Die Elementarzelle wird räumlich gezeichnet und lässt sich durch Ziehen, Wischen oder mit den Schaltflächen drehen. Als Punkte dargestellt zeigen die Atome ihre Lage, als starre Kugeln zeigen sie, wie sie sich berühren. Atome pro Elementarzelle, Koordinationszahl, Packungsdichte und der Zusammenhang zwischen Atomradius r und Gitterkonstante a werden als Formel und Zahlenwert angegeben. Oktaeder- und Tetraederlücken lassen sich mit Lage, Anzahl und dem Radienverhältnis der passenden Kugel einzeichnen. Bei kubischen Kristallen zeichnet die Eingabe von (hkl) die Ebene und die Eingabe von [uvw] die Richtung als Pfeil; berechnet werden Netzebenenabstand, Atome auf der Ebene, Flächenbelegung und Linienbelegung. Eine Schaltfläche für ein Gleitsystem zeichnet je eine Gleitebene mit Gleitrichtung. Voreingestellt ist die (111)-Ebene von Kupfer (kfz, a = 0,3615 nm).
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Bild und Ergebnisse
Elementarzelle
Lücken (Zwischengitterplätze)
Ebene und Richtung
Gleitsysteme
In anderen Werkzeugen weiterrechnen
Die Atome werden als gleich große starre Kugeln betrachtet, wobei sich nächste Nachbarn berühren. Das Radienverhältnis einer Lücke ist der Abstand von ihrem Mittelpunkt zum Mittelpunkt des nächsten Atoms abzüglich des Atomradius, geteilt durch den Atomradius. Die Flächenbelegung zählt Atome, deren Mittelpunkt auf der Ebene liegt; die planare Packungsdichte ist der Anteil der Ebene, den die Schnittflächen dieser Atome (Kreise mit Radius r) bedecken. Die tatsächliche Atomgröße hängt von Bindungsart und Koordinationszahl ab, die Werte sind daher geometrische Richtwerte.
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Die übrigen Eingaben behalten ihren aktuellen Wert, während die gewählte Eingabe vom 1/4- bis zum 4-Fachen ihres aktuellen Werts variiert wird. Der rote Punkt ist der aktuelle Wert.
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Kubische Kristalle werden als würfelförmige Elementarzelle gezeichnet, hdP als Sechseckprisma. Die Pfeile x, y und z (bei hdP a₁, a₂ und c) sind die Kristallachsen, vom Ursprung O über die Zellkanten hinaus verlängert. Die Atome sind nach dem Anteil gefärbt, der zur Zelle gehört: Ecken (1/8, bei hdP 1/6), Kanten (1/4), Flächen (1/2) und Inneres (1). Zum Drehen das Bild ziehen. Auf dem Smartphone dreht seitliches Wischen die Zelle, senkrechtes Wischen scrollt die Seite; gekippt wird dort mit den Schaltflächen ▲▼. „Blick entlang [111]“ zeigt die Zelle entlang der Raumdiagonale; im kfz-Gitter sieht man dann die Atome der dichtest gepackten Ebenen in Sechsecken angeordnet. Die Punktdarstellung dient dazu, Lagen zu erkennen, die Kugeldarstellung zeigt die Richtungen, in denen sich die Atome berühren (Kanten bei kubisch-primitiv, Raumdiagonalen bei krz, Flächendiagonalen bei kfz). In der Punktdarstellung der Diamantstruktur werden auch die Bindungen zu den nächsten Nachbarn gezeichnet.
Atome pro Zelle, Packungsdichte und Atomradius
Die Zahl der Atome pro Elementarzelle ist die Summe der Anteile an jeder Lage: 8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 4 für kfz, 8 × 1/8 + 1 = 2 für krz, die 4 kfz-Atome plus 4 innere Atome = 8 für die Diamantstruktur und 12 × 1/6 + 2 × 1/2 + 3 = 6 für das hdP-Sechseckprisma. Die Packungsdichte ist n × (4/3)πr³/a³; setzt man den durch die Berührungsrichtung gegebenen Zusammenhang zwischen a und r ein, fällt r heraus, und es ergeben sich π/6 ≈ 0,52 für kubisch-primitiv, √3π/8 ≈ 0,68 für krz, π/(3√2) ≈ 0,74 für kfz und √3π/16 ≈ 0,34 für die Diamantstruktur. Nach Eingabe der Gitterkonstante werden Atomradius und Abstand nächster Nachbarn in nm angezeigt. α-Eisen (krz, a = 0,2866 nm) hat zum Beispiel r = √3a/4 ≈ 0,124 nm, Kupfer (kfz, a = 0,3615 nm) r = √2a/4 ≈ 0,128 nm.
