晶體結構檢視器(單位晶胞、間隙、米勒指數)

以立體圖畫出單位晶胞,可用拖曳、滑動或按鈕轉動。把原子畫成點可看出位置,畫成剛體球可看出原子相接觸的情形。以式子與數值顯示每個單位晶胞的原子數、配位數、堆積因子,以及原子半徑r與晶格常數a的關係。可分別畫出八面體與四面體間隙的位置、數目與能放入的球的半徑比;立方晶輸入(hkl)會畫出該晶面,輸入[uvw]會畫出方向的箭頭,並計算晶面間距、晶面上的原子數、面密度與線密度。按下滑移系統的按鈕,會畫出一組滑移面與滑移方向。預設為銅(FCC,a = 0.3615 nm)的(111)面。

結構與顯示

圖與結果

單位晶胞的數值

間隙(格隙位置)

晶面與方向

滑移系統

用其他工具繼續

將原子視為大小相同的剛體球,並假設最近的原子彼此接觸來計算。間隙的半徑比,是由間隙中心到最近原子中心的距離減去原子半徑,再除以原子半徑。面密度只計算中心位於晶面上的原子,面堆積率是晶面上原子的截面(半徑r的圓)所占的比例。實際的原子大小會隨鍵結種類與配位數改變,因此這些數值是由幾何決定的參考值。

圖的讀法與轉動方式

立方晶畫成立方體的單位晶胞,HCP畫成六角柱。x、y、z(HCP為 a₁、a₂、c)的箭頭,是由原點O延伸到單位晶胞稜邊之外的晶軸。原子依屬於單位晶胞的比例分色:頂點(1/8,HCP的頂點為1/6)、稜邊(1/4)、面(1/2)、內部(1)。拖曳圖即可轉動。在手機上左右滑動會轉動,上下滑動則捲動頁面,上下的傾斜請用 ▲▼ 按鈕。按下「從[111]看」會變成沿體對角線方向看的圖,在FCC中可看到最密面的原子排成六角形。點的顯示用來看位置,剛體球的顯示用來看原子接觸的方向(SC為稜邊、BCC為體對角線、FCC為面對角線)。鑽石結構在點的顯示中,也會以線畫出與最近原子的鍵。

原子數、堆積因子與原子半徑的求法

每個單位晶胞的原子數,是把各位置的比例相乘後加總。FCC為 8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4,BCC為 8 × 1/8 + 1 = 2,鑽石結構是FCC的4個加上內部的4個共8個,HCP的六角柱為 12 × 1/6 + 2 × 1/2 + 3 = 6。堆積因子為 n × (4/3)πr³/a³,代入由接觸方向決定的 a 與 r 的關係後 r 會消去,SC為 π/6 ≈ 0.52,BCC為 √3π/8 ≈ 0.68,FCC為 π/(3√2) ≈ 0.74,鑽石結構為 √3π/16 ≈ 0.34。輸入晶格常數後,會以nm顯示原子半徑與最近原子間距離。例如α鐵(BCC,a = 0.2866 nm)的 r = √3a/4 ≈ 0.124 nm,銅(FCC,a = 0.3615 nm)的 r = √2a/4 ≈ 0.128 nm。

八面體間隙與四面體間隙

間隙(格隙位置)依圍住它的原子數來稱呼。6個原子排在八面體頂點的是八面體間隙,4個排在四面體頂點的是四面體間隙。能放入的球的半徑,是由中心到周圍原子中心的距離減去原子半徑r。FCC中到八面體間隙的距離為 a/2 = √2r,半徑比為 √2 − 1 ≈ 0.414;到四面體間隙為 √3a/4 = √(3/2)r,半徑比為 √(3/2) − 1 ≈ 0.225。每個單位晶胞有4個八面體間隙(體心1 + 稜邊中點 12 × 1/4)與8個四面體間隙,即每個原子有1個八面體與2個四面體間隙。HCP每個原子的數目與半徑比也和FCC相同。表中「能放入的球的半徑」是以輸入的晶格常數計算的值。

