온도가 바뀌면 재료는 늘어나거나 줄어들며, 이를 막으면 열응력이 생깁니다. 이 페이지에서는 재료를 골라 자유 팽창부터 구속 방식별 응력, 판이나 원통 내부의 온도차에 의한 응력, 두 재료의 접합(바이메탈·박막·솔더), 급랭으로 균열이 생기는 온도차, 열박음이나 유리 봉착의 팽창 정합까지 계산합니다. 기본값은 구조용강 봉의 양 끝을 고정하고 20 ℃에서 70 ℃로 가열하는 예로, 약 130 MPa의 압축 응력이 됩니다.
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결과
재료의 값은 대표값입니다. 실제 값은 조성·가공·온도에 따라 달라지므로, 설계에는 해당 재료의 자료에 있는 값을 넣으십시오. 계산은 탄성 범위이며, 소성·크리프에 의한 응력 완화는 포함하지 않습니다.
그래프로 보기
다른 입력은 현재 값 그대로 두고, 선택한 입력만 현재 값의 1/4배에서 4배 범위로 바꾸었을 때의 결과입니다. 빨간 점이 현재 값입니다.
열팽창은 왜 일어나는가: 퍼텐셜의 비대칭
원자 사이의 퍼텐셜 에너지는 가까워지면 급격히 높아지고 멀어지면 완만하게 올라가는, 좌우가 비대칭인 형태를 하고 있습니다. 온도가 올라가 원자의 진동이 커지면 완만한 쪽(먼 쪽)으로 더 크게 흔들리므로, 평균 원자 간 거리가 늘어납니다. 이것이 열팽창입니다. 만약 퍼텐셜이 완전한 포물선(조화 진동)이라면 진동이 커져도 평균 위치는 변하지 않고, 열팽창은 일어나지 않습니다. 그뤼나이젠 관계에서는 부피 팽창 계수가 정적 비열에 비례하므로, 저온에서는 비열과 마찬가지로 급격히 작아집니다. 라이브러리에 있는 구리의 값(NMIJ의 인증값)은 20 K에서 0.28×10⁻⁶ K⁻¹, 100 K에서 10.5×10⁻⁶ K⁻¹, 300 K에서 16.7×10⁻⁶ K⁻¹입니다. 실리콘은 약 120 K보다 낮은 온도에서 α가 음이 되어(80 K 부근에서 약 −0.47×10⁻⁶ K⁻¹), 냉각하면 늘어납니다. 격자 진동 가운데, 부피가 커지면 진동수가 올라가는(그뤼나이젠 상수가 음인) 모드가 있기 때문입니다.
왜 재료마다 α가 다른가
결합이 강하고 퍼텐셜의 골이 깊은 재료일수록 같은 온도에서 원자 간 거리의 늘어남이 작고, 융점도 높은 경향이 있습니다. 실온 부근의 α는 텅스텐 4.5, 철 11.8, 구리 16.5, 알루미늄 23.1, 납 28.9(×10⁻⁶ K⁻¹)로, 융점이 높은 금속일수록 작아집니다. 공유 결합의 세라믹스는 작고(질화규소 2.8, 탄화규소 3.7, 40~400 ℃의 평균), 분자 사슬 사이를 약한 힘으로 잇는 고분자는 60~200으로 큽니다. 석영 유리가 0.5로 매우 작은 것은 SiO₄ 사면체의 망목이 결합의 방향을 바꾸어 늘어남을 흡수할 수 있기 때문입니다. 인바(Fe-36Ni)는 자성에 의한 부피 팽창(자기 부피 효과)이 온도와 함께 작아져 보통의 열팽창을 상쇄하므로, 퀴리 온도(약 279 ℃)보다 낮은 온도에서 α가 1~2로 작아집니다. 결정 방향이나 섬유 방향에 따라 α가 다른 재료도 있으며, 인쇄 회로 기판(FR-4계)은 면내 13~14, 두께 방향 45×10⁻⁶ K⁻¹(Tg 이하)로 크게 다릅니다.
