밀러 지수의 뜻
결정의 면이나 방향을 나타내는 정수의 조합. 면은 각 축과의 절편의 역수를 가장 작은 정수비로 만들어 (hkl)로 쓰고, 방향은 [uvw]로 쓴다.
일본어 명칭: ミラー指数
‘밀러 지수’ 관련 연습 문제는 1개 분야에 1문제가 있습니다(결정 구조와 밀러 지수 등).
이 용어의 분야: 결정 구조와 밀러 지수
면 지수를 구하는 방법
면의 밀러 지수는 다음 순서로 구합니다. 먼저 면이 결정축 x, y, z와 만나는 점(절편)을 격자 상수 a, b, c를 단위로 하여 읽습니다. 다음으로 각각의 역수를 취하고 분수를 없애 가장 작은 정수비로 만든 뒤, 소괄호를 써서 (hkl)로 나타냅니다. 예를 들어 절편이 1, 2, ∞이면 역수는 1, 1/2, 0이므로 (210)입니다. 축에 평행한 면은 절편이 ∞이므로 그 지수는 0이 됩니다. 음의 절편은 숫자 위에 가로줄(바)을 그어 나타냅니다. 면이 원점을 지날 때는 원점을 이웃한 격자점으로 옮긴 다음 절편을 구합니다.
방향 지수와 등가인 면의 집합
방향 지수는 원점에서 그 방향으로 나아간 점의 좌표를 가장 작은 정수비로 만들어, 대괄호를 써서 [uvw]로 나타냅니다. 입방정에서는 대칭성에 의해 등가인 면이 여러 개 있으며, (100), (010), (001) 등을 묶어 중괄호로 {100}, 등가인 방향을 묶어 꺾쇠괄호로 <100>과 같이 씁니다. 입방정에서는 [hkl] 방향이 (hkl)면에 정확히 수직이라는 편리한 성질이 있어, 면 사이의 각도도 방향 벡터의 내적으로 구할 수 있습니다. 이 성질은 정방정이나 육방정에서는 일반적으로 성립하지 않는다는 점에 주의해야 합니다.
면간 거리와 XRD
입방정의 면간 거리는 d = a/√(h² + k² + l²)로 계산할 수 있습니다. 지수가 큰 면일수록 면간 거리가 작고, XRD에서는 고각 쪽에 피크가 나타납니다. 다만 단위정 안의 원자 배치에 따라서는 어떤 면에서의 회절이 서로 상쇄되어 나타나지 않습니다. BCC에서는 h + k + l이 짝수인 면만, FCC에서는 h, k, l이 모두 짝수이거나 모두 홀수인 면만 회절합니다(소멸 규칙). 피크에 지수를 올바르게 부여하는 것이 격자 상수 결정과 상 동정의 출발점이 됩니다.
육방정의 4지수 표기
HCP 등의 육방정에서는 기저면 안에서 120°씩 떨어진 세 축 a₁, a₂, a₃과 c축을 잡는 밀러-브라베 지수(hkil)가 널리 쓰입니다. i = −(h + k)의 관계가 있으며, 등가인 면이 같은 형태의 숫자 배열이 된다는 것이 장점입니다. 예를 들어 기저면은 (0001), 프리즘면은 {10-10}의 형태로 나타냅니다. 웨이퍼의 면방위, 에피택셜 막의 배향, 슬립계의 표기 등 재료나 소자의 사양서에도 자주 나오므로, 지수를 보고 면의 방향을 떠올릴 수 있도록 익혀 두면 편리합니다.
밀러 지수 연습 문제에 도전
입방정에서 x축과 1a, y축과 2a에서 만나고, z축과는 평행하여 만나지 않는 면의 밀러 지수는 무엇인가?
- A(120)
- B(102)
- C(210)
정답과 해설 보기
정답: C. (210)
밀러 지수는 각 축과의 절편을 격자 상수를 단위로 나타내고, 그 역수를 취해 가장 작은 정수비로 만든 것입니다. 절편은 1, 2, ∞이므로 역수는 1, 1/2, 0이 되며, 2배 하여 (210)입니다. (120)은 절편 1, 2를 역수로 하지 않고 그대로 늘어놓은 오류입니다. z축에 평행한 면은 z축의 절편이 ∞이므로 반드시 l = 0이 되며, 세 번째 지수가 0이 아닌 (102)도 틀립니다. 면이 원점을 지나는 경우에는 원점을 이웃 격자점으로 옮긴 후 절편을 취합니다.
자주 묻는 질문
밀러 지수에서 괄호의 종류에는 어떤 의미가 있습니까?
(hkl)은 하나의 면, {hkl}은 대칭성으로 등가인 면의 집합, [uvw]는 하나의 방향, <uvw>는 등가인 방향의 집합을 나타냅니다. 예를 들어 FCC의 슬립계는 {111}<110>으로 씁니다.
절편이 음수일 때는 어떻게 씁니까?
역수를 취한 뒤의 음의 지수는 숫자 위에 가로줄(바)을 그어 나타냅니다. 텍스트로 쓸 때는 (1-10)처럼 마이너스 기호로 대신하기도 합니다.
(200)면과 (100)면은 같은 면입니까?
방향은 같지만, (200)은 (100)의 절반인 면간 거리를 갖는 면의 집합을 나타냅니다. XRD에서는 2차 반사를 면간 거리가 절반인 (200)면에서의 1차 반사로 취급합니다.
해설 속의 ‘밀러 지수’
밀러 지수는 각 축과의 절편을 격자 상수를 단위로 나타내고, 그 역수를 취해 가장 작은 정수비로 만든 것입니다.
입방정에서 x축과 1a, y축과 2a에서 만나고, z축과는 평행하여 만나지 않는 면의 밀러 지수는 무엇인가?