公式集

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

僅適用於立方晶（簡單立方、BCC、FCC、鑽石結構、NaCl 型等）。正方晶、六方晶等請使用下一個「晶面間距（正方晶、斜方晶、六方晶）」的公式。此式表示晶面族的間距，對於因消光規則而反射消失的 (hkl)，在數值上也成立。

常見錯誤

漏掉 √，或除以 h + k + l。(100) 與 (200) 的區別：BCC 中 (100) 的反射消失，而以 d/2 的 (200) 出現。nm 與 Å（1 Å = 0.1 nm）的混淆。

範例

Cu（FCC，a = 0.36146 nm）的 (111) 面：d = 0.36146/√3 = 0.2087 nm。BCC 的 Fe（a = 0.28665 nm）的 (110) 面則為 0.28665/√2 = 0.2027 nm。

計算練習 晶面間距（立方晶） 由繞射峰角度求晶格常數計算工具 晶體結構檢視器 XRD解析工作台

術語 米勒指數 面心立方晶格 體心立方晶格

出處: Callister 第10版 第3章; Cullity 第3版 第2章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

三軸互相垂直的晶格（立方、正方、斜方）用上式，六方晶（a 軸夾 120°，c 軸垂直）用下式。單斜晶、三斜晶需要含軸間角的一般式（倒晶格的度量）。六方公式中的 h、k、l 是4指數 (hkil) 去掉 i 之後的3個。

常見錯誤

把六方晶4指數 (10−11) 的 i 代入公式（i 由 h、k 決定）。把六方晶套用 1/d² = (h² + k² + l²)/a² 的形式。正方晶中把 a 與 c 對調。

範例

正方晶 β-Sn（a = 0.58318 nm，c = 0.31818 nm）的 (101)：由 1/d² = 1/a² + 1/c² 得 d = 0.2793 nm。六方晶 Mg（a = 0.32094 nm，c = 0.52107 nm）的 (101)（4指數為 (10−11)）：由 1/d² = 4/(3a²) + 1/c² 得 d = 0.2452 nm。

計算工具 XRD解析工作台 晶體結構檢視器

術語 六方最密堆積結構 米勒指數

出處: Cullity 第3版 第2章; Callister 第10版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

晶面散射的波互相加強的條件（運動學繞射）。若不滿足 λ ≤ 2d 就不會出現反射。此式只決定繞射峰的位置，強度由結構因子與 LP 因子決定。

常見錯誤

混淆 θ 與 2θ（儀器輸出的是 2θ）。度與弧度。混淆 Kα1 與 Kα 的平均波長。把繞射峰指定給因消光規則而不出現的 (hkl)。

範例

以 Cu Kα1（λ = 0.15406 nm）量測 Cu 的 (111)（d = 0.2087 nm）：sinθ = λ/(2d) = 0.3691，θ = 21.66°，繞射峰位置 2θ = 43.32°。

計算練習 繞射角 2θ（布拉格定律） 由繞射峰角度求晶格常數計算工具 XRD解析工作台

術語 布拉格定律 XRD（X光繞射） 消光規則

出處: Cullity 第3版 第3章; Callister 第10版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

無缺陷晶體的密度。實際材料會因空位、氣孔、雜質而略有不同。化合物的 n 取化學式單位的數目，M 取式量（NaCl 型：4 組 Na⁺ 與 Cl⁻）。

常見錯誤

a 以 nm 直接取3次方（以 g/cm³ 表示時，nm → cm 要 × 10⁻⁷）。以 g/mol 的 M 搭配 m³（要得到 kg/m³，M 須用 kg/mol）。混淆 BCC 與 FCC 的 n。

範例

BCC 的 Fe（n = 2，M = 55.845 g/mol，a = 0.28665 nm = 0.28665×10⁻⁷ cm）：V_c = a³ = 2.355 × 10⁻²³ cm³，ρ = 2 × 55.845/(6.02214 × 10²³ × 2.355 × 10⁻²³) = 7.874 g/cm³（手冊值 7.87 g/cm³）。

計算練習 理論密度（立方晶金屬）計算工具 材料用週期表 晶體結構檢視器

術語 體心立方晶格 面心立方晶格

出處: Callister 第10版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：c/a

適用條件與範圍

剛體球相接觸的方向：SC 為稜邊，BCC 為體對角線，FCC 為面對角線，HCP 為底面內。「半徑」會隨鍵結性質而變（金屬鍵半徑是配位數 12 的值）。

常見錯誤

混淆半徑與直徑（√3a = 4r 的 4r 是直徑的2倍）。把 BCC 與 FCC 的式子對調。

範例

BCC 的 Fe（a = 0.28665 nm）：r = √3a/4 = 0.1241 nm。FCC 的 Cu（a = 0.36146 nm）：r = √2a/4 = 0.1278 nm。

計算練習 晶格常數與原子半徑計算工具 晶體結構檢視器

術語 原子堆積因子 體心立方晶格 面心立方晶格 六方最密堆積結構

出處: Callister 第10版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

剛體球模型。金屬：SC 0.524、BCC 0.680、FCC 與 HCP 0.740、鑽石 0.340。離子晶體由陽離子與陰離子相接觸的方向（NaCl 型為稜邊，CsCl 型為體對角線）決定 a。

常見錯誤

在離子晶體中假設陰離子彼此相接觸來決定 a（僅在半徑比小時正確）。把 NaCl 型的 n 算成 1 組（應為 4 組）。

範例

BCC：2 × (4/3)π(√3a/4)³/a³ = √3π/8 = 0.6802，FCC：π/(3√2) = 0.7405。NaCl 型（Na⁺ 0.102 nm，Cl⁻ 0.181 nm，陽離子與陰離子在稜邊上相接觸）：a = 2(r₊ + r₋) = 0.5660 nm，堆積因子 = 4 × (4/3)π(r₊³ + r₋³)/a³ = 0.646。

計算練習 離子晶體的堆積因子計算工具 晶體結構檢視器

術語 原子堆積因子

出處: Callister 第10版 第3章; Callister 第10版 第12章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

只計算中心位於面（線）上的原子。以單位晶胞的截面計算時，角與邊上的原子按落在截面內的比例相加。滑移面是面密度最大的面，滑移方向是線密度最大的方向（FCC：{111}⟨110⟩，BCC：{110}⟨111⟩）。

常見錯誤

連只是稍微穿過晶面的原子也算進去。對任何晶面都用單位晶胞的面積 a²（(110) 為 √2a²，(111) 的三角形為 (√3/2)a²）。

範例

FCC 的 Al（a = 0.40496 nm）的 (111)：單位晶胞的截面是邊長 √2a 的正三角形（面積 (√3/2)a² = 0.1420 nm²），原子為 3 × 1/6 + 3 × 1/2 = 2 個。PD = 14.08 nm⁻²。[110] 的線密度為 2/(√2a) = 3.492 nm⁻¹。

計算練習 面密度（BCC、FCC）計算工具 晶體結構檢視器

術語 米勒指數 原子堆積因子

出處: Callister 第10版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

以六角柱（原始晶胞的3倍）計算：角 12 × 1/6、上下面 2 × 1/2、內部 3，共 6 個。原始晶胞（平行六面體，(√3/2)a²c）則為 2 個。可直接代入理論密度的公式。理想的 c/a 為 √(8/3) = 1.633（Mg 1.624、Zn 1.856、Ti 1.587）。

常見錯誤

把六角柱的體積配上 2 個原子，或把平行六面體配上 6 個原子（兩者的密度都會差3倍）。

範例

Mg（a = 0.32094 nm，c = 0.52107 nm）：c/a = 1.624（接近理想值 1.633）。六角柱的體積 (3√3/2)a²c = 1.394 × 10⁻²² cm³ 中有 6 個原子，由 M = 24.305 g/mol 得 ρ = 1.737 g/cm³（手冊值 1.74 g/cm³）。

計算工具 晶體結構檢視器 材料用週期表

術語 六方最密堆積結構

出處: Callister 第10版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：r/R, r/R, r/R

適用條件與範圍

最密堆積（FCC、HCP）的八面體、四面體間隙，以及簡單立方中心的間隙。在離子晶體中，這是陽離子在保持與陰離子接觸下放入的半徑比下限，可作為配位數的參考（0.225〜0.414 為4配位，0.414〜0.732 為6配位，0.732 以上為8配位）。BCC 的間隙形狀是扭曲的，八面體 0.155、四面體 0.291。

常見錯誤

BCC 的八面體間隙也用 FCC 的 0.414。半徑比規則只是參考，對共價性強的化合物不成立。

範例

γ-Fe（FCC，a ≈ 0.3647 nm）：R = √2a/4 = 0.1289 nm，可放入八面體間隙的球為 r = (√2 − 1)R = 0.0534 nm。碳原子（半徑約 0.071 nm）比它大，因此會把周圍的晶格撐開而進入。

計算工具 晶體結構檢視器

術語 面心立方晶格

出處: Callister 第10版 第12章; Askeland 第7版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

粉末（無優選方位）、足夠厚的試樣在 Bragg–Brentano 配置下，不考慮吸收與消光效應的運動學強度。LP 因子 (1 + cos²2θ)/(sin²θ cosθ) 是偏極化因子與勞倫茲因子（有單色器時形式會改變）。乘上溫度因子 exp(−2B sin²θ/λ²) 後高角會變弱。消光規則：BCC 在 h + k + l 為奇數時，FCC 在 h、k、l 奇偶混合時 F = 0。