평균 α와 순간 α, 길이·면적·부피
α는 온도에 따라 변하므로, 자료의 값이 어느 쪽 의미인지 확인해야 합니다. 순간 α는 그 온도에서의 늘어남 비율 (1/L)(dL/dT)입니다. 평균 α는 기준 온도(20 ℃나 25 ℃)부터 어떤 온도까지의 늘어남을 온도차로 나눈 값으로, 제조사 데이터시트의 ‘30~400 ℃’ 같은 값이 이쪽입니다. 길이 변화는 ΔL = L·∫α dT이며, α가 일정하면 ΔL = αLΔT입니다. 이 페이지에서는 순간 α의 표는 사다리꼴 공식으로 적분하고, 평균 α의 표는 점별 열변형률로 바꾸어 잇고 있습니다. 예를 들어 알루미나는 20 ℃에서 순간 α가 5.4, 827 ℃에서 9.4×10⁻⁶ K⁻¹로 크게 바뀝니다. 등방성 재료에서는 면적 변화가 (1 + ε)² − 1 ≈ 2ε, 부피 변화가 (1 + ε)³ − 1 ≈ 3ε이며, 부피 팽창 계수는 대략 3α입니다.
구속과 열응력: 일축·이축·삼축·부분 구속
자유롭게 늘어날 수 있으면 열변형률 αΔT만큼 늘어나고 응력은 생기지 않습니다. 늘어남을 막으면 열변형률을 상쇄할 만큼의 탄성 변형률이 생기고, 그것이 열응력이 됩니다. 양 끝을 움직이지 않는 벽으로 막은 봉에서는 σ = −EαΔT(가열하면 압축)입니다. 면내 두 방향을 막은 판이나 기판 위의 박막에서는 한 방향의 응력이 푸아송 효과로 다른 방향의 변형률을 약간 상쇄하므로, 같은 변형률을 막는 데 더 큰 응력이 필요하여 σ = −EαΔT/(1 − ν)가 됩니다. 세 방향을 모두 막으면 정수압 응력 σ = −EαΔT/(1 − 2ν)가 되며, ν가 0.5에 가까운 재료에서는 매우 커집니다. 구속하는 쪽도 늘어나거나 줄어들 때(틀의 재료가 다를 때)는 α 대신 α − αs를, 구속이 스프링처럼 약할 때는 봉과 스프링의 직렬로 응력이 η = 1/(1 + EA/(kL))배가 됩니다. 완전히 구속된 경우 열응력은 길이와 관계없습니다. 길이로 정해지는 것은 늘어남의 양이며, 선로나 교량에 신축 틈(이음)을 두는 것은 이 때문입니다.
온도차에 의한 내부 응력: 판과 원통
밖에서 구속하지 않아도, 부품 안에 온도차가 있으면 뜨거운 곳이 차가운 곳에 의해 늘어남을 저지당해 응력이 생깁니다. 두께 방향으로 직선의 온도 분포를 갖는 판은 가장자리가 자유로우면 응력이 생기지 않고, 곡률 κ = αΔT/h로 균일하게 휩니다. 휨을 막아 평평하게 유지하면 표면에 ±EαΔT/(2(1 − ν))의 응력이 생기며, 뜨거운 면이 압축, 차가운 면이 인장이 됩니다. 직선이 아닌 온도 분포(급랭 도중 등)에서는 자유로운 판에도 응력이 남습니다. 안팎에 온도차가 있는 긴 중공 원통(정상 열전도로 온도는 ln r의 일차식)에서는 Timoshenko & Goodier의 식으로 응력을 구할 수 있으며, 안쪽이 뜨거우면 내면은 원주 방향·축 방향 모두 압축, 외면은 인장이 됩니다. 얇은 원통에서는 표면의 응력이 ±EαΔT/(2(1 − ν))에 가까워집니다. 열교환기의 관이나 노·엔진 부품의 균열과 피로의 원인이 되는 응력입니다.
바이메탈: Timoshenko의 식
선팽창 계수가 다른 두 장의 띠를 붙여 온도를 올리면, 팽창이 큰 쪽이 바깥쪽(볼록)이 되도록 균일하게 휩니다(냉각하면 반대 방향). Timoshenko(1925)는 두 층의 힘과 모멘트의 평형으로부터 곡률을 1/ρ = 6(α2 − α1)ΔT(1 + m)²/(h[3(1 + m)² + (1 + mn)(m² + 1/(mn))])로 구했습니다(m은 두께비 t1/t2, n은 탄성률비 E1/E2, h는 전체 두께). 두께와 탄성률이 같으면 1/ρ = 3ΔαΔT/(2h)입니다. 전체 두께를 정했을 때 곡률이 최대가 되는 것은 두께비가 m = 1/√n일 때이며, 두께를 맞추면 탄성률비의 영향은 작아집니다. 곡률은 ΔαΔT에 비례하고 두께에 반비례하므로, 얇은 띠일수록 잘 휩니다. 서모스탯이나 온도계, 회로 차단기에 쓰이며, 팽창이 작은 쪽에는 인바 등이 쓰입니다.
