단위정을 입체 그림으로 그리고, 드래그·스와이프·버튼으로 돌릴 수 있습니다. 원자를 점으로 그리면 위치를, 강체구로 그리면 원자가 접하는 모습을 알 수 있습니다. 단위정당 원자 수·배위수·충진율과, 원자 반지름 r과 격자 상수 a의 관계를 식과 수치로 보여 줍니다. 팔면체·사면체 틈의 위치·수·들어가는 구의 반지름비를 구분하여 그리고, 입방정에서는 (hkl)을 입력하면 그 면을, [uvw]를 입력하면 방향의 화살표를 그려 면간 거리·면 위의 원자 수·면밀도·선밀도를 계산합니다. 슬립계 버튼을 누르면 슬립면과 슬립 방향을 한 쌍 그립니다. 기본값은 구리(FCC, a = 0.3615 nm)의 (111)면입니다.
입력한 조건은 이 페이지의 URL에 담기므로, 북마크하거나 링크를 공유하면 같은 계산을 열 수 있습니다. 즐겨찾기와 최근 사용한 도구는 이 브라우저(localStorage)에만 저장됩니다.
원자를 같은 크기의 강체구로 보고, 가장 가까운 원자끼리 접한다고 하여 계산합니다. 틈의 반지름비는 틈의 중심에서 가장 가까운 원자의 중심까지의 거리에서 원자 반지름을 뺀 값을 원자 반지름으로 나눈 것입니다. 면밀도는 원자의 중심이 면 위에 있는 것을 세고, 면 충진율은 면 위 원자의 단면(반지름 r인 원)이 차지하는 비율입니다. 실제 원자의 크기는 결합의 종류나 배위수에 따라 달라지므로, 값은 기하학으로 정해지는 기준입니다.
다른 입력은 현재 값 그대로 두고, 선택한 입력만 현재 값의 1/4배에서 4배 범위로 바꾸었을 때의 결과입니다. 빨간 점이 현재 값입니다.
입방정은 정육면체의 단위정으로, HCP는 육각기둥으로 그립니다. x·y·z(HCP는 a₁·a₂·c)의 화살표는 원점 O에서 단위정의 모서리 끝으로 늘인 결정축입니다. 원자는 단위정에 속하는 비율에 따라 색을 나누었으며, 꼭짓점(1/8, HCP의 꼭짓점은 1/6), 모서리(1/4), 면(1/2), 내부(1)입니다. 그림을 드래그하여 돌릴 수 있습니다. 스마트폰에서는 옆으로 스와이프하면 돌아가고 위아래로 스와이프하면 페이지가 스크롤되므로, 위아래 기울기는 ▲▼ 버튼으로 바꿉니다. 「[111]에서 보기」를 누르면 체대각선 방향에서 본 그림이 되어, FCC에서는 조밀면의 원자가 육각형으로 늘어선 모습을 볼 수 있습니다. 점 표시는 위치를 보기 위한 것이고, 강체구 표시는 원자가 접하는 방향(SC는 모서리, BCC는 체대각선, FCC는 면 대각선)을 보기 위한 것입니다. 다이아몬드 구조의 점 표시에서는 가장 가까운 원자와의 결합도 선으로 그립니다.
단위정당 원자 수는 위치마다의 비율을 곱하여 더합니다. FCC는 8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4, BCC는 8 × 1/8 + 1 = 2, 다이아몬드 구조는 FCC의 4개에 내부의 4개를 더해 8개, HCP의 육각기둥은 12 × 1/6 + 2 × 1/2 + 3 = 6입니다. 충진율은 n × (4/3)πr³/a³이며, 접하는 방향으로 정해지는 a와 r의 관계를 넣으면 r이 소거되어 SC는 π/6 ≈ 0.52, BCC는 √3π/8 ≈ 0.68, FCC는 π/(3√2) ≈ 0.74, 다이아몬드 구조는 √3π/16 ≈ 0.34가 됩니다. 격자 상수를 입력하면 원자 반지름과 최근접 원자 간 거리를 nm로 보여 줍니다. 예를 들어 α철(BCC, a = 0.2866 nm)에서는 r = √3a/4 ≈ 0.124 nm, 구리(FCC, a = 0.3615 nm)에서는 r = √2a/4 ≈ 0.128 nm입니다.
틈(격자간 위치)은 둘러싼 원자의 수로 구분하여 부릅니다. 원자 6개가 팔면체의 꼭짓점에 늘어선 것이 팔면체 틈, 4개가 사면체의 꼭짓점에 늘어선 것이 사면체 틈입니다. 들어가는 구의 반지름은 중심에서 둘러싼 원자의 중심까지의 거리에서 원자 반지름 r을 뺀 값입니다. FCC에서는 팔면체 틈까지의 거리가 a/2 = √2r이므로 반지름비는 √2 − 1 ≈ 0.414, 사면체 틈까지는 √3a/4 = √(3/2)r이므로 √(3/2) − 1 ≈ 0.225입니다. 수는 단위정당 팔면체 틈 4개(체심 1 + 모서리 중점 12 × 1/4), 사면체 틈 8개로, 원자 1개당 팔면체 1개·사면체 2개입니다. HCP도 원자 1개당 수와 반지름비가 FCC와 같습니다. 표의 「들어가는 구의 반지름」은 입력한 격자 상수로 계산한 값입니다.