BCC的間隙總量多,但每一個都小

BCC的堆積因子約0.68,比FCC(約0.74)低,因此間隙的總量(1 − 堆積因子)約0.32,比FCC的約0.26大。但間隙分散成每個原子3個八面體與6個四面體的許多位置,能放入的球的半徑在四面體間隙只有約0.291r,在八面體間隙只有約0.155r。BCC的八面體間隙是扭曲的八面體,沿一個軸方向的2個原子只距離 a/2,其餘4個則在 a/√2 的較遠處。能放入的球的大小由較近的2個決定。在「間隙」選擇八面體間隙,會以粗線連較近的2個、以虛線連較遠的4個。α鐵中碳的最大固溶限(約0.022 wt%)遠小於γ鐵(約2.14 wt%),原因就在這裡。

米勒指數晶面的畫法與晶面上原子的計數

輸入(hkl)後,會在單位晶胞內畫出與x、y、z軸的截距為 1/h、1/k、1/l 的晶面。指數為0的軸不相交(截距∞)。有負的指數時,先把原點移到該軸1的位置(O′)再取截距。虛線是相鄰的平行晶面,其間隔就是晶面間距 d = a/√(h² + k² + l²)。晶面上的原子,只計算中心在晶面上的原子,並依位於截面多邊形內的比例計數。位於截面角上的原子按該角內角的比例計(正三角形為 60°/360° = 1/6,長方形為1/4),位於邊上計1/2,內側計1。FCC的(111)面上,角 3 × 1/6 + 邊 3 × 1/2 = 2個原子位於面積 (√3/2)a² 內,面密度為 4/(√3a²),銅(a = 0.3615 nm)約為17.7個/nm²。BCC的(110)面上,角 4 × 1/4 + 內側1 = 2個位於面積 √2a² 內,面密度為 √2/a²。

面密度、線密度與滑移系統的讀法

滑移最容易發生在原子排列最密的晶面與方向上。面堆積率在FCC的{111}為 π/(2√3) ≈ 0.907,在BCC的{110}約為0.833;方向的線堆積率在FCC的<110>與BCC的<111>為1(原子相接排列)。按下滑移系統的按鈕,會畫出滑移面,以及沿該面上原子列的滑移方向箭頭,並確認方向位於晶面內(hu + kv + lw = 0)。FCC的{111}<110>為4面 × 3方向共12個系統,BCC的{110}<111>為6面 × 2方向共12個系統,BCC中{112}<111>與{123}<111>也會作用。HCP的底面滑移{0001}<11-20>只有3個系統,其中獨立的只有2個,不足多晶變形所需的5個。

與XRD工具、週期表工具的連接方式

本工具的網址會保留輸入的值。例如像「…/tools/crystal-structure-viewer/?type=bcc&a=0.28665」這樣,附上結構(type 為 sc、bcc、fcc、hcp、diamond)與晶格常數(a,nm)開啟,就會以該條件顯示。HCP也可傳入軸比(ca 為 c/a)。「用XRD計算工具看…」的連結,會以目前的結構、晶格常數與晶面指數開啟XRD計算工具,顯示由布拉格定律得到的繞射角2θ,以及依消光規則是否會繞射。各元素的晶體結構與晶格常數可在材料用週期表中查詢;把查到的晶格常數輸入本工具,就能得到該元素的原子半徑、面密度與間隙大小。

練習晶體結構的題目

將原子視為相同大小的剛體球時,FCC結構的原子堆積因子(原子體積占單位晶胞體積的比例)為下列何者?

  1. A約0.68
  2. B約0.74
  3. C約0.52
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正確答案:B. 約0.74

在FCC中,原子沿面對角線方向相接觸,因此 √2a = 4r,即 a = 2√2r。單位晶胞中有4個原子,所以堆積因子為 4×(4/3)πr³ / (2√2r)³ = π/(3√2) ≈ 0.74。約0.68是BCC的值(沿體對角線方向接觸,a = 4r/√3,原子2個),約0.52是SC的值(a = 2r,原子1個,為 π/6)。HCP在理想的 c/a 時也是0.74,與FCC同為最密堆積結構。不過,每個空隙的大小正好相反,堆積因子較低的BCC反而較小(可放入八面體空隙的球半徑,FCC約為0.41r,BCC約為0.15r)。BCC的空隙總量雖多,但分成許多小空隙。

在立方晶中,與x軸交於1a、與y軸交於2a、與z軸平行而不相交的晶面,其米勒指數為下列何者?