기판 위 박막의 열응력과 Stoney 식
높은 온도에서 성막한 막을 실온으로 냉각하면, 막과 기판의 팽창 차만큼 막에 이축 응력이 남습니다. 기판이 충분히 두꺼우면 σf = Ef/(1 − νf)·(αs − αf)ΔT(ΔT = 실온 − 성막 온도)이며, 막의 α가 크면(Si 위의 Al) 냉각 후에는 인장, 작으면(Si 위의 SiO₂) 압축이 됩니다. 막의 응력은 기판을 휘게 하며, 그 곡률은 Stoney 식 κ = 6σf·tf/(Ms·ts²)로 나타낼 수 있습니다(Ms = Es/(1 − νs)는 기판의 이축 탄성 계수). 이 식은 막의 탄성률을 포함하지 않으므로, 웨이퍼의 휨을 성막 전후에 레이저로 측정하면 막의 성질을 몰라도 막의 응력을 구할 수 있습니다. 이것이 반도체 공정에서 막의 응력을 측정하는 표준 방법입니다. Si (100) 웨이퍼의 이축 탄성 계수는 약 180 GPa이며, (100) 면내의 E(130 GPa)나 ν(0.28)와는 다른 양입니다. 막이 두꺼워지면(tf/ts가 수 %를 넘으면) 2층 식과의 차이가 커집니다.
솔더 접합부의 열변형률과 수명의 어림값
부품(세라믹스나 실리콘)과 인쇄 회로 기판(FR-4계에서 면내 약 13×10⁻⁶ K⁻¹)의 팽창 차는 온도가 오르내릴 때마다 솔더 접합부를 옆으로 어긋나게 합니다. 중심(움직이지 않는 점)으로부터 LD 위치의 어긋남은 LD·|Δα|·ΔT이며, 높이 h인 솔더의 전단 변형률은 Δγ ≈ F·LD·|Δα|·ΔT/h가 됩니다. 큰 부품의 모서리일수록, 솔더가 낮을수록 변형률은 커지고 수명은 짧아집니다. Engelmaier는 공정 SnPb 솔더의 피로 시험을 바탕으로, 코핀-맨슨형의 Nf = ½(Δγ/(2εf′))^(1/c)로 수명의 어림값을 제시했습니다(εf′ = 0.325, c는 평균 온도와 사이클 빈도로 정해지는 음수). 이 식은 SnPb의 시험에 근거한 경험식으로, 무연 솔더나 언더필로 보강한 접합부, 리드의 휨으로 변형률을 흡수하는 부품에는 그대로 쓸 수 없습니다. 비교를 위한 어림값으로 사용하십시오.
열충격: R, R′, 비오 수
뜨거운 물체를 급히 냉각하면 표면만 먼저 수축하려다가 내부에 저지당해, 표면에 인장 응력이 생깁니다. 표면이 순간적으로 냉각되고 완전히 구속될 때의 응력은 EαΔT/(1 − ν)이므로, 균열이 생기는 온도차는 R = σf(1 − ν)/(Eα)입니다(Kingery 1955의 제1 열충격 저항 파라미터). 실제로는 표면의 냉각 속도가 열전달로 정해지며, 비오 수 β = ah/κ(a는 두께의 절반, h는 열전달 계수)가 작으면 응력은 작아집니다. Manson(1953)은 무한히 넓은 판에 대해 최대 응력의 비율을 1/(1.5 + 3.25/β − 0.5e^(−16/β))로 근사했습니다. β가 크면 ΔTc → R, β가 작으면 ΔTc ≈ 3.25R′/(ah)이며, 열전도율을 반영한 R′ = Rκ가 작용합니다. 용융 석영은 α가 매우 작으므로 R이 크고, 소다석회 유리는 α가 크고 강도가 낮으므로 R이 작아집니다. 질화규소는 강도가 높고 α가 작아서, 세라믹스 가운데 열충격에 특히 강한 재료입니다. 냉각할 때는 표면이 인장, 가열할 때는 표면이 압축이 되며, 취성 재료는 압축에 강하므로 급랭 쪽이 균열이 생기기 쉽습니다.