BCC는 충진율이 약 0.68로 FCC(약 0.74)보다 낮으므로, 틈의 총량(1 − 충진율)은 약 0.32로 FCC의 약 0.26보다 큽니다. 그러나 틈은 원자 1개당 팔면체 3개·사면체 6개로 다수로 나뉘어 있고, 들어가는 구의 반지름은 사면체 틈에서 약 0.291r, 팔면체 틈에서 약 0.155r밖에 되지 않습니다. BCC의 팔면체 틈은 일그러진 팔면체로, 한 축 방향의 원자 2개는 a/2로 가깝고 나머지 4개는 a/√2로 멀리 있습니다. 들어가는 구의 크기는 가까운 2개로 정해집니다. 「틈」에서 팔면체 틈을 선택하면 가까운 2개를 굵은 선, 먼 4개를 점선으로 이어 그립니다. α철의 탄소 최대 고용 한도(약 0.022 wt%)가 γ철(약 2.14 wt%)보다 훨씬 작은 것은 이 때문입니다.
(hkl)을 입력하면 x·y·z축과의 절편이 1/h, 1/k, 1/l인 면을 단위정 안에 그립니다. 지수가 0인 축과는 만나지 않습니다(절편 ∞). 음의 지수가 있을 때는 원점을 그 축의 1 위치(O′)로 옮겨 절편을 취합니다. 점선은 이웃한 평행한 면이며, 그 간격이 면간 거리 d = a/√(h² + k² + l²)입니다. 면 위의 원자는 원자의 중심이 면 위에 있는 것을 단면 다각형 안에 있는 비율로 셉니다. 단면의 꼭짓점에 있는 원자는 그 꼭짓점의 내각의 비율(정삼각형이면 60°/360° = 1/6, 직사각형이면 1/4), 변 위는 1/2, 안쪽은 1입니다. FCC의 (111)은 꼭짓점 3 × 1/6 + 변 3 × 1/2 = 2개가 넓이 (√3/2)a²에 있으므로 면밀도는 4/(√3a²)이며, 구리(a = 0.3615 nm)에서는 약 17.7개/nm²입니다. BCC의 (110)은 꼭짓점 4 × 1/4 + 안쪽 1 = 2개가 넓이 √2a²에 있어 면밀도는 √2/a²입니다.
원자가 가장 조밀하게 늘어선 면과 방향에서 슬립이 일어나기 쉽습니다. 면 충진율은 FCC의 {111}에서 π/(2√3) ≈ 0.907, BCC의 {110}에서 약 0.833이고, 방향의 선 충진율은 FCC의 <110>과 BCC의 <111>에서 1(원자가 접하여 늘어섬)입니다. 슬립계 버튼을 누르면 슬립면과, 그 면 위 원자의 열을 따른 슬립 방향의 화살표를 그리고, 방향이 면 안에 있는지(hu + kv + lw = 0)를 확인합니다. FCC의 {111}<110>은 4면 × 3방향으로 12계, BCC의 {110}<111>은 6면 × 2방향으로 12계이며, BCC에서는 {112}<111>과 {123}<111>도 작동합니다. HCP의 기저면 슬립 {0001}<11-20>은 3계뿐이고 독립적인 것은 2개이므로, 다결정의 변형에 필요한 5개에 미치지 못합니다.
이 도구의 URL에는 입력한 값이 남습니다. 예를 들어 「…/tools/crystal-structure-viewer/?type=bcc&a=0.28665」처럼 구조(type에 sc·bcc·fcc·hcp·diamond)와 격자 상수(a, nm)를 붙여 열면 그 조건으로 표시합니다. HCP에서는 축비(ca에 c/a)도 넘길 수 있습니다. 「XRD 계산 도구에서 … 보기」 링크는 표시 중인 구조·격자 상수·면 지수를 입력한 상태로 XRD 계산 도구를 열어, 브래그 법칙에 의한 회절각 2θ와 소멸 규칙으로 회절하는지를 보여 줍니다. 원소별 결정 구조와 격자 상수는 재료를 위한 주기율표에서 찾을 수 있으며, 찾은 격자 상수를 이 도구에 입력하면 그 원소의 원자 반지름·면밀도·틈의 크기를 알 수 있습니다.