常見錯誤

不用 |F|² 而用 F 比較強度。沒有乘上多重度。把相同 d 的反射（BCC 的 (411) 與 (330) 等）分開計算。

範例

FCC 的 (hkl) 全為偶數或全為奇數時 F = 4f，混合時為 0。以 Cu Kα1 量測 Al：(111) 為 2θ = 38.47°，f = 8.96，F = 35.8，LP = 15.7，多重度 8。(200) 為 2θ = 44.72°，f = 8.51，F = 34.0，LP = 11.2，多重度 6。強度比 I(200)/I(111) = 0.48（不計溫度因子與異常散射時的值）。

計算工具 XRD解析工作台

術語 消光規則 XRD（X光繞射）

出處: Cullity 第3版 第4章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

峰寬只由微晶尺寸造成時（應變的貢獻以 Williamson–Hall 分離）。適用範圍約到 100 nm（更大時會被儀器寬度掩蓋）。儀器寬度 β_i 若為高斯型以 β² = β_m² − β_i² 扣除，若為勞倫茲型以 β = β_m − β_i 扣除。

常見錯誤

β 直接以度代入（應換成弧度）。把 2θ 的值當作 θ 代入 cos。沒有扣除儀器寬度。得到的是微晶（同調繞射區域）的大小，不一定是晶粒的大小。

範例

Cu Kα1，2θ = 44.5°，量得的半高寬 0.55°，儀器寬度 0.08°（以高斯型 β = √(0.55² − 0.08²) = 0.5442° = 0.009497 rad），K = 0.9：D = 0.9 × 0.15406/(0.009497 × cos 22.25°) = 15.8 nm。

計算工具 XRD解析工作台

術語 謝樂公式 XRD（X光繞射）

出處: Cullity 第3版 第5章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

假設尺寸造成的展寬（1/cosθ）與應變造成的展寬（tanθ）都是勞倫茲型並單純相加的形式。以 β cosθ 對 4 sinθ 作圖，由截距求 D，由斜率求 ε。彈性異向性強的材料，點會分散（改用修正 W–H 法）。

常見錯誤

橫軸取 sinθ 而忘了把斜率除以 4（4ε 與 ε）。截距為負或接近 0 時仍算出 D（尺寸造成的展寬並未量到）。

範例

以XRD解析工作台範例中 Ni 的5個峰（2θ = 44.5°〜98.4°，儀器寬度 0.08° 以高斯型扣除），以縱軸 β cosθ、橫軸 4 sinθ 用最小平方法求直線，得截距 6.924 × 10⁻³ rad，斜率 ε = 1.50 × 10⁻³（= 0.150 %）。D = Kλ/截距 = 0.9 × 0.15406/6.924 × 10⁻³ = 20.0 nm。

計算工具 XRD解析工作台

術語 謝樂公式

出處: Williamson & Hall 1953; Cullity 第3版 第5章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

將布拉格定律微分所得的近似，適用於 Δd/d 小的時候。均勻應變（殘留應力、固溶、熱膨脹）改變峰的位置，不均勻應變改變峰寬。相同的 Δd/d 在越高角移動越多，因此精密的晶格常數以高角的峰量測。

常見錯誤

符號：晶格伸長時 2θ 變小。結果為弧度，要換成度（× 180/π）。把 2θ 代入 θ。試樣高度的偏差（零點）也會使峰移動。

範例

Cu 的 (111)（2θ = 43.32°，θ = 21.66°）在晶格伸長 0.1 % 時（Δd/d = 1.0 × 10⁻³）：Δ(2θ) ≈ −2 × 1.0 × 10⁻³ × tan 21.66° = −7.94 × 10⁻⁴ rad = −0.0455°（往低角移動）。

計算工具 XRD解析工作台

術語 布拉格定律

出處: Cullity 第3版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

相同晶體結構之連續固溶體的經驗法則。許多合金會有偏差（向上或向下彎曲），精密決定組成時要使用各系統實測的關係。x 是莫耳分率，不是 wt%。

常見錯誤

x 使用 wt%。使用結構不同之相的晶格常數。

範例

Si（a = 0.54306 nm）與 Ge（a = 0.56574 nm）的固溶體量得 a = 0.5500 nm：x_Ge = (0.5500 − 0.54306)/(0.56574 − 0.54306) = 0.306。Si–Ge 相對於Vegard定律略向下偏離，因此精密的組成要使用修正式。

計算工具 XRD解析工作台

術語 固溶強化

出處: Cullity 第3版 第13章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

僅適用於平衡狀態。金屬、陶瓷的相圖通常是壓力一定，因此使用 +1 的形式。相的量不算在自由度內。

常見錯誤

把組織（波來鐵等）當作相來計算。在壓力一定的圖使用 +2。套用到非平衡的組織（麻田散鐵）。

範例

Pb–Sn 的共晶點（壓力一定，C = 2，相為 α、β、液相，P = 3）：F = 2 − 3 + 1 = 0，溫度與3相的組成都被決定（183 ℃）。在2相區 F = 1（決定溫度後兩相的組成也被決定）。水的三相點（壓力也是變數，C = 1，P = 3）：F = 1 − 3 + 2 = 0。

計算工具 二元系相圖實驗室

術語 吉布斯相律 共晶反應

出處: Callister 第10版 第9章; Porter 第3版 第1章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

在2相區內、處於平衡時。以 wt% 代入得到質量分率，以 at% 代入得到莫耳分率。要換成體積分率，需以各相的密度重新換算。共晶組織、初析相的比例，也以三相線正上方或正下方的槓桿法則求得。

常見錯誤

分子使用「所求之相那一側」的長度（應使用另一側的長度）。混用 wt% 與 at%。不用連結線的端點，而把合金的組成當作相的組成。

範例

Cu–Ni 合金 35 wt% Ni 保持在 1250 ℃（連結線的兩端 C_L = 31.5 wt%，C_α = 42.5 wt%）：W_L = (42.5 − 35)/(42.5 − 31.5) = 0.682，W_α = 0.318。

計算練習 槓桿法則（相的質量分率）計算工具 二元系相圖實驗室 鐵–碳相圖

術語 槓桿法則

出處: Callister 第10版 第9章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

在平衡凝固後、共晶溫度的正下方。過共晶時把 α 換成 β、C_α 換成 C_β。共晶組織中也含有 α，因此作為相的 α 量要另外以使用 C_β 的槓桿法則求得。

常見錯誤

混淆組織的比例（初晶與共晶）與相的比例（α 與 β）。凝固快（接近 Scheil）時，即使是平衡下不會出現共晶的組成也會出現共晶。

範例

Pb–40 wt% Sn（亞共晶）冷到 183 ℃的正下方：共晶組織 W_e = (40 − 18.3)/(61.9 − 18.3) = 0.498，初晶 α 為 0.502。以相來計算則 β = (40 − 18.3)/(97.8 − 18.3) = 0.273，α = 0.727（包含共晶組織中的 α）。

計算練習 初晶與共晶組織的比例計算工具 二元系相圖實驗室

術語 共晶反應 槓桿法則

出處: Callister 第10版 第9章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

Fe–Fe₃C 系緩慢冷卻到 727 ℃正下方時。數值為共析點 0.76 wt% C、肥粒鐵的固溶限 0.022 wt%、Fe₃C 6.70 wt%（與本站的相圖、題目相同。依資料也有使用 0.77、6.67 的）。

常見錯誤

混淆初析肥粒鐵的比例，與肥粒鐵整體（含波來鐵中的部分）的比例。亞共析與過共析的公式用反。不能用於淬火等快速冷卻。

範例

0.40 wt% C 的鋼（亞共析）冷到 727 ℃的正下方：波來鐵 W_P = (0.40 − 0.022)/(0.76 − 0.022) = 0.512，初析肥粒鐵 0.488。作為相的肥粒鐵（含波來鐵中的部分）為 (6.70 − 0.40)/(6.70 − 0.022) = 0.943。1.00 wt% C（過共析）的初析雪明碳鐵為 (1.00 − 0.76)/(6.70 − 0.76) = 0.0404。

計算練習 初析肥粒鐵、初析雪明碳鐵的比例計算工具 鐵–碳相圖

術語 共析反應 波來鐵

出處: Callister 第10版 第9章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

2成分時。3成分以上也以相同形式，在分母放入所有成分的和。也可用來確認化合物的組成（Fe₃C 的 6.70 wt% C = 25 at% C 等）。

常見錯誤

把 A 與 B 的原子量對調。直接把 wt% 當作原子數的比。

範例

Pb–Sn 的共晶 61.9 wt% Sn（Pb 207.2、Sn 118.71 g/mol）：x_Sn = (61.9/118.71)/(61.9/118.71 + 38.1/207.2) = 73.9 at%。

計算練習 wt% 與 at% 的換算計算工具 二元系相圖實驗室

出處: Callister 第10版 第4章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

固相中不擴散、液相立即均勻、界面處於局部平衡、k 為定值（固相線與液相線為直線）時。用於估計鑄造的偏析，以及平衡下不會出現的共晶量。k < 1 時，越後面的液相溶質越濃。

常見錯誤

混淆 f_s 與 f_L。把液相線與固相線的比取反作為 k。以為會與平衡的槓桿法則結果相同（平衡時固相內部也是均勻的）。

範例

Al–4 wt% Cu（由相圖的直線得 k = 5.65/33.2 = 0.170）：凝固一半時（f_s = 0.5）界面的固相 C_s = 0.170 × 4 × 0.5^(−0.830) = 1.21 wt%。液相達到共晶組成 33.2 wt% 時的液相比例 f_L = (33.2/4)^(1/(k − 1)) = 0.0781。即使是平衡下不會出現共晶的組成，也約有 7.8 % 以共晶凝固。

計算工具 二元系相圖實驗室

術語 共晶反應

出處: Scheil 1942; Porter 第3版 第4章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