  1. A(120)
  2. B(102)
  3. C(210)
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正確答案:C. (210)

米勒指數是將晶面與各軸的截距以晶格常數為單位表示,取其倒數後化為最小整數比。截距為1、2、∞,倒數為1、1/2、0,乘以2得到(210)。(120)是沒有取倒數、直接排列截距1、2的錯誤。平行於z軸的晶面,其z軸截距為∞,因此必定 l = 0,第3個指數不為0的(102)也是錯誤的。若晶面通過原點,要先把原點移到相鄰的晶格點再取截距。

FCC金屬的最密面與最密方向的組合,下列何者正確?

  1. A{110}面與<111>方向
  2. B{111}面與<110>方向
  3. C{100}面與<100>方向
查看答案與解析

正確答案:B. {111}面與<110>方向

在FCC中,{111}面是原子堆積最密的面,在該面內原子沿面對角線方向,即<110>方向相接觸。FCC金屬的滑移就發生在此{111}<110>上,4種{111}面各有3個<110>方向,因此滑移系統共有12個。{110}面與<111>方向是BCC的最密面與最密方向,是容易與FCC混淆的組合。{100}面與<100>方向相當於SC的最密面與最密方向,在FCC中並非最密。

常見問題

(200)與(100)是同一個晶面嗎?

方向相同,但(200)是截距為1/2的晶面,晶面間距為(100)的一半。在本工具輸入(200),會在單位晶胞正中間畫出晶面。FCC與BCC的(200)面上也排有原子,因此在XRD中(100)消失而出現(200)。SC的(200)面上沒有原子,XRD的(200)相當於(100)的2階反射。

輸入(000)或小數會怎樣?

(000)不代表晶面,[000]不代表方向,因此不會畫在圖上,並顯示說明。指數為 −9~9 的整數,小數會四捨五入。負的指數輸入成「−1」等形式,結果中會在數字上方加橫線顯示。

為什麼面密度有時和只用單位晶胞截面計算的值不同?

(100)、(110)、(111)等低指數晶面,每個單位晶胞的截面形狀都相同,因此用一個截面計算的值就等於整個晶面的平均。(112)或(123)等晶面,截面形狀會隨相鄰的單位晶胞改變,只用一個截面不能代表平均。本工具以由晶格面的間距與單位晶胞體積計算的整個晶面平均作為面密度,兩者不同時也附上只用截面計算的值。

BCC中四面體間隙較大,為什麼α鐵的碳會進入八面體間隙?

碳原子比兩種間隙都大,因此要撐開周圍的鐵原子才能進入。在八面體間隙中只需撐開較近的2個,一般認為整體的扭曲能比進入四面體間隙小。結果使含碳的晶格朝一個方向伸長,這也是淬火形成的麻田散鐵成為正方晶的原因。剛體球的半徑比只是判斷容易進入何處的參考之一。

為什麼HCP不能輸入米勒指數的晶面?

HCP通常使用在底面內取相隔120°的3個軸 a₁、a₂、a₃ 與c軸的米勒-布拉菲指數(hkil,i = −(h + k)),立方晶的 d = a/√(h² + k² + l²) 不能使用。本工具可選擇並畫出代表性的底面(0001)、柱面(10-10)與滑移系統,並顯示隨 c/a 的差異。

原子半徑使用的是哪個值?

是由輸入的晶格常數,假設最近的原子彼此接觸而計算的剛體球半徑。與週期表工具所列的金屬鍵半徑(12配位的值)相比,在BCC等配位數不同的結構中會有些差異。此外,HCP的 c/a 偏離理想值時,只假設最近方向的原子彼此接觸來計算。

相關名詞

米勒指數 原子堆積因子 體心立方晶格 面心立方晶格 六方最密堆積結構 消光規則 布拉格定律 差排

相關計算工具

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