열팽창의 정합: 열박음·틈새
열박음은 구멍 쪽 부품을 가열하여 넓히고, 축을 넣은 뒤 냉각하여 죔새만큼의 압력으로 고정하는 방법입니다. 필요한 온도차는 (δ + c)/(αd)이며, δ는 죔새, c는 끼워 넣는 데 필요한 틈새입니다. 축을 냉각하여 줄이는 냉각 끼워맞춤에서는 액체 질소(−196 ℃)가 쓰입니다. 접촉면의 압력은 후육 원통의 Lamé 식으로 구하며, 바깥쪽 부품의 구멍 면에는 원주 방향의 인장 응력 p(D² + d²)/(D² − d²)가 생깁니다. 재료가 다른 부품을 조합하면 사용 온도에서 죔새가 바뀝니다. 알루미늄 부품을 강의 축에 열박음하면, 온도가 올라갈 때 알루미늄 쪽이 더 크게 넓어져 죔새가 줄어듭니다. 틈새도 마찬가지로, 알루미늄 피스톤과 주철 실린더처럼 α가 다른 조합에서는 따뜻해졌을 때의 틈새를 예상하여 치수를 정합니다.
유리와 금속의 봉착, 인바와 코바르
유리와 금속을 녹여 잇는 봉착에서는, 유리가 굳는 온도(변형점이나 Tg가 기준)부터 실온까지의 수축 차가 그대로 응력이 됩니다. 유리는 인장에 약하므로 둘의 팽창을 최대한 맞추고(정합 봉착), 맞지 않는 만큼은 유리가 약간 압축이 되도록 합니다(압축 봉착). 코바르(Fe-29Ni-17Co)는 ASTM F15에서 30~400 ℃의 평균 α가 4.60~5.20×10⁻⁶ K⁻¹로 정해져 있으며, α가 약 5인 봉착용 경질(붕규산) 유리에 맞추어져 있습니다. 같은 붕규산 유리라도 BOROFLOAT 33(3.25)과는 차이가 크므로, 어떤 유리를 고르는지가 중요합니다. 백금(8.8)은 소다석회 유리(9.0)와 값이 가까운 조합입니다. 인바나 코바르의 α가 작은 것은 자기 부피 효과 때문이며, 퀴리 온도(인바 약 279 ℃, 코바르 약 435 ℃)를 넘으면 α가 커집니다. 봉착할 때는 이 꺾임까지 포함하여 온도의 전 범위에서 맞출 필요가 있습니다.
실무의 예: 선로·교량, 반도체 패키지, 유리, 엔진
길이 50 m인 강의 교량 거더는 온도가 60 K 바뀌면 12×10⁻⁶ × 50 m × 60 K = 36 mm 늘어나거나 줄어들므로, 신축 이음으로 이 움직임을 흡수합니다. 이음매 없는 장대 레일에서는 레일을 고정하여 늘어남을 막고, 생기는 축력을 설계에서 받아냅니다(고온에서의 좌굴에 주의합니다). 반도체 패키지에서는 실리콘 칩(약 2.6), 봉지 수지, 구리 리드 프레임(약 17), 기판의 팽창 차로 휨이나 솔더·접착 계면의 박리가 일어납니다. 창유리는 햇빛으로 중앙이 뜨거워지고 그늘진 가장자리가 차가운 채로 있으면 가장자리에 인장이 걸려 깨질 수 있으며(열파손), 제조사는 허용 온도차를 제시하고 있습니다(BOROFLOAT 33은 조건에 따라 80~175 K). 엔진에서는 알루미늄 피스톤과 주철·강 부품의 팽창 차, 배기계의 열응력, 터빈 블레이드의 열차폐 코팅과 금속의 팽창 차가 박리의 원인으로서 설계에서 다루어집니다.
이 계산의 한계
여기서의 식은 모두 탄성 범위입니다. 열응력이 항복 응력을 넘으면 금속은 소성 변형하며, 온도를 되돌리면 반대 방향의 잔류 응력이 남습니다. 높은 온도(융점의 절대 온도의 약 0.4배 이상)에서는 크리프로 응력이 완화되므로, 오래 유지하면 응력은 계산보다 작아집니다. E·항복 응력·열전도율도 온도에 따라 바뀌며, 이 페이지는 α의 온도 의존성만 반영하고 있습니다. 강의 변태(약 750~860 ℃), 지르코니아의 상변태, 고분자의 유리 전이처럼 성질이 급격히 바뀌는 온도를 넘나드는 계산에는 그대로 쓸 수 없습니다. 복합재료·단결정·압연재는 방향에 따라 α나 E가 다르며(이방성), 이 페이지의 많은 식은 등방성 재료를 전제로 합니다. 세라믹스·유리의 강도는 산포가 크고(와이블 분포), 부품이 클수록, 흠이 깊을수록 낮아지므로, 열충격의 ΔTc는 어림값입니다.