原子隨機混合，且只有混合熱可以 Ωx_A x_B 表示時（正規溶液）。Ω > 2RT 時 ΔG_mix 出現2個谷，分離成2相（離相分解、互溶間隙）。

常見錯誤

把 ln 當成 log₁₀。T 以 ℃代入。漏掉 ΔS_mix 的負號（ΔS_mix 為正）。

範例

理想溶液（Ω = 0），x_B = 0.5，T = 1000 K：ΔG_mix = RT(0.5 ln 0.5 × 2) = −5763 J/mol，ΔS_mix = 5.763 J/(mol·K)。若 Ω = 20 kJ/mol，開始分離成2相的溫度（臨界溫度）為 T_c = Ω/(2R) = 1203 K。

計算工具 二元系相圖實驗室

術語 正規溶液 混合熵 離相分解

出處: Porter 第3版 第1章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

球形的核、界面能為等向、ΔT 小（在熔點附近將 ΔG_v 視為直線）時。異質成核時 ΔG* 會乘上接觸角的函數 S(θ) = (2 + cosθ)(1 − cosθ)²/4 而變小。

常見錯誤

符號約定的不同（Callister 將 ΔH_f 取為負，r* = −2γT_m/(ΔH_f ΔT)）。直接使用每 1 mol 的熔解熱（應除以莫耳體積）。混淆 r* 與直徑。

範例

純金（熔解熱 L_v = 1.16 × 10⁹ J/m³，γ = 0.132 J/m²，T_m = 1337 K）過冷 ΔT = 230 K：r* = 2 × 0.132 × 1337/(1.16 × 10⁹ × 230) = 1.32 nm，ΔG* = 9.68 × 10⁻¹⁹ J（與 Callister 第10章例題的數值相同）。

術語 臨界核半徑

出處: Callister 第10版 第10章; Porter 第3版 第4章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：ktⁿ

適用條件與範圍

在一定溫度下，以成核與成長隨機發生的相變（再結晶、波來鐵相變等）。以 log(ln(1/(1 − y))) 對 log t 作圖，斜率為 n。相變的速率常以 1/t₀.₅ 表示。

常見錯誤

認定 k 的單位是 s⁻¹（實際依 n 而定）。直接用於溫度會改變的冷卻過程。

範例

n = 3，相變一半的時間 t₀.₅ = 100 s 時，k = ln 2/t₀.₅³ = 6.93 × 10⁻⁷ s⁻³。在 150 s 時 y = 1 − exp(−k × 150³) = 0.904。

術語 再結晶 波來鐵

出處: Callister 第10版 第10章; Porter 第3版 第5章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：Q/RT

適用條件與範圍

由單一機制（晶格擴散等）主導的溫度範圍。低溫時沿晶界、差排的擴散變得顯著，阿瑞尼斯圖會出現轉折。在跨越鐵磁性 Fe 或相變的範圍，D₀、Q 會改變。

常見錯誤

T 以 ℃代入。Q 以 kJ/mol 直接除以單位為 J/(mol·K) 的 R（差 1000 倍）。混淆 eV/原子 與 kJ/mol（1 eV/原子 = 96.49 kJ/mol）。ln 與 log₁₀ 的斜率不同（若用 log₁₀，斜率為 −Q/(2.303R)）。

範例

γ-Fe 中的碳（D₀ = 2.3 × 10⁻⁵ m²/s，Q = 148 kJ/mol）在 1000 ℃ = 1273.15 K：Q/RT = 13.98，D = 1.95 × 10⁻¹¹ m²/s。反過來由 900 ℃的 5.92 × 10⁻¹² 與 1100 ℃的 5.39 × 10⁻¹¹ m²/s，可由 Q = R ln(D₂/D₁)/(1/T₁ − 1/T₂) 求回 148.0 kJ/mol。換算成每1個原子為 Q/N_A = 1.53 eV。

計算練習 擴散係數（阿瑞尼斯方程式）計算工具 擴散與表面處理模擬器 擴散與表面處理模擬器

術語 擴散係數

出處: Callister 第10版 第5章; Shewmon 第2版 第2章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

濃度分布不隨時間改變的穩態（氫透過薄膜等）。D 與濃度無關時。擴散由濃度高的一側流向低的一側（負號）。

常見錯誤

沒有把 mm 換成 m。直接使用 wt%（應換成單位體積的濃度）。用於非穩態的問題。

範例

700 ℃的鋼板中，距表面 5 mm 處碳為 1.2 kg/m³，10 mm 處為 0.8 kg/m³，D = 3 × 10⁻¹¹ m²/s（穩態）：J = 3 × 10⁻¹¹ × (1.2 − 0.8)/(5 × 10⁻³) = 2.4 × 10⁻⁹ kg/(m²·s)（與 Callister 第5章例題的數值相同）。

計算練習 穩態擴散通量（菲克第一定律）

術語 菲克定律 擴散係數

出處: Callister 第10版 第5章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

濃度隨時間改變時的一般式。解依邊界條件而不同：半無限體且表面濃度一定時為 erfc，表面為一定的量時為高斯分布，擴散偶為 erf，有限厚度的板為傅立葉級數或數值計算。D 隨濃度改變的系統（相互擴散）使用第2行的形式。

常見錯誤

把 D 提到外面的第1行用於 D 變化大的系統。不看邊界條件就選擇解的形式（erfc 與高斯）。

範例

以 D = 1 × 10⁻¹³ m²/s 使間距 L = 50 µm 的濃度峰與谷（樹枝狀晶的枝晶間距等）均勻化，所需時間的大致值為 L²/D = 2.5 × 10⁴ s（約 6.9 h）。由式子的形式可知，距離變2倍時時間變4倍。

計算工具 擴散與表面處理模擬器

術語 菲克定律

出處: Crank 第2版 第2章; Callister 第10版 第5章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：x/(2√(Dt))

適用條件與範圍

半無限體（擴散深度 √(Dt) 遠小於板厚）、D 為定值、表面（或接合面兩側）的濃度一定時。因為是比值的形式，滲碳的濃度直接用 wt% 也可以。

常見錯誤

混淆 erf 與 erfc（= 1 − erf）。漏掉 2√(Dt) 的 2。時間直接以 h 代入。比值的分母用 C_s − C_x。

範例

將碳 0.25 wt% 的鋼在 950 ℃（D = 1.10 × 10⁻¹¹ m²/s，與擴散與表面處理模擬器相同的資料）以表面 1.20 wt% 滲碳，使深度 0.5 mm 處達到 0.80 wt%：由 (0.80 − 0.25)/(1.20 − 0.25) = 0.5789 = 1 − erf z 得 erf z = 0.4211，z = 0.3924，t = x²/(4z²D) = 3.69 × 10⁴ s = 10.2 h。擴散偶在 x = √(Dt) 的位置（z = 0.5），C = (C_A + C_B)/2 − (C_A − C_B)/2 × erf 0.5，是從 C_A 往 C_B 的方向，移動了 C_A 到 C_B 之差的 0.760 倍的值。

計算練習 滲碳深度（誤差函數） 滲碳時間（誤差函數）計算工具 擴散與表面處理模擬器 擴散與表面處理模擬器

術語 滲碳 菲克定律 擴散係數

出處: Callister 第10版 第5章; Crank 第2版 第2章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

在相同的邊界條件（表面濃度等）下，像誤差函數解或高斯解那樣，濃度只由 x/√(Dt) 決定時。要使深度變2倍，時間需要4倍。

常見錯誤

讓深度與時間成正比（漏掉 √）。溫度換算時把 T₁ 與 T₂ 對調（溫度越高時間越短）。

範例

Al 中的 Cu（D₀ = 6.5 × 10⁻⁵ m²/s，Q = 136 kJ/mol）：500 ℃時 D = 4.22 × 10⁻¹⁴，600 ℃時 4.75 × 10⁻¹³ m²/s。要擴散到與 500 ℃、10 h 相同的深度，600 ℃需要 t = 10 h × D₅₀₀/D₆₀₀ = 0.887 h。10 h 的 √(Dt) 在 500 ℃為 39.0 µm。

計算練習 改變溫度時的擴散時間計算工具 擴散與表面處理模擬器 擴散與表面處理模擬器

術語 擴散係數

出處: Callister 第10版 第5章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：x²/(4Dt)

適用條件與範圍

最初薄薄置於表面的量 M 不增也不減（表面無通量），向半無限體擴散時。半導體的驅入擴散、示蹤原子的擴散。若是向兩側擴散的薄膜（無限體中的層），則為 M/(2√(πDt))。

常見錯誤

混淆半無限體與無限體的係數（1/√(πDt) 與 1/(2√(πDt))）。cm 與 m（10¹⁴ cm⁻² = 10¹⁸ m⁻²，cm²/s = 10⁻⁴ m²/s）。

範例

Si 中的硼（D₀ = 0.76 cm²/s，E_a = 3.46 eV）在 1100 ℃（D = 1.52 × 10⁻¹⁷ m²/s）驅入 1 h，劑量 M = 5 × 10¹⁸ m⁻²（5 × 10¹⁴ cm⁻²）：表面濃度 M/√(πDt) = 1.21 × 10²⁵ m⁻³。與基板濃度 10²¹ m⁻³ 相等的深度（接面深度）x_j = √(4Dt ln(C(0)/C_B)) = 1.43 µm。

計算工具 擴散與表面處理模擬器 擴散與表面處理模擬器

術語 菲克定律

出處: Crank 第2版 第3章; Sze 第3版

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

以時間前進差分、空間中心差分求解1維、D 一定的第二定律。r > 1/2 時解會振盪而發散。用於有限厚度的板、表面濃度會改變等沒有解析解的條件。

常見錯誤

把格點分得更細，Δt 卻維持不變（Δx 減半時 Δt 要變 1/4）。

範例

D = 1 × 10⁻¹¹ m²/s，Δx = 10 µm：Δt ≤ Δx²/(2D) = 5.0 s。擴散與表面處理模擬器保留餘裕，以 r = 0.4（Δt = 4.0 s）計算。