Oktaeder- und Tetraederlücken
Zwischengitterplätze werden nach der Zahl der umgebenden Atome benannt: Sitzen 6 Atome an den Ecken eines Oktaeders, ist es eine Oktaederlücke, sitzen 4 an den Ecken eines Tetraeders, eine Tetraederlücke. Der Radius der passenden Kugel ist der Abstand vom Mittelpunkt zu den umgebenden Atommittelpunkten abzüglich des Atomradius r. Im kfz-Gitter liegt die Oktaederlücke a/2 = √2r von ihren Nachbarn entfernt, das Radienverhältnis ist also √2 − 1 ≈ 0,414; die Tetraederlücke ist √3a/4 = √(3/2)r entfernt, was √(3/2) − 1 ≈ 0,225 ergibt. Pro Elementarzelle gibt es 4 Oktaederlücken (Raummitte 1 + Kantenmitten 12 × 1/4) und 8 Tetraederlücken, also pro Atom 1 Oktaeder- und 2 Tetraederlücken. hdP hat pro Atom dieselbe Anzahl und dieselben Radienverhältnisse. Die Spalte „Kugelradius rₓ“ verwendet die eingegebene Gitterkonstante.
krz: viel Leervolumen insgesamt, aber kleine Einzellücken
krz hat mit etwa 0,68 eine geringere Packungsdichte als kfz (etwa 0,74), sein Gesamtleervolumen (1 − Packungsdichte) ist mit etwa 0,32 also größer als die etwa 0,26 im kfz-Gitter. Dieses Volumen verteilt sich aber auf viele Lücken, pro Atom 3 Oktaeder- und 6 Tetraederlücken, und die passende Kugel hat in der Tetraederlücke nur einen Radius von etwa 0,291r, in der Oktaederlücke von etwa 0,155r. Die krz-Oktaederlücke ist ein verzerrtes Oktaeder: Die 2 Atome entlang einer Achse sind nur a/2 entfernt, die übrigen 4 dagegen a/√2. Die Größe der passenden Kugel bestimmen die 2 nahen Atome. Wählt man unter „Lücken“ die Oktaederlücken, werden die 2 nahen Atome mit dicken und die 4 fernen mit gestrichelten Linien verbunden. Deshalb ist die maximale Löslichkeit von Kohlenstoff in α-Eisen (etwa 0,022 Massen-%) viel kleiner als in γ-Eisen (etwa 2,14 Massen-%).
Millersche Ebenen zeichnen und Atome darauf zählen
Die Eingabe (hkl) zeichnet die Ebene mit den Achsenabschnitten 1/h, 1/k und 1/l auf der x-, y- und z-Achse. Ein Index 0 bedeutet, dass die Ebene diese Achse nicht schneidet (Achsenabschnitt ∞). Bei einem negativen Index wird der Ursprung vor dem Ablesen auf die Stelle 1 dieser Achse (O′) verschoben. Die gestrichelten Umrisse sind die benachbarten parallelen Ebenen im Netzebenenabstand d = a/√(h² + k² + l²). Atome, deren Mittelpunkt auf der Ebene liegt, zählen mit dem Anteil, der im Schnittpolygon liegt: an einer Ecke des Schnitts nach dem Innenwinkel (60°/360° = 1/6 beim gleichseitigen Dreieck, 1/4 beim Rechteck), auf einer Kante mit 1/2 und im Inneren mit 1. Auf der kfz-(111)-Ebene liegen 3 Ecken × 1/6 + 3 Kanten × 1/2 = 2 Atome auf der Fläche (√3/2)a², die Flächenbelegung ist also 4/(√3a²), bei Kupfer (a = 0,3615 nm) etwa 17,7 Atome/nm². Auf der krz-(110)-Ebene liegen 4 Ecken × 1/4 + 1 innen = 2 Atome auf der Fläche √2a², also √2/a².