전형적인 실수
박막이나 면내를 구속한 판에서 (1 − ν)로 나누는 것을 잊으면 응력을 약 30 % 작게 어림합니다. 응력의 방향은 ‘구속이 없으면 어느 쪽으로 움직일까’를 생각하면 틀리지 않습니다(가열하여 늘어남을 막으면 압축, 냉각하여 수축을 막으면 인장). 평균 α와 순간 α, 기준 온도가 다른 평균 α를 섞으면 넓은 온도 범위에서는 무시할 수 없는 차이가 됩니다. 열충격의 R에 굽힘 강도를 쓰면 큰 부품에서는 강도를 높게 어림합니다. Stoney 식에 기판의 E를 그대로 넣는 것은 잘못이며, 이축 탄성 계수 E/(1 − ν)(Si (100)이라면 약 180 GPa)를 사용합니다. GPa와 10⁻⁶의 곱셈에서는 200 GPa × 12×10⁻⁶ K⁻¹ = 2.4 MPa/K로 기억해 두면 자릿수를 확인하기 쉽습니다.
재료 라이브러리의 값과 출처
순금속의 α·ν·열전도율은 CRC Handbook 등의 값을 정리한 표(25 ℃ 부근), E와 밀도는 이 사이트의 재료를 위한 주기율표와 같은 값입니다. 온도 의존성은 Al(Hidnert 1924의 식, 20~600 ℃), 구조용강(EN 1993-1-2의 식, 20~1200 ℃), Cu(NMIJ CRM 5805-a, 20~300 K), Si(Swenson 1983의 권장값, 100~800 K), 알루미나(NMIJ CRM 5801-a, 293~1100 K), 석영 유리(NMIJ CRM 5802-a, 293~800 K), 인바와 코바르(제조사의 평균 α 표)입니다. 세라믹스는 교세라의 데이터시트, 유리는 ISO 16293-1·SCHOTT·Corning의 자료, FR-4계는 Isola 370HR 데이터시트의 값입니다. 고분자와 CFRP·GFRP는 재료 선정 도표(Ashby의 표)와 같은 범위의 기하 평균이며, ν는 자료에 없으므로 빈칸입니다. 값의 목록은 ‘재료 라이브러리’ 탭에 있습니다.
A원자 간 퍼텐셜이 비대칭(비조화)이어서, 진동의 진폭이 커지면 원자 사이의 평균 거리가 늘어나기 때문
B원자 간 퍼텐셜이 포물선형(조화)이어서, 온도와 함께 진동의 진폭과 평균 원자 간 거리가 커지기 때문
C온도가 오르면 원자 자체의 크기가 커지기 때문
정답과 해설 보기
정답: A. 원자 간 퍼텐셜이 비대칭(비조화)이어서, 진동의 진폭이 커지면 원자 사이의 평균 거리가 늘어나기 때문
원자 간 퍼텐셜은 가까워지면 반발이 급격히 강해지고, 멀어지는 쪽에서는 완만하게 인력이 약해지는 비대칭 형태를 하고 있습니다. 온도가 올라 진동의 진폭이 커지면 원자는 멀어지는 쪽으로 더 크게 흔들리므로, 진동의 중심인 평균 원자 간 거리가 늘어나며 이것이 열팽창이 됩니다. 퍼텐셜이 포물선형(조화 진동자)이라면 진폭이 커져도 진동은 평형 위치에 대해 대칭이므로, 평균 거리는 변하지 않아 열팽창이 일어나지 않습니다. 원자 자체의 크기(전자 구름의 퍼짐)는 온도에 따라 거의 변하지 않습니다. 비조화성은 포논끼리의 산란의 원인이기도 하며, 열전도율이 유한한 값이 되는 것과도 이어져 있습니다.