計算工具 擴散與表面處理模擬器

術語 菲克定律

出處: Crank 第2版 第8章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：Q_v/kT

適用條件與範圍

熱平衡的空位。省略了形成熵的項 exp(S_v/k)（約 1〜10）的形式。急冷的試樣中會殘留高溫的空位。

常見錯誤

Q_v 以 eV 直接除以單位為 J/K 的 k（應使用 eV/K 的 k）。T 以 ℃代入。ρ 由 g/cm³ 換成 m⁻³ 時的 10⁶。

範例

1000 ℃的 Cu（ρ = 8.4 g/cm³，A = 63.5 g/mol，Q_v = 0.9 eV）：N = N_A ρ/A = 7.97 × 10²⁸ m⁻³，Q_v/kT = 8.203，N_v = 2.2 × 10²⁵ m⁻³（與 Callister 第4章例題的數值相同）。每 3653 個原子中有1個空位。

計算練習 平衡空位濃度

術語 空位

出處: Callister 第10版 第4章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

完全差排的 b 是連接最近鄰原子的晶格平移（FCC a/2⟨110⟩、BCC a/2⟨111⟩、HCP a/3⟨11−20⟩，|b| = a）。部分差排（FCC 的 Shockley 部分差排 a/6⟨112⟩）為 |b| = a/√6。

常見錯誤

漏掉 a/2⟨110⟩ 的 1/2 而得到 √2a。把 BCC 與 FCC 的方向弄錯。

範例

FCC 的 Cu（a = 0.36146 nm）的 a/2⟨110⟩：|b| = a/√2 = 0.2556 nm（與最近鄰原子間距相同）。BCC 的 Fe（a = 0.28665 nm）的 a/2⟨111⟩：|b| = √3a/2 = 0.2482 nm。

計算工具 晶體結構檢視器

術語 布格向量 差排

出處: Hull & Bacon 第5版 第1章; Callister 第10版 第7章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

ASTM E112 的換算。原本的定義為 N = 2^G−1（100 倍影像中每平方英吋的晶粒數）。JIS G 0551（ISO 643）為每 1 mm² m = 8 × 2^G，同一組織的號數約小 0.05。將晶粒大小換成直徑時的換算（d ≈ ℓ̄ 等）依約定而定。

常見錯誤

號數越大晶粒越細。直接使用倍率不是 100 倍之影像的個數（應換算成實際尺寸）。

範例

晶粒度號數 G = 6：100 倍下每平方英吋 2⁵ = 32 個，實際尺寸為 N_A = 15.50 × 32 = 496 mm⁻²。平均截距長度為 ℓ̄ = 0.3200 × 2^(−3) = 40.0 µm。

延伸閱讀 組織圖譜

術語 霍爾-佩奇關係

出處: ASTM E112

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

線彈性（比例限以下）、小應變、截面均一之棒的單軸拉伸、壓縮。降伏之後不能使用。截面會改變的棒，要分區段求出伸長量後相加。

常見錯誤

把直徑當作半徑算面積（寫成 πd² 會大4倍）。混淆 MPa 與 GPa（N/mm² 與 kN/mm²）。在超過降伏應力的負荷下使用此式。

範例

以 σ = 276 MPa 拉伸 Cu 棒（l₀ = 305 mm，E = 110 GPa，彈性範圍）：ε = 276/110000 = 2.51 × 10⁻³，Δl = εl₀ = 0.765 mm。若為直徑 10 mm 的棒，F = σA = 276 × 78.54 = 21.68 kN。

計算練習 彈性變形的伸長量

術語 楊氏模數

出處: Callister 第10版 第6章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

等向且線彈性的範圍。塑性變形時體積幾乎一定，因此表觀的比值趨近 0.5。

常見錯誤

符號（拉伸時直徑縮小）。把直徑的變化當作半徑的變化。

範例

使黃銅圓棒（d₀ = 10 mm，ν = 0.34，E = 97 GPa）直徑縮小 2.5 µm 的負荷：ε_x = −2.5 × 10⁻⁴，ε_z = −ε_x/ν = 7.35 × 10⁻⁴，σ = Eε_z = 71.3 MPa，F = σπd₀²/4 = 5602 N（與 Callister 第6章例題的數值相同）。

計算練習 蒲松比與直徑的變化

術語 楊氏模數

出處: Callister 第10版 第6章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

僅適用於等向材料（獨立的常數為2個）。單晶、纖維強化材料等異向性材料不成立。有熱應變時加上 αΔT。ν → 0.5 時 K → ∞（不可壓縮）。

常見錯誤

套用到異向性的材料（Si 晶圓、CFRP）。實測表中的 G 與 E/(2(1 + ν)) 不一致的材料，是集合組織或量測方法的不同所致。

範例

Al（E = 69 GPa，ν = 0.33）：G = 69/(2 × 1.33) = 25.9 GPa，K = 69/(3 × 0.34) = 67.6 GPa。對鋼板（E = 200 GPa，ν = 0.30）施加 σ_x = σ_y = 100 MPa 的等雙軸應力：ε_x = (100 − 0.30 × 100)/200000 = 3.5 × 10⁻⁴，ε_z = −0.30 × 200/200000 = −3.0 × 10⁻⁴。

計算工具 熱膨脹與熱應力實驗室

術語 楊氏模數

出處: Callister 第10版 第6章; Dowling 第4版 第5章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

右側的形式（1 + ε）假設體積一定，只適用到開始頸縮為止（均勻伸長）。頸縮之後要用實際的最小截面 A_i 以 σ_T = F/A_i 計算（另有 Bridgman 的三軸修正）。

常見錯誤

頸縮之後仍使用 σ(1 + ε)。壓縮時 ε 為負，σ_T 會變小。以 log₁₀ 計算真應變。

範例

工程應力 400 MPa、工程應變 0.20（頸縮前）：σ_T = 400 × 1.20 = 480 MPa，ε_T = ln 1.20 = 0.182。

計算練習 真應力與真應變

術語 加工硬化

出處: Callister 第10版 第6章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

%EL 會隨標距長度而變（頸縮部分所占的比例不同），因此要附上試片的規格（JIS 14A、ASTM 的 50 mm 等）。%RA 與標距長度無關。

常見錯誤

以直徑的比求斷面縮率（面積是直徑的平方）。以最初的截面積計算破斷的真應力。

範例

直徑 12.8 mm 的鋼試片在工程應力 460 MPa 破斷，破斷處的直徑為 10.7 mm：%RA = (128.7 − 89.9)/128.7 × 100 = 30.1 %，破斷時的真應變 ln(A₀/A_f) = 0.358，真破斷應力 = 460 × A₀/A_f = 658 MPa（與 Callister 第6章例題的數值相同）。

計算練習 斷面縮率與真破斷應力

出處: Callister 第10版 第6章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

從降伏到頸縮之間均勻塑性變形的範圍。在雙對數圖中呈直線的範圍決定 n 與 K。由頸縮條件 dσ_T/dε_T = σ_T 得 ε_T = n。

常見錯誤

以工程應力、工程應變擬合。以為 n 會因 log₁₀ 與 ln 而不同（因為是比值，兩者相同）。

範例

K = 1035 MPa 的合金，真應變 0.10 時真應力為 415 MPa：n = ln(415/1035)/ln 0.10 = 0.40。頸縮在 ε_T = n ≈ 0.40 開始。

術語 加工硬化

出處: Callister 第10版 第6章; Dowling 第4版 第15章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

線彈性到降伏為止。彈簧材料選擇 U_r 大（σ_y 高、E 低）的材料。與韌性（到破斷為止的面積）不同。

常見錯誤

忽略 J/m³ 與 MPa 的關係（1 J/m³ = 1 Pa）。與韌性混淆。

範例

σ_y = 350 MPa、E = 207 GPa 的鋼：U_r = (350 × 10⁶)²/(2 × 207 × 10⁹) = 2.96 × 10⁵ J/m³（= 296 kJ/m³）。

術語 0.2%偏位降伏強度 楊氏模數

出處: Callister 第10版 第6章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

晶粒直徑約大於 10 nm 的多晶。比這更細時，有時反而會變弱（逆霍爾-佩奇）。適用於退火材料，且析出、集合組織相同的比較。

常見錯誤

d 以 µm 代入，卻使用單位為 MPa·√m 的 k_y（應換成 m）。對 d 而非 1/√d 作直線。把晶粒度號數與晶粒直徑混淆。

範例

σ₀ = 70 MPa、k_y = 0.74 MPa·√m 的鋼：d = 20 µm 時 σ_y = 70 + 0.74/√(2 × 10⁻⁵) = 235.5 MPa，d = 5 µm 時為 400.9 MPa。晶粒變為 1/4 時，k_y 的項變為2倍。

計算練習 霍爾-佩奇關係延伸閱讀 組織圖譜

術語 霍爾-佩奇關係

出處: Callister 第10版 第7章; Hull & Bacon 第5版 第10章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

單晶的單軸拉伸、壓縮。在多個滑移系統中，cosφ cosλ（Schmid因子，最大 0.5）最大的系統最先滑移。立方晶中角度的 cos 由指數的內積求得：cosφ = (軸·法線)/(|軸||法線|)。

常見錯誤

認為 φ 與 λ 相加為 90°（一般並非如此）。選了滑移方向不在滑移面內的組合。使用 sin。

範例

沿 [010] 以 52 MPa 拉伸 BCC 的 Fe 單晶。滑移系統 (110)[−111]：cosφ = 1/√2 = 0.7071（φ = 45°），cosλ = 1/√3 = 0.5774（λ = 54.7°），τ_R = 52 × 0.7071 × 0.5774 = 21.2 MPa。若臨界分解剪應力為 30 MPa，降伏的拉伸應力為 30/(0.4082) = 73.5 MPa（與 Callister 第7章例題的數值相同）。

