브래그 법칙의 뜻

Q: 브래그 법칙의 θ와 2θ는 어떻게 다릅니까?

θ는 결정면과 입사 X선이 이루는 각(브래그 각)이고, 2θ는 입사 X선과 회절 X선이 이루는 각(회절각)입니다. XRD 데이터의 가로축은 보통 2θ이므로, 계산에서는 그 절반을 θ로 사용합니다.

Q: n = 2인 반사는 어떻게 다룹니까?

2d sinθ = 2λ는 면간 거리가 d/2인 면에서의 1차 반사와 같은 식이므로, (100)면의 2차 반사를 (200)면의 반사로 취급합니다. 이렇게 하면 모두 n = 1로 계산할 수 있습니다.

Q: 파장이 긴 X선을 사용하면 어떻게 됩니까?

같은 면간 거리라도 θ가 커져 피크 간격이 넓어지므로 분리하기 쉬워지는 반면, sinθ ≤ 1이라는 제약 때문에 측정할 수 있는 면의 수가 줄어듭니다. Cr Kα선 등은 잔류 응력 측정 등에 사용됩니다.

면간 거리 d인 결정면에서 회절이 보강되는 조건 2d sinθ = nλ. XRD 피크의 각도로부터 면간 거리를 구하는 기본 식.

일본어 명칭: ブラッグの法則

‘브래그 법칙’ 관련 연습 문제는 1개 분야에 2문제가 있습니다(재료 분석(SEM·TEM·XRD·XPS) 등).

이 용어의 분야: 재료 분석(SEM·TEM·XRD·XPS)

식의 의미

결정을 간격 d로 평행하게 늘어선 원자면이 겹쳐 쌓인 것으로 봅니다. 파장 λ의 X선이 면에 대해 각도 θ로 입사하면, 이웃한 면에서 반사된 X선의 경로차는 2d sinθ가 됩니다. 이 차가 파장의 정수배 nλ일 때 모든 면에서의 반사가 같은 위상으로 맞추어져 서로 보강됩니다. 이것이 브래그 법칙 2d sinθ = nλ입니다. θ는 면과 X선이 이루는 각이고, 입사 X선과 회절 X선이 이루는 각은 2θ가 되며, XRD의 가로축에는 보통 이 2θ를 잡습니다.

계산과 단위의 주의점

예를 들어 Cu Kα선(λ = 0.15406 nm)으로 d = 0.2088 nm인 면을 측정하면, sinθ = 0.15406/(2 × 0.2088) ≈ 0.369이므로 θ ≈ 21.7°, 2θ ≈ 43.3°입니다. 흔한 실수는 2θ와 θ를 혼동하는 것과 식의 계수 2를 빠뜨리는 것입니다. sinθ는 1을 넘을 수 없으므로 d < λ/2인 면에서는 회절이 일어나지 않으며, 파장이 짧을수록 더 많은 피크를 측정할 수 있습니다. 고차 반사(n = 2 이상)는 면간 거리가 d/n인 면에서의 1차 반사로 보고 (200)과 같은 지수로 나타내는 것이 일반적입니다.

입방정에서의 사용법과 소멸 규칙

입방정에서는 면간 거리가 d = a/√(h² + k² + l²)이므로, 브래그 법칙과 조합하면 sin²θ = (λ²/4a²)(h² + k² + l²)가 되고, 피크의 sin²θ의 비로부터 h² + k² + l²의 배열을 알 수 있습니다. 다만 단위정 안의 원자 배치에 따라서는 어떤 면에서의 회절이 서로 상쇄되어 사라집니다(소멸 규칙). BCC에서는 h + k + l이 짝수인 면만, FCC에서는 h, k, l이 모두 짝수이거나 모두 홀수인 면만 나타나며, 이 배열 방식으로부터 구조를 판별하고 격자 상수를 결정할 수 있습니다.

X선 이외로의 응용

브래그 법칙은 파동의 간섭 조건이므로 X선뿐만 아니라 전자선이나 중성자선의 회절에도 적용됩니다. TEM의 전자 회절에서는 전자의 파장이 매우 짧고(200 kV에서 약 0.0025 nm) θ가 1° 이하로 작으므로, sinθ ≈ θ로 근사하여 회절 스폿의 간격으로부터 면간 거리를 구합니다. SEM의 EBSD, X선 분광 결정을 사용하는 WDS, 형광 X선 분석의 분광에도 같은 원리가 쓰이며, 재료 분석의 많은 기법에 공통된 토대가 되고 있습니다.

브래그 법칙 연습 문제에 도전

Cu Kα선(파장 0.15406 nm)을 사용한 XRD에서, 면간 거리 0.3135 nm인 Si(111)면으로부터의 1차 회절 피크가 나타나는 회절각 2θ에 가장 가까운 것은 무엇인가?

A약 14.2°
B약 28.4°
C약 58.9°

정답과 해설 보기

정답: B. 약 28.4°

브래그 법칙 2d sinθ = nλ(n = 1)로부터 sinθ = 0.15406/(2 × 0.3135) ≈ 0.2457이며, θ ≈ 14.2°, 회절각은 2θ ≈ 28.4°입니다. XRD 장치나 데이터에서는 입사 X선과 회절 X선이 이루는 각 2θ를 가로축으로 잡는 것이 보통입니다. 약 14.2°는 θ를 그대로 답한 오류, 약 58.9°는 브래그 식의 2를 빠뜨려 sinθ = λ/d로 한 오류입니다. 실리콘 분말의 28.4° 부근 피크는 강하고 날카로우므로 회절각 교정의 표준으로도 자주 사용됩니다.

Cu Kα선(파장 0.15406 nm)을 사용한 구리(FCC)의 분말 XRD에서 가장 저각 쪽의 피크가 2θ = 43.30°에 나타났다. 구리의 격자 상수에 가장 가까운 것은 무엇인가?

A약 0.209 nm
B약 0.295 nm
C약 0.362 nm

정답과 해설 보기

정답: C. 약 0.362 nm

θ = 21.65°이고 sinθ ≈ 0.3689이므로, 브래그 법칙으로부터 d = λ/(2 sinθ) ≈ 0.2088 nm입니다. FCC에서 가장 저각 쪽의 피크는 (111)이므로 a = d × √(1² + 1² + 1²) = 0.2088 × √3 ≈ 0.362 nm가 되어 구리의 격자 상수(약 0.3615 nm)와 일치합니다. 약 0.209 nm는 면간 거리 d 자체로, 격자 상수로의 환산을 하지 않은 것입니다. 약 0.295 nm는 첫 번째 피크를 (110)으로 보고 √2를 곱한 값으로, BCC의 소멸 규칙을 적용한 오류입니다. 피크의 지수 매김을 올바르게 하는 것이 격자 상수를 결정하는 전제가 됩니다.

자주 묻는 질문

브래그 법칙의 θ와 2θ는 어떻게 다릅니까?