Flächenbelegung, Linienbelegung und Gleitsysteme lesen
Gleitung erfolgt am leichtesten auf den Ebenen und in den Richtungen mit der dichtesten Atombelegung. Die planare Packungsdichte beträgt π/(2√3) ≈ 0,907 für kfz {111} und etwa 0,833 für krz {110}; die lineare Packungsdichte ist 1 (sich berührende Atome) für kfz <110> und krz <111>. Eine Schaltfläche für ein Gleitsystem zeichnet die Gleitebene und einen Pfeil für die Gleitrichtung entlang einer Atomreihe auf dieser Ebene und prüft, dass die Richtung in der Ebene liegt (hu + kv + lw = 0). kfz {111}<110> hat 4 Ebenen × 3 Richtungen = 12 Systeme, krz {110}<111> 6 Ebenen × 2 Richtungen = 12 Systeme; im krz-Gitter sind außerdem {112}<111> und {123}<111> aktiv. Die Basisgleitung {0001}<11-20> im hdP-Gitter hat nur 3 Systeme, davon 2 unabhängige – weniger als die 5, die ein Vielkristall für eine beliebige Formänderung braucht.
Verknüpfung mit dem XRD-Rechner und dem Periodensystem
Die URL dieses Werkzeugs speichert die eingegebenen Werte. Öffnet man es mit Struktur (type = sc, bcc, fcc, hcp oder diamond) und Gitterkonstante (a in nm), etwa „…/tools/crystal-structure-viewer/?type=bcc&a=0.28665“, wird dieser Fall angezeigt; für hdP lässt sich auch das Achsenverhältnis (ca für c/a) übergeben. Der Link „… im XRD-Rechner ansehen“ öffnet den XRD-Rechner mit der aktuellen Struktur, Gitterkonstante und den Ebenenindizes und zeigt den Beugungswinkel 2θ nach der Bragg-Gleichung sowie, ob die Ebene nach den Auslöschungsregeln reflektiert. Kristallstrukturen und Gitterkonstanten der Elemente stehen im Periodensystem für Werkstoffe; gibt man eine dort gefundene Gitterkonstante hier ein, erhält man Atomradius, Flächenbelegungen und Lückengrößen des Elements.
Im kfz-Gitter berühren sich die Atome entlang der Flächendiagonale, also √2a = 4r bzw. a = 2√2r. Da die Elementarzelle 4 Atome enthält, beträgt die Packungsdichte 4×(4/3)πr³ / (2√2r)³ = π/(3√2) ≈ 0,74. Ca. 0,68 ist der Wert für krz (Berührung entlang der Raumdiagonale mit a = 4r/√3, 2 Atome), ca. 0,52 der für kubisch-primitiv (a = 2r, 1 Atom, π/6). Auch hdP hat bei idealem c/a den Wert 0,74 und ist neben kfz eine dichteste Kugelpackung. Die Größe der einzelnen Lücken verhält sich jedoch umgekehrt: Im weniger dicht gepackten krz-Gitter sind sie kleiner (der Radius der größten Kugel in einer Oktaederlücke beträgt im kfz-Gitter etwa 0,41r, im krz-Gitter nur etwa 0,15r), weil krz sein größeres Gesamtleervolumen auf viele kleine Lücken verteilt.
Millersche Indizes erhält man, indem man die Achsenabschnitte in Einheiten der Gitterkonstante ausdrückt, ihre Kehrwerte bildet und diese auf das kleinste ganzzahlige Verhältnis bringt. Die Achsenabschnitte sind 1, 2 und ∞, die Kehrwerte 1, 1/2 und 0; mit 2 multipliziert ergibt sich (210). (120) reiht die Achsenabschnitte 1 und 2 ohne Kehrwertbildung aneinander. Eine Ebene parallel zur z-Achse hat auf der z-Achse den Achsenabschnitt ∞ und daher stets l = 0; (102) mit von null verschiedenem drittem Index ist daher ebenfalls falsch. Geht die Ebene durch den Ursprung, wird der Ursprung zuvor auf einen benachbarten Gitterpunkt verschoben.