計算練習 分解剪應力（Schmid定律）計算工具 晶體結構檢視器

術語 差排

出處: Callister 第10版 第7章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

形狀（截面尺寸的比）可以改變，要使重量最小時。指標依構件的形狀、負荷的施加方式、何者固定而改變。在選材圖中，位於指標一定之直線（斜率 1、2、3）上方的材料為候選。

常見錯誤

對梁使用 E/ρ（梁應為 √E/ρ）。不統一單位就比較不同的指標。

範例

輕而耐彎曲的梁（指標 √E/ρ，E 以 GPa，ρ 以 g/cm³）：Al 合金 √70/2.70 = 3.10，鋼 √210/7.85 = 1.85。相同彎曲剛性下，Al 梁的重量是鋼的 1/1.68。拉伸棒（E/ρ）則幾乎相同（25.9 與 26.8）。

計算工具 選材圖

術語 材料選擇的性能指標 比剛性 材料選擇圖（Ashby圖）

出處: Ashby 第5版 第5章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：a/ρ_t

適用條件與範圍

無限板中的橢圓孔（垂直於長軸方向拉伸），線彈性。銳利的裂縫在 ρ_t → 0 時應力會發散，因此改以 K（應力強度因子）處理。實際零件的 K_t 使用各形狀的線圖。

常見錯誤

內部裂縫把全長代入 a（應為一半）。a 與 ρ_t 的單位沒有統一（mm 與 µm）。

範例

深度 a = 0.5 mm、尖端半徑 ρ_t = 5 µm 的表面裂縫，σ₀ = 100 MPa：a/ρ_t = 100，K_t = 1 + 2√100 = 21.0，σ_max = 2100 MPa（以近似式 2σ₀√(a/ρ_t) 為 2000 MPa）。

計算練習 裂縫尖端的應力集中

術語 應力集中係數 Griffith理論

出處: Callister 第10版 第8章; Anderson 第4版 第2章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

像玻璃那樣完全脆性的材料。金屬的塑性功 γ_p 是 γ_s 的數千倍，因此以把 2γ_s 換成 G_c（破壞韌性）的形式（K_IC 的公式）使用。

常見錯誤

對金屬只用 γ_s 計算（破壞應力會算得太小）。漏掉 2γ_s 的 2。

範例

玻璃板（E = 69 GPa，表面能 γ_s = 0.3 J/m²）受 40 MPa 拉伸：不會破壞的最大表面裂縫 a = 2Eγ_s/(πσ²) = 8.2 µm。

術語 Griffith理論

出處: Callister 第10版 第8章; Anderson 第4版 第2章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

線彈性破壞力學（LEFM）：裂縫尖端的塑性區比裂縫、構件的尺寸小時（小範圍降伏）。破壞應力接近降伏強度時，會先降伏（破壞前降伏）。K_IC 是以平面應變的厚度（E399）量得的值。

常見錯誤

內部裂縫把全長代入 a。a 以 mm 直接放進 √（MPa·√m 要用 m）。認定 Y 為 1。

範例

K_IC = 60 MPa·√m 之鋼板的表面裂縫（Y = 1.12）：在 300 MPa 下破壞的裂縫深度 a_c = (1/π)(60/(1.12 × 300))² = 10.2 mm。有深度 5 mm 的裂縫時，破壞應力 σ_c = 60/(1.12√(π × 0.005)) = 427 MPa。

計算練習 破壞韌性與破壞應力 發生破壞的裂縫大小

術語 應力強度因子 破壞韌性 破壞前降伏

出處: Callister 第10版 第8章; Anderson 第4版 第2章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

線彈性，模式 I。G ≥ G_c 時裂縫前進（將 Griffith 的想法一般化的形式）。多種模式時 G = (K_I² + K_II²)(1 − ν²)/E + K_III²(1 + ν)/E。

常見錯誤

混淆平面應力與平面應變。K 以 MPa·√m 直接代入而弄錯單位（應換成 Pa·√m）。

範例

K_IC = 50 MPa·√m，E = 210 GPa，ν = 0.3（平面應變）：G_IC = K²(1 − ν²)/E = 10.8 kJ/m²。

術語 能量釋放率

出處: Anderson 第4版 第2章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

Irwin 的一階估計（平面應變時約 1/3）。2.5(K_IC/σ_y)² 是 ASTM E399 的有效性條件，比這更薄時會接近平面應力，表觀的韌性會偏大。

常見錯誤

把塑性區的大小當作直徑。把以薄板量得的值稱為 K_IC。

範例

K = 50 MPa·√m，σ_y = 500 MPa：平面應力的塑性區 r_p = (1/2π)(50/500)² = 1.59 mm（平面應變則約 1/3）。要有效量測 K_IC，厚度、裂縫長度須在 2.5(K_IC/σ_y)² = 25.0 mm 以上。

術語 破壞韌性 破壞前降伏

出處: Anderson 第4版 第2章; ASTM E399

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

裂縫成長的第 II 區（高於 ΔK 的門檻值，K_max 遠低於 K_IC）。此形式不含平均應力（R）的影響。Y 隨裂縫長度改變時以數值積分。

常見錯誤

沒有確認 C 的單位（是以 MPa·√m 與 m 決定的嗎）就使用。把 K_max 代入 ΔK。積分時 m = 2 的情形也用同一式計算（會變成對數的形式）。

範例

Δσ = 100 MPa（壓縮側不計），初始表面裂縫 2.0 mm，K_IC = 25 MPa·√m，Y = 1.0，C = 1.0 × 10⁻¹²，m = 3（MPa·√m 與 m 的單位）：最終裂縫 a_c = (1/π)(25/100)² = 19.9 mm，N_f = [a_c^(−1/2) − a₀^(−1/2)]/[C(Δσ√π)³(−1/2)] = 5.48 × 10⁶ 次（與 Callister 第8章例題的條件相同）。

術語 Paris定律 疲勞紋 應力強度因子

出處: Paris & Erdogan 1963; Callister 第10版 第8章; Anderson 第4版 第10章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

沒有平均應力的完全反覆、定振幅、平滑試片。高週期時彈性項、低週期（約少於 10⁴ 次）時塑性項起主導作用。平均應力以 Morrow 等修正，變動負荷則與 Miner法則 組合使用。

常見錯誤

混淆 2N_f（反轉次數）與 N_f（循環次數）。混淆應力振幅與應力範圍（2倍）。

範例

假設常數 σ_f′ = 1000 MPa，b = −0.09，ε_f′ = 0.6，c = −0.6，E = 200 GPa：N_f = 10⁴ 次的應變振幅為 彈性 2.05 × 10⁻³ + 塑性 1.58 × 10⁻³ = 3.63 × 10⁻³。彈性與塑性相等的轉換壽命 N_t = 5968 次。應力振幅 400 MPa（高週期）的壽命以 Basquin 為 N_f = (400/1000)^(1/b)/2 = 1.32 × 10⁴ 次。

術語 疲勞限

出處: Dowling 第4版 第9章; Dowling 第4版 第14章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：σ_a/σ_e, σ_m/σ_u

適用條件與範圍

拉伸平均應力使疲勞強度下降之影響的安全側直線近似。延性材料以 Gerber（拋物線，(σ_m/σ_u)²）較接近實測，以降伏決定時用 Soderberg（把 σ_u 換成 σ_y）。壓縮的平均應力通常不計入。

常見錯誤

把應力範圍代入振幅（應為一半）。混淆 R = −1（完全反覆）與 R = 0（單向反覆）。

範例

疲勞限 σ_e = 300 MPa（完全反覆），抗拉強度 σ_u = 800 MPa，平均應力 200 MPa：容許的應力振幅 σ_a = 300(1 − 200/800) = 225 MPa。σ_max = 200 + 225 = 425 MPa，σ_min = −25 MPa，R = −0.059。

術語 修正古德曼線圖 疲勞限

出處: Dowling 第4版 第10章; Callister 第10版 第8章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

忽略順序影響的近似。先施加高應力時容易在 D < 1 時破壞，先施加低應力時有時會 D > 1。設計上也有將 D 控制在 0.3〜0.5 左右的做法。

常見錯誤

不計入低於疲勞限之應力的次數、認定 N_i 為無限大（裂縫成長後，低於疲勞限也會造成損傷）。

範例

在壽命 10⁵ 次的應力下 2 × 10⁴ 次（0.2），在壽命 10⁶ 次的應力下 3 × 10⁵ 次（0.3）：損傷 D = 0.50。剩下的部分若以壽命 10⁷ 次的應力使用，還有 (1 − 0.50) × 10⁷ = 5.0 × 10⁶ 次。

術語 Miner法則

出處: Dowling 第4版 第9章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

從最弱處破壞（最弱環節）的脆性材料。此為體積內均勻拉伸的形式，彎曲等應力不均勻時使用有效體積。m 是 ln ln(1/(1 − P_f)) 對 ln σ 之直線的斜率。

常見錯誤

把彎曲試驗的強度直接用於拉伸的零件（有效體積不同）。混淆 P_f 與存活機率 P_s = 1 − P_f。

範例

韋伯模數 m = 10、σ₀ = 300 MPa（體積 V₀ 的試片）的陶瓷在 200 MPa 下：P_f = 1 − exp[−(200/300)¹⁰] = 0.0172。體積為10倍的零件，達到相同破壞機率的應力降為 (1/10)^(1/10) = 0.794 倍。

術語 韋伯模數

出處: Weibull 1951; Callister 第10版 第12章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

