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熱膨脹與熱應力實驗室

溫度改變時材料會伸長或收縮，這種伸縮若受到阻止，就會產生熱應力。本頁可以選擇材料，計算從自由膨脹、各種拘束方式的應力、板或圓筒內部溫差造成的應力、兩種材料的接合（雙金屬片、薄膜、銲料），到急冷時會破裂的溫差，以及熱套配合與玻璃封接的膨脹匹配。預設值是將結構鋼棒的兩端固定，由20 ℃加熱到70 ℃的例子，會產生約130 MPa的壓縮應力。

輸入（彈性範圍內；應力以拉伸為正）

結果

材料的數值為代表值。實際數值會隨成分、加工與溫度而變，設計時請輸入該材料資料中的數值。計算限於彈性範圍，未考慮塑性變形或潛變造成的應力鬆弛。

為什麼會熱膨脹：位能的不對稱

原子之間的位能在互相靠近時急遽升高，遠離時則緩慢上升，呈左右不對稱的形狀。溫度升高、原子的振動變大時，原子會往緩慢的一側（較遠的一側）擺得更大，因此平均原子間距離變長，這就是熱膨脹。如果位能是完美的拋物線（簡諧振動），振動變大時平均位置也不會改變，就不會發生熱膨脹。依Grüneisen關係，體膨脹係數與定容比熱成正比，因此在低溫下會與比熱一樣急遽變小。資料庫中銅的值（NMIJ的認證值）在20 K為0.28×10⁻⁶ K⁻¹，100 K為10.5×10⁻⁶ K⁻¹，300 K為16.7×10⁻⁶ K⁻¹。矽在約120 K以下 α 為負（80 K附近約為 −0.47×10⁻⁶ K⁻¹），冷卻時反而伸長。這是因為晶格振動中有體積增加時振動頻率升高（Grüneisen常數為負）的模態。

為什麼各材料的 α 不同

鍵結越強、位能井越深的材料，在相同溫度下原子間距離的伸長越小，熔點也有越高的傾向。室溫附近的 α 為鎢4.5、鐵11.8、銅16.5、鋁23.1、鉛28.9（×10⁻⁶ K⁻¹），熔點越高的金屬越小。共價鍵的陶瓷較小（氮化矽2.8、碳化矽3.7，為40〜400 ℃的平均），分子鏈之間以微弱作用力結合的高分子則大到60〜200。石英玻璃小到0.5，是因為SiO₄四面體的網絡可以改變鍵結的方向來吸收伸長。因瓦合金（Fe-36Ni）由磁性造成的體積膨脹（磁體積效應）會隨溫度升高而變小，抵消一般的熱膨脹，因此在居里溫度（約279 ℃）以下 α 小到1〜2。也有 α 隨晶體方向或纖維方向而不同的材料，印刷電路板（FR-4系）的面內為13〜14，厚度方向為45×10⁻⁶ K⁻¹（Tg 以下），差異很大。

平均 α 與瞬時 α；長度、面積與體積

α 會隨溫度改變，因此需要確認資料中的值是哪一種意義。瞬時 α 是該溫度下的伸長率 (1/L)(dL/dT)。平均 α 是由基準溫度（20 ℃或25 ℃）到某溫度的伸長除以溫差的值，製造商資料表中「30〜400 ℃」這類值就屬於這一種。長度變化為 ΔL = L·∫α dT，α 為定值時 ΔL = αLΔT。本頁將瞬時 α 的表以梯形法積分，將平均 α 的表換算成各點的熱應變再連接起來。例如氧化鋁在20 ℃的瞬時 α 為5.4，在827 ℃為9.4×10⁻⁶ K⁻¹，變化很大。等向性材料的面積變化為 (1 + ε)² − 1 ≈ 2ε，體積變化為 (1 + ε)³ − 1 ≈ 3ε，體膨脹係數約為 3α。

拘束與熱應力：單軸、雙軸、三軸與部分拘束

若能自由伸長，物體只會伸長熱應變 αΔT 而不產生應力。伸長受到阻止時，會產生恰好抵消熱應變的彈性應變，這就是熱應力。以不動的壁固定兩端的棒為 σ = −EαΔT（加熱時為壓縮）。拘束面內兩個方向的板或基板上的薄膜，一個方向的應力會因蒲松效應抵消另一個方向的一部分應變，因此要阻止相同的應變需要更大的應力，成為 σ = −EαΔT/(1 − ν)。三個方向都受拘束時，應力為靜水壓 σ = −EαΔT/(1 − 2ν)，在 ν 接近0.5的材料中會變得非常大。拘束側也會伸縮時（框架為不同材料），以 α − αs 代替 α；拘束像彈簧一樣較弱時，棒與彈簧串聯，應力變為 η = 1/(1 + EA/(kL)) 倍。完全受拘束時，熱應力與長度無關。長度決定的是伸長量，這就是鐵路與橋梁要設置伸縮間隙（伸縮縫）的原因。