Im kfz-Gitter sind die {111}-Ebenen am dichtesten mit Atomen belegt, und innerhalb dieser Ebenen berühren sich die Atome entlang der Flächendiagonalen, also in <110>-Richtungen. Die Gleitung in kfz-Metallen erfolgt in diesem System {111}<110>; da es 4 verschiedene {111}-Ebenen mit je 3 <110>-Richtungen gibt, existieren 12 Gleitsysteme. {110}-Ebenen und <111>-Richtungen sind die dichtest gepackten Ebenen und Richtungen von krz und werden leicht mit kfz verwechselt. {100}-Ebenen und <100>-Richtungen sind die dichtest gepackten Ebenen und Richtungen des kubisch-primitiven Gitters und im kfz-Gitter nicht dichtest gepackt.
Häufige Fragen
Sind (200) und (100) dieselbe Ebene?
Sie haben dieselbe Orientierung, aber (200) hat Achsenabschnitte von 1/2 und den halben Netzebenenabstand von (100). Gibt man hier (200) ein, wird die Ebene durch die Mitte der Zelle gezeichnet. Im kfz- und krz-Gitter liegen auch auf den (200)-Ebenen Atome; daher ist in der XRD (100) ausgelöscht und (200) tritt auf. Die (200)-Ebene des kubisch-primitiven Gitters enthält keine Atome, und der XRD-Reflex (200) entspricht der zweiten Ordnung von (100).
Was passiert bei der Eingabe von (000) oder einer Dezimalzahl?
(000) beschreibt keine Ebene und [000] keine Richtung; es wird nichts gezeichnet, und ein Hinweis erscheint. Indizes sind ganze Zahlen von −9 bis 9, Dezimalzahlen werden gerundet. Negative Indizes wie −1 werden in den Ergebnissen mit einem Strich über der Zahl angezeigt.
Warum weicht die Flächenbelegung manchmal von dem Wert ab, der im Schnitt einer einzelnen Zelle gezählt wird?
Bei niedrig indizierten Ebenen wie (100), (110) und (111) hat der Schnitt in jeder Elementarzelle dieselbe Form, sodass ein einzelner Schnitt den Mittelwert der ganzen Ebene liefert. Bei Ebenen wie (112) oder (123) ändert sich die Form des Schnitts von Zelle zu Zelle, und ein einzelner Schnitt ist nicht repräsentativ. Das Werkzeug gibt als Flächenbelegung den Mittelwert über die ganze Ebene an, berechnet aus dem Abstand der Gitterebenen und dem Zellvolumen, und nennt bei einer Abweichung zusätzlich den Wert des einzelnen Schnitts.
Im krz-Gitter ist die Tetraederlücke größer – warum sitzt Kohlenstoff in α-Eisen auf Oktaederlücken?
Ein Kohlenstoffatom ist größer als beide Lücken und muss die umgebenden Eisenatome auseinanderdrücken. In der Oktaederlücke genügt es, die 2 nahen Atome zu verschieben, was nach gängiger Auffassung insgesamt weniger Verzerrungsenergie kostet als der Einbau in eine Tetraederlücke. Dadurch streckt sich das kohlenstoffhaltige Gitter in einer Richtung, weshalb der beim Härten entstehende Martensit tetragonal ist. Das Radienverhältnis starrer Kugeln ist nur ein Anhaltspunkt dafür, wo ein Atom am leichtesten Platz findet.
Warum lassen sich für hdP keine Millerschen Indizes eingeben?
Für hdP verwendet man üblicherweise Miller-Bravais-Indizes (hkil mit i = −(h + k)) mit drei um 120° versetzten Achsen a₁, a₂ und a₃ in der Basisebene und der c-Achse; die kubische Formel d = a/√(h² + k² + l²) gilt nicht. Das Werkzeug zeichnet die typische Basisebene (0001), die Prismenebene (10-10) und Gleitsysteme und zeigt, wie sie von c/a abhängen.
Welcher Atomradius wird verwendet?
Es ist der Radius starrer Kugeln, berechnet aus der eingegebenen Gitterkonstante unter der Annahme, dass sich nächste Nachbarn berühren. Er weicht etwas vom metallischen Radius für 12-fache Koordination im Periodensystem-Werkzeug ab, vor allem bei Strukturen mit anderer Koordinationszahl wie krz. Weicht c/a im hdP-Gitter vom Idealwert ab, wird angenommen, dass sich nur die Atome in der nächsten Richtung berühren.