실온 부근의 선팽창 계수는 폴리에틸렌이 약 100~200×10⁻⁶ K⁻¹, 알루미늄이 약 23×10⁻⁶ K⁻¹, 텅스텐이 약 4.5×10⁻⁶ K⁻¹입니다. 원자 간 결합이 강하고 퍼텐셜 우물이 깊은 재료일수록, 같은 온도에서 진동에 의한 원자 간 거리의 증가가 작고, 융점이 높으며, 선팽창 계수가 작아지는 경향이 있습니다. 융점이 3400℃를 넘는 텅스텐이 가장 작고, 분자 사슬 사이가 약한 반데르발스 힘으로 묶인 고분자가 가장 커집니다. 그래서 금속과 고분자나 세라믹스를 조합한 부품에서는 온도가 바뀌면 팽창의 차이에 의한 열응력이나 휨이 생깁니다.
ANi이 Fe의 격자 진동을 억제하여 디바이 온도가 크게 올라가고, 실온에서는 원자가 거의 진동하지 않게 되기 때문
B퀴리 온도보다 낮은 온도에서, 자기 질서에 의한 부피 팽창이 온도가 오르면 자화와 함께 줄어들어 열팽창을 상쇄하기 때문
C온도가 오르면 BCC에서 더 조밀하게 채워진 FCC로의 상변태가 조금씩 진행되고, 그만큼 부피가 줄어 팽창을 상쇄하기 때문
정답과 해설 보기
정답: B. 퀴리 온도보다 낮은 온도에서, 자기 질서에 의한 부피 팽창이 온도가 오르면 자화와 함께 줄어들어 열팽창을 상쇄하기 때문
인바는 강자성체로, 자발 자화가 있으면 원자 간 거리가 늘어나 부피가 커지는 자기 부피 효과(자발 체적 자기 변형)가 크게 나타납니다. 온도가 오르면 자화가 약해지므로 이 자기에 의한 팽창분이 줄어들어, 격자 진동에 의한 보통의 열팽창을 거의 상쇄합니다. 그래서 퀴리 온도보다 낮은 온도에서 선팽창 계수가 약 1×10⁻⁶ K⁻¹로 작아지며, 정밀 측정기나 액화 천연가스의 용기 등에 쓰입니다. 퀴리 온도를 넘으면 상쇄가 없어져 보통의 금속만큼 팽창합니다. 인바는 실온에서 FCC 단상이며, 원자의 진동은 온도와 함께 보통대로 격렬해지고, 팽창을 상쇄하는 상변태도 일어나지 않습니다.
그뤼나이젠 관계 β = γC_v/(BV)(β는 부피 팽창 계수, γ는 그뤼나이젠 상수, C_v는 정적 몰 비열, B는 체적 탄성률, V는 몰 부피)에 의해, 열팽창 계수는 비열과 거의 같은 온도 의존성을 보입니다. 디바이 온도보다 충분히 낮은 온도에서는 비열이 T³에 비례하여 작아지므로, 절연체의 선팽창 계수도 T³에 비례하여 0에 가까워집니다. 열팽창은 진동의 비조화성에서 생기므로, 진동이 거의 여기되지 않는 극저온에서는 팽창도 잘 일어나지 않습니다. 실온의 값을 극저온까지 그대로 쓰면 냉각에 의한 수축을 너무 크게 어림하게 됩니다. 디바이 온도보다 높은 온도에서는 비열이 거의 일정하므로 선팽창 계수도 거의 일정해집니다.
A선팽창 계수가 약 0.5×10⁻⁶ K⁻¹로 매우 작아, 온도 차에 의한 열응력이 작기 때문
B열전도율이 금속만큼 커서, 표면과 내부의 온도 차가 곧바로 없어지기 때문
C파괴 인성이 금속만큼 커서, 표면에 열응력으로 균열이 생겨도 잘 진전되지 않기 때문
정답과 해설 보기
정답: A. 선팽창 계수가 약 0.5×10⁻⁶ K⁻¹로 매우 작아, 온도 차에 의한 열응력이 작기 때문
급랭하면 표면만 먼저 수축하려다가 내부에 구속되므로, 표면에 인장 열응력 σ ≈ EαΔT/(1 − ν)가 생깁니다. 석영 유리의 선팽창 계수는 약 0.5×10⁻⁶ K⁻¹로, 소다석회 유리의 약 9×10⁻⁶ K⁻¹의 20분의 1 정도밖에 되지 않으므로, 같은 온도 차에서도 열응력이 훨씬 작아 깨지지 않습니다. 석영 유리의 열전도율은 약 1.4 W/(m·K)로 작고, 파괴 인성도 약 0.8 MPa·√m로 소다석회 유리와 비슷하여, 둘 다 금속에는 크게 못 미칩니다. 열전도율은 표면과 내부의 온도 차가 생기는 방식을 통해 영향을 주는 인자로, 열전달이 완만한 조건에서는 열전도율이 큰 재료일수록 열충격에 강해집니다.