α 在該溫度範圍內可視為一定時（範圍寬時對 α(T) 積分）。體積的 3α 只適用於等向材料（異向性晶體、纖維強化材料依方向而異）。

常見錯誤

漏掉 10⁻⁶ K⁻¹ 的 10⁻⁶。乘上絕對溫度而不是溫度差。℃的差與 K 的差相同（ΔT 用哪一種寫都可以）。

範例

黃銅線（α = 20 × 10⁻⁶ K⁻¹）15 m 由 40 ℃降到 −9 ℃：ΔL = 20 × 10⁻⁶ × 15 × (−49) = −1.47 × 10⁻² m = −14.7 mm（收縮）。體積以 3α 減少 0.29 %。

計算練習 熱膨脹造成的伸長計算工具 熱膨脹與熱應力實驗室

術語 線膨脹係數 因瓦合金

出處: Callister 第10版 第19章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

完全拘束（伸長為 0）、線彈性的範圍。加熱時為壓縮，冷卻時為拉伸。部分拘束，或溫度隨位置而異時，使用熱膨脹與熱應力實驗室的公式。

常見錯誤

弄錯符號。對板（雙軸）使用單軸的公式。直接使用超過降伏的值。

範例

兩端固定的黃銅棒（E = 100 GPa，α = 20 × 10⁻⁶ K⁻¹）由 20 ℃加熱：使壓縮應力不超過 172 MPa 的最高溫度為 ΔT = 172/(100000 × 20 × 10⁻⁶) = 86.0 K，T = 106 ℃。若是雙軸拘束的板（ν = 0.35），相同 ΔT 下應力為 1/(1 − ν) = 1.54 倍。

計算練習 受拘束棒的熱應力計算工具 熱膨脹與熱應力實驗室

術語 熱應力 線膨脹係數

出處: Callister 第10版 第19章; Timoshenko & Goodier 第3版 第13章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

膜遠比基板薄（基板不變形）、膜在面內等向、線彈性。以成膜溫度作為無應力溫度（成膜中的本質應力另外相加）。

常見錯誤

(α_f − α_s) 與 (α_s − α_f) 的順序。漏掉 1 − ν（單軸的公式）。忽略單晶基板、膜的異向性。

範例

Si 基板（α_s = 2.6 × 10⁻⁶ K⁻¹）上的 Al 膜（E_f = 70 GPa，ν_f = 0.33，α_f = 23.1 × 10⁻⁶ K⁻¹），以 400 ℃為無應力，冷卻到 25 ℃：σ_f = (70000/0.67) × (2.6 − 23.1) × 10⁻⁶ × (−375) = 803 MPa（拉伸）。實際上 Al 會降伏，因此不會上升到這個彈性的值。

計算練習 薄膜的熱應力（等雙軸）計算工具 熱膨脹與熱應力實驗室

術語 熱應力

出處: Timoshenko & Goodier 第3版 第13章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

t_f ≪ t_s、撓曲比基板厚度小、基板為等向（Si(100) 使用雙軸模數 180 GPa）。不需要膜的彈性常數。

常見錯誤

對調 t_s 與 t_f（t_s 是平方）。沒有扣除成膜前的曲率。混淆直徑與半徑（曲率半徑）。

範例

在 (100) Si 晶圓（雙軸模數 E_s/(1 − ν_s) = 180 GPa，厚度 0.525 mm）上鍍 1 µm 的膜後，曲率半徑變為 50 m：σ_f = 180 × 10⁹ × (0.525 × 10⁻³)²/(6 × 10⁻⁶ × 50) = 165 MPa。

計算工具 熱膨脹與熱應力實驗室

術語 熱應力

出處: Stoney 1909

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

兩端相連的並聯2根棒（無外力）、溫度均一、線彈性、無彎曲。也受到外部負荷時，把力平衡式的右邊換成該負荷。

常見錯誤

只用其中一根完全拘束時的值（EαΔT）了事。忽略截面積的不同。

範例

相同截面（100 mm²）的鋼（E = 200 GPa，α = 12 × 10⁻⁶）與 Al（70 GPa，23 × 10⁻⁶）棒兩端相連，加熱 100 K：鋼的應力 σ₁ = −(12 − 23) × 10⁻⁶ × 100/(1/200000 + 1/70000) = 57.0 MPa（拉伸），Al 的應力 σ₂ = −57.0 MPa（壓縮）。

計算練習 組合棒（雙金屬）的熱應力計算工具 熱膨脹與熱應力實驗室

術語 熱應力 線膨脹係數

出處: Timoshenko & Goodier 第3版 第13章; Callister 第10版 第19章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

2層的梁、寬度方向無拘束（平面應力的梁）、線彈性、溫度均一。作為板而寬度也很寬時，把 E 換成 E/(1 − ν)。

常見錯誤

弄錯膨脹大的層那一側凸起的方向。把 h 當作其中一層的厚度。

範例

各厚 0.5 mm、楊氏模數相等的2層，膨脹係數差 18 × 10⁻⁶ K⁻¹，加熱 50 K（Δε = 9.0 × 10⁻⁴）：m = n = 1，κ = 3Δε/(2h) = 1.35 m⁻¹（曲率半徑 0.741 m）。

計算工具 熱膨脹與熱應力實驗室

術語 熱應力

出處: Timoshenko 1925

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

脆性材料的板從表面急速冷卻（或加熱）時，開始破裂的條件。β 越大（急冷、厚、熱傳導低）越接近 R。強度的分散、裂縫的成長方式（R‴ 等）另外考慮。

常見錯誤

a 代入整個板厚（應為一半）。漏掉 α 的 10⁻⁶。忘了加熱與冷卻時表面應力的方向相反。

範例

氧化鋁（熱膨脹與熱應力實驗室的資料：σ_f = 310 MPa，ν = 0.23，E = 360 GPa，α = 7.2 × 10⁻⁶ K⁻¹，κ = 29 W/(m·K)）：R = 92.1 K，R′ = κR = 2671 W/m。厚度 10 mm 的板（a = 5 mm）以水冷卻（h ≈ 10⁴ W/(m²·K)）：β = ah/κ = 1.72，破裂的溫度差 ΔT_c ≈ R × (1.5 + 3.25/β − 0.5e^(−16/β)) = 312 K。

計算工具 熱膨脹與熱應力實驗室

術語 熱應力

出處: Kingery 第2版 第16章; Manson 1966

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

穩態且 κ 與溫度無關時。疊合的板把熱阻 L/κ 相加。有表面熱傳（對流）時也加上 1/h。

常見錯誤

厚度以 mm 直接代入。混淆熱導率與熱擴散率。

範例

鋼板（κ = 50 W/(m·K)），厚度 10 mm，兩面溫度差 100 K（穩態）：q = 50 × 100/0.010 = 5.0 × 10⁵ W/m²。

計算練習 通過板的熱通量

術語 聲子

出處: Callister 第10版 第19章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

決定非穩態熱傳導快慢的量，式子與擴散的 D 形式相同（erfc 解等可直接使用）。以雷射閃光法量測 a，再以 κ = aρc_p 求熱導率。

常見錯誤

c_p 以 J/(mol·K) 直接使用（應換成每單位質量）。ρ 以 g/cm³ 直接使用。

範例

Cu（κ = 398 W/(m·K)，ρ = 8960 kg/m³，c_p = 385 J/(kg·K)）：a = 1.15 × 10⁻⁴ m²/s。1 s 內熱傳到的大致距離 √(at) = 10.7 mm。

術語 熱擴散率

出處: Callister 第10版 第19章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

元素固體每 1 mol（原子）。化合物要乘上化學式中的原子數。金屬在低溫時會加上電子比熱（與 T 成正比）。固體的 C_p 與 C_v 差異很小。

常見錯誤

混淆每莫耳與每單位質量。化合物忘了乘上原子數。

範例

Al（德拜溫度 θ_D = 428 K）：20 K 時 C_v = (12π⁴/5)R(20/428)³ = 0.198 J/(mol·K)。室溫附近的上限 3R = 24.94 J/(mol·K)，每單位質量為 3R/M = 924 J/(kg·K)（實測的 c_p 為 897 J/(kg·K)）。

術語 Dulong-Petit定律 德拜溫度 聲子

出處: Kittel 第8版 第5章; Callister 第10版 第19章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

金屬中電子的傳導，在室溫以上與極低溫下很吻合（中間溫度因非彈性散射而變小）。不包含晶格（聲子）的熱傳導，因此合金、半導體為 κ = κ_e + κ_ph。

常見錯誤

混淆電阻率 ρ 與電導率 σ。套用到絕緣體、陶瓷。

範例

Cu（σ = 5.96 × 10⁷ S/m，293 K）：κ_e = L₀σT = 2.443 × 10⁻⁸ × 5.96 × 10⁷ × 293 = 427 W/(m·K)（實測 401 W/(m·K)）。

術語 Wiedemann-Franz定律

出處: Kittel 第8版 第6章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

厚壁圓筒、平面應力、線彈性、在整個配合長度上壓力均一。降伏時壓力會下降。輪轂內表面的環向應力最大。

常見錯誤

把半徑的干涉量代入直徑的公式（差2倍）。內側構件項中 ν 的符號（− ν_i）。

範例

將鋼的輪轂（外徑 100 mm）以直徑干涉量 0.05 mm 熱套到直徑 50 mm 的鋼軸（E = 200 GPa，ν = 0.3）：p = 75.0 MPa，輪轂內表面的環向應力 p(D² + d²)/(D² − d²) = 125 MPa（拉伸）。要預留 0.02 mm 的間隙裝入，需將輪轂加熱 ΔT = (0.05 + 0.02)/(12 × 10⁻⁶ × 50) = 117 K。

計算工具 熱膨脹與熱應力實驗室

術語 線膨脹係數

出處: Timoshenko & Goodier 第3版 第4章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