정답: B. 약 0.74
FCC에서는 원자가 면 대각선 방향으로 접하므로 √2a = 4r, 즉 a = 2√2r입니다. 단위정에 원자가 4개 있으므로 충진율은 4×(4/3)πr³ / (2√2r)³ = π/(3√2) ≈ 0.74가 됩니다. 약 0.68은 BCC(체대각선 방향으로 접하여 a = 4r/√3, 원자 2개)의 값, 약 0.52는 SC(a = 2r, 원자 1개로 π/6)의 값입니다. HCP도 이상적인 c/a일 때는 0.74로, FCC와 함께 조밀 충진 구조에 속합니다. 다만 틈 하나하나의 크기는 반대로, 충진율이 낮은 BCC 쪽이 더 작습니다(팔면체 틈에 들어가는 구의 반지름은 FCC에서 약 0.41r, BCC에서 약 0.15r). 틈의 총량은 많아도 작게 나뉘어 있기 때문입니다.
정답: C. (210)
밀러 지수는 각 축과의 절편을 격자 상수를 단위로 나타내고, 그 역수를 취해 가장 작은 정수비로 만든 것입니다. 절편은 1, 2, ∞이므로 역수는 1, 1/2, 0이 되며, 2배 하여 (210)입니다. (120)은 절편 1, 2를 역수로 하지 않고 그대로 늘어놓은 오류입니다. z축에 평행한 면은 z축의 절편이 ∞이므로 반드시 l = 0이 되며, 세 번째 지수가 0이 아닌 (102)도 틀립니다. 면이 원점을 지나는 경우에는 원점을 이웃 격자점으로 옮긴 후 절편을 취합니다.
정답: B. {111}면과 <110> 방향
FCC에서는 {111}면이 원자가 가장 조밀하게 채워진 면이며, 그 면 안에서 원자는 면 대각선 방향, 즉 <110> 방향으로 접하고 있습니다. FCC 금속의 슬립은 이 {111}<110>에서 일어나며, {111}면 4종류에 각각 <110> 방향이 3개 있으므로 슬립계는 12개입니다. {110}면과 <111> 방향은 BCC의 조밀면과 조밀 방향으로, FCC와 혼동하기 쉬운 조합입니다. {100}면과 <100> 방향은 SC의 조밀면과 조밀 방향에 해당하며, FCC에서는 조밀하지 않습니다.
방향은 같지만 (200)은 절편이 1/2인 면이며 면간 거리는 (100)의 절반입니다. 이 도구에서 (200)을 입력하면 단위정의 한가운데에 면을 그립니다. FCC나 BCC에서는 (200)면 위에도 원자가 늘어서므로 XRD에서는 (100)이 소멸하고 (200)이 나타납니다. SC의 (200)면에는 원자가 없으며, XRD의 (200)은 (100)의 2차 반사에 해당합니다.
(000)은 면을, [000]은 방향을 나타내지 않으므로 그림에 그리지 않고 그렇게 표시합니다. 지수는 −9~9의 정수이며 소수는 반올림합니다. 음의 지수는 「−1」처럼 입력하면 결과에서 숫자 위에 가로줄을 붙여 표시합니다.
(100)(110)(111)처럼 낮은 지수의 면에서는 어느 단위정의 단면도 같은 모양이 되므로, 단면 하나로 센 값이 면 전체의 평균과 일치합니다. (112)나 (123) 같은 면에서는 이웃한 단위정에서 단면의 모양이 바뀌므로 단면 하나만으로는 평균이 되지 않습니다. 이 도구는 격자면의 간격과 단위정의 부피로 계산한 면 전체의 평균을 면밀도로 보여 주고, 다를 때는 단면만으로 센 값도 덧붙입니다.
탄소 원자는 어느 틈보다도 크므로 주위의 철 원자를 밀어 벌리고 들어갑니다. 팔면체 틈에서는 가까운 2개만 밀어 벌리면 되므로, 사면체 틈에 들어가는 것보다 전체의 변형 에너지가 작다고 여겨집니다. 그 결과 탄소가 들어간 격자는 한 방향으로 늘어나며, 이것이 담금질로 생기는 마르텐사이트가 정방정이 되는 원인이 됩니다. 강체구의 반지름비는 어디에 들어가기 쉬운지를 판단하는 기준 중 하나입니다.
HCP에서는 기저면 안에 120°씩 떨어진 3개의 축 a₁·a₂·a₃와 c축을 잡는 밀러-브라베 지수(hkil, i = −(h + k))를 쓰는 것이 보통이며, 입방정의 d = a/√(h² + k² + l²)를 쓸 수 없기 때문입니다. 이 도구에서는 대표적인 기저면 (0001)과 프리즘면 (10-10), 슬립계를 선택하여 그리고, c/a에 따른 차이를 보여 줍니다.
입력한 격자 상수로부터 가장 가까운 원자끼리 접한다고 하여 계산한 강체구의 반지름입니다. 주기율표 도구에 실은 금속 결합 반지름(12배위의 값)과는 BCC처럼 배위수가 다른 구조에서 조금 다릅니다. 또한 HCP에서 c/a가 이상값에서 벗어나 있을 때는 가장 가까운 방향의 원자끼리만 접한다고 하여 계산합니다.