ミラー指数とは
みらーしすう
結晶の面や方向を表す整数の組。面は各軸との切片の逆数を最小の整数比にして(hkl)と書き、方向は[uvw]と書く。
「ミラー指数」は、1分野の1問の練習問題に出てきます(結晶構造とミラー指数など)。
この用語の分野: 結晶構造とミラー指数
面の指数の求め方
面のミラー指数は、次の手順で求めます。まず、面が結晶軸x、y、zと交わる点(切片)を、格子定数a、b、cを単位として読みます。次にそれぞれの逆数をとり、分数を払って最小の整数の比にし、丸かっこで(hkl)と書きます。例えば切片が1、2、∞なら、逆数は1、1/2、0なので(210)です。軸に平行な面は切片が∞なので、その指数は0になります。負の切片は数字の上に横棒を付けて表します。面が原点を通るときは、原点を隣の格子点へ移してから切片をとります。
方向の指数と等価な面の集まり
方向の指数は、原点からその方向に進んだ点の座標を最小の整数比にして、角かっこで[uvw]と書きます。立方晶では対称性で等価な面がいくつもあり、(100)、(010)、(001)などをまとめて中かっこで{100}、等価な方向をまとめて山かっこで<100>と書きます。立方晶では[hkl]方向がちょうど(hkl)面に垂直になるという便利な性質があり、面のなす角も方向の内積から求められます。この性質は正方晶や六方晶では一般には成り立たない点に注意が必要です。
面間隔とXRD
立方晶の面間隔は d = a/√(h² + k² + l²) で計算できます。指数が大きい面ほど面間隔は小さく、XRDでは高角の側にピークが現れます。ただし単位胞の中の原子の配置によっては、ある面からの回折が打ち消し合って現れません。BCCでは h + k + l が偶数の面だけ、FCCでは h、k、l がすべて偶数かすべて奇数の面だけが回折します(消滅則)。ピークに正しく指数を付けることが、格子定数の決定や相の同定の出発点になります。
六方晶の4指数表示
HCPなどの六方晶では、底面内に120°ずつ離れた3本の軸a₁、a₂、a₃とc軸をとる、ミラー・ブラベー指数(hkil)がよく使われます。i = −(h + k) の関係があり、等価な面が同じ形の数字の並びになるのが利点です。例えば底面は(0001)、柱面は{10-10}の形で表されます。ウエハの面方位、エピタキシャル膜の配向、すべり系の表記など、材料やデバイスの仕様書にも頻繁に出てくるので、指数から面の向きを思い浮かべられるようにしておくと便利です。
ミラー指数の練習問題に挑戦
立方晶で、x軸と1a、y軸と2aで交わり、z軸とは平行で交わらない面のミラー指数はどれか。
- A(120)
- B(102)
- C(210)
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正解：C. (210)
ミラー指数は、各軸との切片を格子定数を単位として表し、その逆数をとって最小の整数比にしたものです。切片は1、2、∞なので、逆数は1、1/2、0となり、2倍して(210)です。(120)は切片の1、2を逆数にせずそのまま並べた誤りです。z軸に平行な面はz軸の切片が∞なので必ず l = 0 となり、3番目の指数が0でない(102)も誤りです。面が原点を通る場合は、原点を隣の格子点へ移してから切片をとります。
よくある質問
ミラー指数で、かっこの種類にはどんな意味がありますか?
(hkl)は1つの面、{hkl}は対称性で等価な面の集まり、[uvw]は1つの方向、<uvw>は等価な方向の集まりを表します。例えばFCCのすべり系は{111}<110>と書きます。
切片が負のときはどう書きますか?
逆数をとったあとの負の指数は、数字の上に横棒を付けて表します。文字で書くときは(1-10)のようにマイナス記号で代用することもあります。
(200)面と(100)面は同じ面ですか?
向きは同じですが、(200)は(100)の半分の面間隔をもつ面の組を表します。XRDでは、2次の反射を面間隔が半分の(200)面からの1次の反射として扱います。
解説の中の「ミラー指数」
ミラー指数は、各軸との切片を格子定数を単位として表し、その逆数をとって最小の整数比にしたものです。
立方晶で、x軸と1a、y軸と2aで交わり、z軸とは平行で交わらない面のミラー指数はどれか。