連續的纖維排列整齊，纖維與基材為相同應變（接著良好）時。彈性模數的上限（Voigt）。以體積分率代入（質量分率要先換成體積分率）。孔隙視為剛性為 0 的相算入 V。

常見錯誤

直接代入質量分率。也用於垂直纖維的方向（應用下一個逆混合法則）。混淆負荷的比與負荷的比例（F_f/(F_f + F_m)）。

範例

玻璃纖維 40 vol%（E_f = 69 GPa）與聚酯（E_m = 3.4 GPa）的單向材（與 Callister 第16章例題的數值相同）：E_cl = 0.40 × 69 + 0.60 × 3.4 = 29.6 GPa。負荷的分擔 F_f/F_m = (0.40 × 69)/(0.60 × 3.4) = 13.5（纖維承受整體的 93.1 %）。

計算練習 混合法則（纖維方向的楊氏模數） 纖維與基材的負荷分擔計算工具 複合材料設計工具

術語 混合法則 GFRP（玻璃纖維強化塑膠）

出處: Callister 第10版 第16章; Hull & Clyne 第2版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

視纖維與基材承受相同應力的彈性模數下限（Reuss）。實際的橫向模數比這略大，以 Halpin–Tsai 公式較吻合。碳纖維徑向的彈性模數遠小於纖維方向（T300 約 15 GPa），因此 E_f 使用徑向的值。

常見錯誤

忘了取倒數（停在 V_f/E_f + V_m/E_m）。碳纖維的 E_f 代入纖維方向的值。

範例

同樣的玻璃 40 vol%/聚酯，垂直纖維的方向：1/E_ct = 0.40/69 + 0.60/3.4 → E_ct = 5.49 GPa（纖維方向的 19 %）。

計算練習 逆混合法則（垂直纖維方向）計算工具 複合材料設計工具

術語 混合法則

出處: Callister 第10版 第16章; Hull & Clyne 第2版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

單向材的橫向模數 E₂ 與面內剪切模數 G₁₂ 的實用近似。ξ = 0 時為逆混合法則，ξ → ∞ 時為混合法則。V_f 超過 0.6 時有時會比實測偏小。

常見錯誤

沒有依性質改變 ξ（E₂ 與 G₁₂ 不同）。G₁₂ 的 P_m 代入 E_m（G_m = E_m/[2(1 + ν_m)]）。

範例

同樣的玻璃 40 vol%/聚酯的橫向模數，取 ξ = 2：η = (69/3.4 − 1)/(69/3.4 + 2) = 0.8654，E₂ = 3.4 × (1 + 2 × 0.8654 × 0.40)/(1 − 0.8654 × 0.40) = 8.80 GPa（比逆混合法則的 5.49 GPa 大）。

計算工具 複合材料設計工具

術語 混合法則

出處: Halpin & Kardos 1976; Jones 第2版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

沒有孔隙時。若有孔隙的體積分率 V_v，則 V_f + V_m + V_v = 1，由實測的密度與燃燒法等求得的質量分率求出 V_v。密度的單位因為取比值，直接用 g/cm³ 也可以。

常見錯誤

把質量分率當作體積分率代入混合法則。用 1 − V_f 代替 w_m = 1 − w_f。

範例

碳纖維（ρ_f = 1.76 g/cm³）65 wt% 的環氧樹脂（ρ_m = 1.20 g/cm³）：V_f = (0.65/1.76)/(0.65/1.76 + 0.35/1.20) = 0.3693/(0.3693 + 0.2917) = 0.559。ρ_c = 0.559 × 1.76 + 0.441 × 1.20 = 1.51 g/cm³。

計算練習 混合法則（纖維方向的楊氏模數）計算工具 複合材料設計工具

術語 CFRP（碳纖維強化塑膠） 混合法則

出處: Hull & Clyne 第2版 第1章; Callister 第10版 第16章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

連續纖維，且纖維的破斷應變比基材小（碳纖維、玻璃纖維/環氧樹脂）時。由於纖維強度的分散（韋伯）與纖維方向的偏差，實測值多為 7〜9 成。基材先破裂的組合（陶瓷基）使用別的公式。

常見錯誤

σ_m′ 代入基材的抗拉強度 σ_m*。也用於垂直纖維方向的強度（垂直方向由基材與界面決定）。

範例

T300 碳纖維（σ_f* = 3530 MPa，E_f = 230 GPa）與 8552 環氧樹脂（E_m = 4.67 GPa，σ_m* = 121 MPa，破斷應變 1.7 %），V_f = 0.60（複合材料設計工具的值）：纖維的破斷應變 3530/230000 = 1.53 % 比基材小，因此纖維先斷裂。σ_m′ = 4670 × 0.0153 = 71.7 MPa，σ_cl* = 0.60 × 3530 + 0.40 × 71.7 = 2147 MPa。V_min = 1.4 × 10⁻²，因此在一般的體積分率下由纖維決定強度。

計算工具 複合材料設計工具

術語 CFRP（碳纖維強化塑膠） 混合法則

出處: Callister 第10版 第16章; Hull & Clyne 第2版 第8章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

纖維沿負荷方向排列，視界面剪切應力從纖維端部起為一定（剛塑性）時。纖維方向雜亂時乘上配向效率（Krenchel，2維隨機為 3/8）。l 約為 l_c 的 15 倍時接近連續纖維。

常見錯誤

d 代入半徑（差 2 倍）。混用 µm 與 mm。l < l_c 卻使用上面的公式。

範例

碳纖維（σ_f* = 3500 MPa，d = 7 µm），界面剪切強度 τ_c = 40 MPa：l_c = 3500 × 0.007/(2 × 40) = 0.306 mm。長度 3 mm 的纖維以 30 vol% 排列整齊，σ_m′ = 50 MPa 時 σ_cd* = 0.30 × 3500 × (1 − 0.306/6) + 0.70 × 50 = 1031 MPa。長度 0.2 mm（l < l_c）時為 0.30 × 40 × 0.2/0.007 + 35 = 378 MPa。

計算工具 複合材料設計工具

術語 臨界纖維長度

出處: Kelly & Tyson 1965; Callister 第10版 第16章; Hull & Clyne 第2版 第7章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

等向的纖維與基材（玻璃、玄武岩）。碳纖維、芳香族聚醯胺纖維在徑向與軸向的 α 不同，因此把 α₂ 中的 (1 + ν_f)α_f 換成 α_f2 + ν_f α_f1（複合材料設計工具採用此形式）。α₁ 受剛性高的纖維牽制，比體積分率的單純平均小得多。

常見錯誤

把 α₁ 當作體積分率的單純平均。忘了碳纖維的 α 為負（軸向）。

範例

E 玻璃（E_f = 72.3 GPa，α_f = 5.4 × 10⁻⁶ K⁻¹，ν_f = 0.2）與環氧樹脂（2.73 GPa，83.4 × 10⁻⁶ K⁻¹，ν_m = 0.35），V_f = 0.60（複合材料設計工具的值）：α₁ = (72.3 × 5.4 × 0.6 + 2.73 × 83.4 × 0.4)/(72.3 × 0.6 + 2.73 × 0.4) = 7.32 × 10⁻⁶ K⁻¹（單純平均則為 36.6 × 10⁻⁶）。ν₁₂ = 0.260，α₂ = 47.0 × 10⁻⁶ K⁻¹。

計算工具 複合材料設計工具

術語 線膨脹係數 混合法則

出處: Schapery 1968; Jones 第2版 第3章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

將單向材的1片層（平面應力、正交異向性）沿與纖維夾 θ 的方向單軸拉伸時。疊層板的剛性以疊合各層的古典疊層理論（A 矩陣）求得。由於 G₁₂ 項的關係，G₁₂ 小於約 E₂/2 的材料，在 45° 與 90° 之間會比 E₂ 還小（範例中的材料在任何角度都不小於 E₂）。

常見錯誤

用 cos²θ 轉換 E（需要4次方與剪切項）。忘了取 1/E_x 的倒數。混淆度與弧度。

範例

T300/5208 的單層（E₁ = 181 GPa，E₂ = 10.3 GPa，G₁₂ = 7.17 GPa，ν₁₂ = 0.28，複合材料設計工具的值）：θ = 30° 時 E_x = 28.8 GPa，45° 時 16.7 GPa。僅偏離 30° 就變為纖維方向的 1/6.3。

計算工具 複合材料設計工具

術語 準等向性疊層 CFRP（碳纖維強化塑膠）

出處: Jones 第2版 第2章; Hull & Clyne 第2版 第5章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

單向材層的面內應力（平面應力）。拉伸與壓縮強度不同的材料，依應力的正負選擇 X、Y。在應力比不變下增大負荷時，強度比 R 為左邊平方根的倒數。

常見錯誤

直接代入整體座標的應力（σ_x）（應轉換到層的主軸）。把強度比當作左邊的倒數（需要平方根）。

範例

T300/5208（X = 1500，Y = 40，S = 68 MPa）沿與纖維夾 30° 的方向以 100 MPa 拉伸：σ₁ = 75.0，σ₂ = 25.0，τ₁₂ = −43.3 MPa。左邊 = 0.798，不超過 1，因此不會破壞。強度比 R = 1/√0.798 = 1.12（30° 方向的強度為 112 MPa）。

計算工具 複合材料設計工具

術語 CFRP（碳纖維強化塑膠） 層間剝離

出處: Jones 第2版 第2章; Hull & Clyne 第2版 第8章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

