 불확도입니다. 예의 계산에는 이 값을 사용했습니다(계산 연습은 R = 8.314 등 반올림한 값을 사용합니다).
주요 출처
Callister 제10판 : W. D. Callister, Jr., D. G. Rethwisch, Materials Science and Engineering: An Introduction, 10th ed., Wiley (2018)Cullity 제3판 : B. D. Cullity, S. R. Stock, Elements of X-Ray Diffraction, 3rd ed., Prentice Hall (2001)Askeland 제7판 : D. R. Askeland, W. J. Wright, The Science and Engineering of Materials, 7th ed., Cengage (2016)Williamson & Hall 1953 : G. K. Williamson, W. H. Hall, X-ray line broadening from filed aluminium and wolfram, Acta Metall. 1 (1953) 22Porter 제3판 : D. A. Porter, K. E. Easterling, M. Y. Sherif, Phase Transformations in Metals and Alloys, 3rd ed., CRC Press (2009)Scheil 1942 : E. Scheil, Bemerkungen zur Schichtkristallbildung, Z. Metallkd. 34 (1942) 70Shewmon 제2판 : P. G. Shewmon, Diffusion in Solids, 2nd ed., TMS (1989)Crank 제2판 : J. Crank, The Mathematics of Diffusion, 2nd ed., Oxford University Press (1975)Sze 제3판 : S. M. Sze, K. K. Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3rd ed., Wiley (2007)Hull & Bacon 제5판 : D. Hull, D. J. Bacon, Introduction to Dislocations, 5th ed., Butterworth-Heinemann (2011)ASTM E112 : ASTM E112, Standard Test Methods for Determining Average Grain SizeDowling 제4판 : N. E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, 4th ed., Pearson (2013)Ashby 제5판 : M. F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, 5th ed., Butterworth-Heinemann (2017)Anderson 제4판 : T. L. Anderson, Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications, 4th ed., CRC Press (2017)ASTM E399 : ASTM E399, Standard Test Method for Linear-Elastic Plane-Strain Fracture Toughness of Metallic MaterialsParis & Erdogan 1963 : P. Paris, F. Erdogan, A critical analysis of crack propagation laws, J. Basic Eng. 85 (1963) 528Weibull 1951 : W. Weibull, A statistical distribution function of wide applicability, J. Appl. Mech. 18 (1951) 293Timoshenko & Goodier 제3판 : S. P. Timoshenko, J. N. Goodier, Theory of Elasticity, 3rd ed., McGraw-Hill (1970)Stoney 1909 : G. G. Stoney, The tension of metallic films deposited by electrolysis, Proc. R. Soc. Lond. A 82 (1909) 172Timoshenko 1925 : S. Timoshenko, Analysis of bi-metal thermostats, J. Opt. Soc. Am. 11 (1925) 233Kingery 제2판 : W. D. Kingery, H. K. Bowen, D. R. Uhlmann, Introduction to Ceramics, 2nd ed., Wiley (1976)Manson 1966 : S. S. Manson, Thermal Stress and Low-Cycle Fatigue, McGraw-Hill (1966)Kittel 제8판 : C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed., Wiley (2005)Hull & Clyne 제2판 : D. Hull, T. W. Clyne, An Introduction to Composite Materials, 2nd ed., Cambridge University Press (1996)Halpin & Kardos 1976 : J. C. Halpin, J. L. Kardos, The Halpin–Tsai equations: a review, Polym. Eng. Sci. 16 (1976) 344Jones 제2판 : R. M. Jones, Mechanics of Composite Materials, 2nd ed., Taylor & Francis (1999)Kelly & Tyson 1965 : A. Kelly, W. R. Tyson, Tensile properties of fibre-reinforced metals, J. Mech. Phys. Solids 13 (1965) 329Schapery 1968 : R. A. Schapery, Thermal expansion coefficients of composite materials based on energy principles, J. Compos. Mater. 2 (1968) 380IEC 60028 : IEC 60028, International standard of resistance for copperPilling & Bedworth 1923 : N. B. Pilling, R. E. Bedworth, The oxidation of metals at high temperatures, J. Inst. Met. 29 (1923) 529Birks 외 제2판 : N. Birks, G. H. Meier, F. S. Pettit, Introduction to the High-Temperature Oxidation of Metals, 2nd ed., Cambridge University Press (2006)Larson & Miller 1952 : F. R. Larson, J. Miller, A time-temperature relationship for rupture and creep stresses, Trans. ASME 74 (1952) 765
자주 묻는 질문
공식 오른쪽의 [ ]는 무엇입니까?
그 행의 식의 양변의 차원을 SI 기본 단위(kg·m·s·K·mol·A)로 나타낸 것입니다. 예를 들어 응력은 kg·m⁻¹·s⁻²(= Pa), 무차원량은 1입니다. 답의 단위가 맞는지 확인하는 데 쓸 수 있습니다. 모든 식의 차원은 양변이 같은지를 프로그램으로 확인했습니다.
선택한 식만 인쇄하면 몇 쪽이 됩니까?
식과 기호 표만이라면 2단의 A4로 10~15개가 대략 1~2쪽입니다. ‘조건과 예도 인쇄’에 체크하면 길어집니다. 인쇄할 때는 헤더·광고·검색란이 나오지 않습니다. 브라우저 인쇄 설정에서 ‘배경 그래픽’을 꺼도 읽을 수 있습니다.
예의 수치가 계산 연습이나 계산 도구의 답과 조금 다를 때가 있습니다.
상수를 반올림한 방법이 다르기 때문입니다. 이 공식집의 예는 CODATA 2022 값(R = 8.314462618 J/(mol·K) 등)을 사용하고, 계산 연습의 문제는 R = 8.314처럼 반올림한 값을 사용합니다. 차이는 넷째 자리 이하입니다. 물성값은 계산 도구의 데이터와 같은 값을 사용합니다.
시험에 가지고 들어가는 공식 시트로 쓸 수 있습니까?
쓸 수 있습니다. 필요한 식을 선택하고 ‘선택한 식만 인쇄’로 인쇄하십시오. 가지고 들어갈 수 있는 내용(예나 설명을 넣어도 되는지)은 시험마다 다르므로 규칙을 확인하십시오.
실려 있지 않은 식이 있습니까?
이 공식집은 계산 연습의 문제 유형과 계산 도구에서 쓰는 식에 교과서에서 자주 쓰는 식을 더한 것입니다. 결정의 대칭성·전위 의 탄성론·상변태 속도론의 자세한 식 등은 교과서를 참고하십시오.