냉각하면 실리콘은 SiO₂보다 크게 수축합니다. SiO₂ 막은 스스로 수축하려는 양보다 더 많이 수축하도록 강제되므로, 면내에서 눌려 압축 응력이 됩니다. 열응력의 방향은 막의 선팽창 계수가 기판보다 크면 냉각 후 인장, 작으면 압축으로 판단할 수 있습니다. 실리콘 위의 알루미늄막과는 팽창 계수의 대소가 반대이므로 응력의 방향도 반대가 됩니다. 팽창 계수에 차이가 있는 한, 성막 온도에서 온도가 바뀌면 응력이 생기므로, 응력이 생기지 않는다는 선택지는 틀렸습니다. 열산화막의 압축 응력은 수백 MPa 정도가 되며, 웨이퍼 휨의 측정으로부터 구할 수 있습니다.
A열전도율이 낮은 YSZ 톱 코트 아래에 MCrAlY 등의 본드 코트를 두고, 그 계면의 얇은 Al₂O₃ 열성장 산화물(TGO)이 모재의 산화를 막는다
B톱 코트에는 열전도율이 높은 치밀한 알루미나를 사용하여 블레이드의 열을 빠르게 밖으로 내보내 금속의 온도를 낮추고, 그 아래의 본드 코트로 모재와의 열팽창 차이를 흡수한다
C톱 코트의 YSZ가 산소를 전혀 통과시키지 않으므로 본드 코트는 필요 없으며, YSZ를 모재에 직접 분사하기만 하면 모재의 산화와 열을 동시에 막을 수 있다
정답과 해설 보기
정답: A. 열전도율이 낮은 YSZ 톱 코트 아래에 MCrAlY 등의 본드 코트를 두고, 그 계면의 얇은 Al₂O₃ 열성장 산화물(TGO)이 모재의 산화를 막는다
TBC는 블레이드 내부를 냉각 공기로 식히면서 표면의 단열층으로 금속의 온도를 낮추는 피막입니다. 톱 코트의 YSZ(이트리아 부분 안정화 지르코니아)는 열전도율이 약 1~2 W/(m·K)로 낮고, 세라믹스로서는 열팽창 계수가 큰 재료입니다. 다공질의 용사 피막이나 주상의 증착막으로 만들어 모재와의 열팽창 차이에 의한 변형을 흡수합니다. YSZ는 산화물 이온을 잘 통과시키므로 산소를 막을 수 없으며, 본드 코트의 Al이 산화하여 얇은 Al₂O₃의 TGO가 생기고, 이것이 모재의 산화를 막습니다. TGO가 두꺼워지거나 열 사이클을 받으면 그 부근에서 톱 코트가 박리되는 것이 수명을 결정하는 주된 원인입니다. 열전도율이 높은 재료로는 단열의 역할을 할 수 없습니다.
자주 묻는 질문
열응력은 봉의 길이에 따라 달라집니까?
완전히 구속된 경우에는 달라지지 않습니다. 열변형률 αΔT가 길이와 관계없으므로 응력 EαΔT도 길이와 관계없습니다. 길이에 따라 달라지는 것은 늘어남의 양 ΔL = αLΔT이며, 긴 부재일수록 큰 신축 틈이 필요합니다. 틈이 있는 벽이나 스프링으로 부분 구속된 경우에는 길이가 구속도에 들어가므로 응력도 달라집니다.
왜 박막이나 판에서는 (1 − ν)로 나눕니까?
면내 두 방향을 동시에 막기 때문입니다. x 방향의 응력은 푸아송 효과로 y 방향의 변형률을 약간 상쇄하므로, 두 방향의 열변형률을 상쇄하려면 일축일 때보다 큰 응력이 필요합니다. 그 결과 탄성률이 E에서 E/(1 − ν)(이축 탄성 계수)로 커진 형태가 됩니다. ν = 0.3이라면 약 1.43배입니다.
가열과 냉각에서 응력의 방향은 어떻게 정해집니까?