金屬在室溫附近（約 −50〜150 ℃），電阻率隨溫度成比例變化時。α_R 的值依基準溫度而不同（以 0 ℃為基準與以 20 ℃為基準）。

常見錯誤

把直徑當作半徑，截面積寫成 πd²。忘了溫度修正。混淆電阻率與電阻。

範例

退火銅（IEC 60028：ρ₂₀ = 1.7241 × 10⁻⁸ Ω·m，α_R = 0.00393 K⁻¹）直徑 1 mm、長度 100 m 的導線在 75 ℃：ρ = 1.7241 × 10⁻⁸ × (1 + 0.00393 × 55) = 2.097 × 10⁻⁸ Ω·m，A = π(0.001)²/4 = 7.854 × 10⁻⁷ m²，R = 2.67 Ω（20 ℃時為 2.20 Ω）。

計算練習 導線的電阻與溫度

術語 馬提森法則

出處: IEC 60028; Callister 第10版 第18章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

各散射原因可視為彼此獨立的金屬。只有 ρ_t 隨溫度改變，ρ_i、ρ_d 與溫度無關（低溫時殘留的殘留電阻）。Nordheim 公式用於完全互溶合金從稀薄到中等的濃度。

常見錯誤

把電導率（σ）相加（應相加的是電阻率）。濃度直接以 at% 代入（應換成分率）。

範例

在 Cu 中固溶 3 at% 的 Ni（室溫 Cu 的 ρ_t = 1.72 × 10⁻⁸ Ω·m，Cu–Ni 的 A 是由 Callister 的圖讀出的大致值 1.2 × 10⁻⁶ Ω·m）：ρ_i = 1.2 × 10⁻⁶ × 0.03 × 0.97 = 3.49 × 10⁻⁸ Ω·m，ρ ≈ 5.21 × 10⁻⁸ Ω·m（純銅的 3.03 倍）。

術語 馬提森法則 固溶強化

出處: Callister 第10版 第18章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

室溫附近，施體、受體全部游離（外質區）時。遷移率隨雜質濃度下降，因此要使用符合該濃度的值（各經驗式相差數 %。本站的計算練習採用 Caughey–Thomas 的形式，擴散與表面處理模擬器採用 Arora 的公式，n 型 Si 的電子在 10¹⁷〜10¹⁸ cm⁻³ 時最多相差約 8 %）。

常見錯誤

沒有把 cm⁻³ 與 cm²/(V·s) 換成 SI（或只換了其中一個）。混淆導電率與電阻率。

範例

施體濃度 10¹⁶ cm⁻³（= 10²² m⁻³）的 n 型 Si，電子遷移率 1200 cm²/(V·s) = 0.12 m²/(V·s)：σ = 10²² × 1.602 × 10⁻¹⁹ × 0.12 = 192 S/m，ρ = 1/σ = 5.20 × 10⁻³ Ω·m = 0.520 Ω·cm。

計算練習 n 型矽的電阻率計算工具 擴散與表面處理模擬器

術語 間接能隙半導體

出處: Sze 第3版 第1章; Callister 第10版 第18章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：E_g/2kT

適用條件與範圍

非簡併的半導體（費米能階離能帶邊緣數 kT 以上）。N_c、N_v 與 T^3/2 成正比。E_g 也會隨溫度略為改變（Si 在 300 K 時為 1.12 eV）。

常見錯誤

漏掉指數中的 2（寫成 E_g/kT）。混淆 eV 與 J。

範例

Si（E_g = 1.12 eV，忽略 E_g 隨溫度的變化）從 300 K 到 350 K：n_i(350)/n_i(300) = (350/300)^(1.5) × exp[−1.12/(2 × 8.617 × 10⁻⁵) × (1/350 − 1/300)] = 27.8 倍。300 K 的 n_i 約為 10¹⁰ cm⁻³（Sze）。

術語 間接能隙半導體

出處: Sze 第3版 第1章; Kittel 第8版 第8章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

層很薄、電流平行於表面流動時。以四點探針法量測的 R_s = 4.53 V/I，適用於試樣遠比探針間距寬且薄的情形。在與基板雜質相反型的層中，N 是淨濃度（N − N_B）。

常見錯誤

不論濃度都使用同一個遷移率（濃度越高越小）。x_j 以 µm 直接代入。

範例

到深度 0.5 µm 為止均勻摻入 10¹⁹ cm⁻³（= 10²⁵ m⁻³）施體的 n 型層（電子遷移率以 Arora 的公式為 114 cm²/(V·s)，與擴散與表面處理模擬器相同）：R_s = 1/(qμNx_j) = 1/(1.602 × 10⁻¹⁹ × 0.0114 × 10²⁵ × 0.5 × 10⁻⁶) = 109 Ω/□。

計算工具 擴散與表面處理模擬器

術語 擴散係數

出處: Sze 第3版 第1章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

流過的電量全部用於金屬的溶解（電流效率 100 %），且整個表面均勻溶解時。孔蝕這類局部腐蝕，會形成比平均速率更深的孔。

常見錯誤

漏掉價數 n。µA/cm² 與 A/m² 的換算（1 µA/cm² = 10⁻² A/m²）。用 g/cm³ 卻混用 cm 與 µm。

範例

鐵（M = 55.845 g/mol，ρ = 7.87 g/cm³）以 Fe²⁺ 均勻溶解，腐蝕電流密度 1 µA/cm²：每 1 cm² 每1秒 10⁻⁶ × 55.845/(2 × 96485) = 2.89 × 10⁻¹⁰ g，除以密度得 3.68 × 10⁻¹¹ cm/s，1年（365天）為 11.6 µm。0.5 A 流 30 天則 m = 0.5 × 2.592 × 10⁶ × 55.845/(2 × 96485) = 375 g。

計算練習 腐蝕量（法拉第定律）

術語 法拉第定律 局部電池

出處: Callister 第10版 第17章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

平衡（沒有電流流動）時電極的電位。稀薄溶液中以濃度（mol/L）近似活性。0.0592 是 25 ℃時的 (RT/F) ln 10。

常見錯誤

把反應方向與 Q 的分子、分母弄反。混淆 log₁₀ 與 ln。漏掉 n。

範例

Ni 電極（Ni²⁺ 10⁻³ M）與 Cd 電極（Cd²⁺ 0.5 M）組成的電池，25 ℃（與 Callister 第17章例題的數值相同）：反應 Ni²⁺ + Cd → Ni + Cd²⁺ 的 E° = −0.250 − (−0.403) = 0.153 V。E = 0.153 − (RT/2F) ln(0.5/10⁻³) = 0.153 − 0.01285 × 6.215 = 0.073 V。為正，因此反應方向與標準狀態相同（Cd 溶解）。

術語 標準電極電位 電偶腐蝕

出處: Callister 第10版 第17章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

判斷高溫氧化時皮膜是否具保護性的參考。小於 1 時皮膜有孔（多孔質），1〜2 容易具保護性，遠大於 2 時容易因壓縮應力而剝落。例外也很多（皮膜的附著、擴散的快慢），僅作為參考。

常見錯誤

漏掉 n（Al₂O₃ 為 2）。對調式量與原子量。

範例

Al₂O₃（M = 101.96 g/mol，ρ = 3.95 g/cm³）與 Al（26.982，2.70）：PBR = 101.96 × 2.70/(2 × 26.982 × 3.95) = 1.29（在 1〜2 之間，具保護性）。MgO（40.304，3.58）與 Mg（24.305，1.74）：0.81（小於 1，皮膜有孔，不具保護性）。

術語 Pilling-Bedworth比 鈍態

出處: Pilling & Bedworth 1923; Callister 第10版 第17章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

拋物線定律適用於離子在緻密皮膜中擴散而進行的高溫氧化。不適用於初期的薄膜時期，或皮膜破裂、剝落時。以質量增加表示時，把 x 換成 Δm/A，k_p 的單位也隨之改變。

常見錯誤

認為時間變2倍厚度也變2倍（拋物線定律為 √2 倍）。混用厚度與質量增加的 k_p。

範例

遵循拋物線定律的氧化，10 h 形成 2.0 µm 的皮膜：k_p = 2.0²/10 = 0.40 µm²/h。100 h 時 x = √(0.40 × 100) = 6.32 µm（時間為 10 倍，厚度只有 √10 倍）。

術語 氧化拋物線定律 Pilling-Bedworth比

出處: Birks 等 第2版 第4章; Callister 第10版 第17章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位）

適用條件與範圍

相同應力下的潛變破斷，以溫度與時間互換（由短時間高溫的試驗估計長時間低溫的壽命）。C 是時間以 h 表示時的值，20 是參考值（15〜25）。外插應限制在試驗時間的 10 倍左右以內。

常見錯誤

直接以 ℃代入。使用 ln 而非 log₁₀。時間以 s 代入（C = 20 是以 h 表示時）。

範例

某應力下在 900 ℃、50 h 破斷的合金，在相同應力下於 800 ℃使用（C = 20）：P = 1173.15 × (20 + log₁₀50) = 25456 K，t_r = 10^(25456/1073.15 − 20) = 5260 h。溫度降低 100 K，壽命約為 105 倍。

計算練習 Larson-Miller參數

術語 Larson-Miller參數 潛變

出處: Larson & Miller 1952; Callister 第10版 第8章

因次 各行兩邊一致（[ ] 為 SI 基本單位） · 無因次：Q_c/RT

適用條件與範圍

溫度約在熔點的 0.4 倍以上，以差排潛變為主的範圍。應力低且晶粒細時為擴散潛變（n ≈ 1），應力高時冪律不再成立。屬於哪一種機制，以變形機構圖判斷。

常見錯誤

認為應力變2倍速率也變2倍（應為 2ⁿ 倍）。Q 混用 eV 與 J/mol。

範例

n = 5、Q = 300 kJ/mol 的材料：應力變為 1.2 倍時應變速率為 1.2⁵ = 2.49 倍。由 900 K 升到 950 K 時為 exp[(300000/8.314)(1/900 − 1/950)] = 8.25 倍。

術語 冪律潛變 潛變 變形機構圖 擴散潛變

出處: Callister 第10版 第8章; Dowling 第4版 第15章