구속이 없으면 어느 쪽으로 움직일지를 생각합니다. 가열하여 늘어남을 막으면 압축, 냉각하여 수축을 막으면 인장입니다. 두 재료에서는 팽창이 큰 쪽이 냉각 후에 인장, 작은 쪽이 압축이 됩니다. 실리콘 위의 알루미늄 막은 냉각하면 인장, 실리콘 위의 열산화막은 압축입니다.
선팽창 계수의 온도 의존성은 얼마나 영향을 줍니까?
재료와 온도 범위에 따라 다릅니다. 알루미늄은 20 ℃에서 약 23, 500 ℃에서 약 32×10⁻⁶ K⁻¹(Hidnert 식의 미분)이므로, 500 ℃까지 가열하는 계산에서 실온의 α를 쓰면 늘어남을 10 % 이상 작게 어림합니다. 인바는 퀴리 온도를 넘으면 α가 몇 배가 되고, 실리콘은 저온에서 음이 됩니다. 이 페이지에서 ‘온도 의존성을 사용’을 고르면 데이터가 있는 재료는 그 곡선으로 계산하며, 사용하지 않는 경우와의 차이를 그림으로 비교할 수 있습니다.
Stoney 식에 막의 탄성률이 들어가지 않는 것은 왜입니까?
막이 기판보다 훨씬 얇으면, 휨을 정하는 것은 막의 힘 σf·tf(폭당)와 기판의 굽힘 강성뿐이기 때문입니다. 막이 얼마나 단단한지는 막의 응력 크기를 정할 때는 영향을 주지만, 응력에서 곡률로의 변환에는 들어가지 않습니다. 그래서 성막 전후에 웨이퍼의 곡률을 측정하면 막의 탄성률을 몰라도 막의 응력을 구할 수 있습니다. 막이 두꺼워지면 막 자체의 굽힘 강성이 작용하여 식에서 벗어납니다.
바이메탈은 어떤 조합에서 잘 휩니까?
곡률은 팽창의 차 Δα와 온도차에 비례하고, 전체 두께에 반비례합니다. 전체 두께를 정했을 때는 두께비가 m = 1/√n(n은 탄성률비)일 때 곡률이 최대가 되며, 두께와 탄성률이 같으면 1/ρ = 3ΔαΔT/(2h)입니다. 팽창이 작은 쪽에 인바 같은 저팽창 합금을 쓰면 Δα를 크게 할 수 있습니다.
열충격에 강한 재료를 고르려면 무엇을 보면 됩니까?
급히 냉각하는(열전달이 큰) 조건에서는 R = σf(1 − ν)/(Eα)가 큰 재료, 열전달이 완만한 조건에서는 열전도율을 곱한 R′ = Rκ가 큰 재료입니다. 강도가 높고 α와 E가 작을수록 유리하며, 용융 석영이나 질화규소가 대표적입니다. 어느 조건인지는 비오 수 β = ah/κ로 판단합니다.
열박음에서는 바깥쪽 부품을 몇 ℃까지 가열하면 됩니까?
죔새 δ에 끼워 넣는 데 필요한 틈새 c를 더한 만큼 구멍을 넓히는 온도입니다. α가 일정하면 ΔT = (δ + c)/(αd)이며, 지름 50 mm인 강에 50 µm의 죔새와 20 µm의 틈새라면 약 117 K의 가열(20 ℃에서 약 137 ℃)이 됩니다. 지나치게 가열하면 재료의 열처리 상태가 바뀌므로, 자료에 있는 상한 온도도 확인하십시오.
인바와 코바르는 무엇이 다릅니까?
인바(Fe-36Ni)는 실온 부근의 α를 매우 작게(1~2×10⁻⁶ K⁻¹) 한 합금으로, 정밀 측정기나 금형, 바이메탈의 저팽창 쪽에 쓰입니다. 코바르(Fe-29Ni-17Co)는 α를 붕규산계 경질 유리에 맞춘 봉착용 합금으로, 30~400 ℃의 평균 α가 약 5×10⁻⁶ K⁻¹입니다. 둘 다 퀴리 온도를 넘으면 α가 커집니다.
이 페이지의 값을 그대로 설계에 쓸 수 있습니까?
재료의 값은 대표값이며, 조성·가공·온도에 따라 달라집니다. 개념이나 크기의 어림을 확인하는 데는 쓸 수 있지만, 설계에는 사용할 재료의 데이터시트나 규격의 값을 넣으십시오. 계산은 탄성 범위이며, 소성이나 크리프에 의한 응력 완화, 부품 형상에 의한 응력 집중은 포함하지 않습니다.