溫差造成的內部應力：板與圓筒

即使沒有受到外部拘束，零件內部若有溫差，熱的部分會被冷的部分阻止伸長而產生應力。厚度方向為直線溫度分布的板，若板緣自由則不產生應力，只會以曲率 κ = αΔT/h 均勻翹曲。若阻止翹曲使其保持平坦，表面會產生 ±EαΔT/(2(1 − ν)) 的應力，熱的一面為壓縮，冷的一面為拉伸。非直線的溫度分布（急冷過程中等）下，即使是自由的板也會殘留應力。內外有溫差的長空心圓筒（穩態熱傳導下溫度為 ln r 的一次式），可以用Timoshenko & Goodier的公式求得應力；內側較熱時，內表面的環向與軸向都是壓縮，外表面為拉伸。薄的圓筒表面應力會接近 ±EαΔT/(2(1 − ν))。這是造成熱交換器管、爐與引擎零件破裂或疲勞的應力。

雙金屬片：Timoshenko的公式

將線膨脹係數不同的兩片帶材貼合並升高溫度時，會以膨脹較大的一側位於外側（凸面）的方式均勻彎曲（冷卻時方向相反）。Timoshenko（1925）由兩層的力與力矩平衡求得曲率 1/ρ = 6(α2 − α1)ΔT(1 + m)²/(h[3(1 + m)² + (1 + mn)(m² + 1/(mn))])（m 為厚度比 t1/t2，n 為彈性模數比 E1/E2，h 為總厚度）。厚度相同、彈性模數相同時 1/ρ = 3ΔαΔT/(2h)。總厚度固定時，曲率在厚度比 m = 1/√n 時最大，厚度相同時彈性模數比的影響很小。曲率與 ΔαΔT 成正比，與厚度成反比，因此帶材越薄越容易彎曲。雙金屬片用於恆溫開關、溫度計與電路的斷路器，膨脹較小的一側常使用因瓦合金等。

基板上薄膜的熱應力與Stoney公式

在高溫下成膜後冷卻到室溫，膜中會殘留相當於膜與基板膨脹差的雙軸應力。基板足夠厚時 σf = Ef/(1 − νf)·(αs − αf)ΔT（ΔT = 室溫 − 成膜溫度），膜的 α 較大時（Si上的Al）冷卻後為拉伸，較小時（Si上的SiO₂）為壓縮。膜應力會使基板翹曲，其曲率可以用Stoney公式 κ = 6σf·tf/(Ms·ts²) 表示（Ms = Es/(1 − νs) 為基板的雙軸模數）。此公式不含膜的彈性模數，因此只要以雷射量測成膜前後的晶圓翹曲，不必知道膜的性質也能求得膜應力。這是半導體製程中量測膜應力的標準方法。Si (100) 晶圓的雙軸模數約為180 GPa，與 (100) 面內的 E（130 GPa）或 ν（0.28）是不同的量。膜變厚時（tf/ts 超過數 %），與雙層公式的差會變大。

銲點的熱應變與壽命估計

元件（陶瓷或矽）與印刷電路板（FR-4系，面內約13×10⁻⁶ K⁻¹）的膨脹差，在每次溫度升降時都會使銲點橫向錯動。距中心（不動點）LD 處的錯動量為 LD·|Δα|·ΔT，高度 h 的銲料的剪應變為 Δγ ≈ F·LD·|Δα|·ΔT/h。越是大型元件的角落、銲料越低，應變越大，壽命越短。Engelmaier根據共晶SnPb銲料的疲勞試驗，以Coffin-Manson型的 Nf = ½(Δγ/(2εf′))^(1/c) 提出壽命的估計（εf′ = 0.325，c 是由平均溫度與循環頻率決定的負數）。此公式是基於SnPb試驗的經驗式，不能直接用於無鉛銲料、以底部填充膠補強的接點，或以引腳彎曲吸收應變的元件。請作為比較用的估計值。

熱衝擊：R、R′與Biot數

將熱的物體急速冷卻時，只有表面先要收縮，卻受到內部阻止，因此表面產生拉伸應力。表面瞬間冷卻且完全受拘束時的應力為 EαΔT/(1 − ν)，因此破裂的溫差為 R = σf(1 − ν)/(Eα)（Kingery 1955的第一熱衝擊阻抗參數）。實際上表面的冷卻方式由熱傳決定，Biot數 β = ah/κ（a 為板厚的一半，h 為熱傳係數）小時應力也變小。Manson（1953）對無限大平板，將最大應力的比例近似為 1/(1.5 + 3.25/β − 0.5e^(−16/β))。β 大時 ΔTc → R，β 小時 ΔTc ≈ 3.25R′/(ah)，由考慮熱導率的 R′ = Rκ 決定。熔融石英的 α 非常小，因此 R 大；鈉鈣玻璃的 α 大且強度低，因此 R 小。氮化矽強度高、α 小，在陶瓷中是特別耐熱衝擊的材料。冷卻時表面為拉伸，加熱時表面為壓縮，而脆性材料耐壓縮，因此急冷比較容易破裂。

熱膨脹的匹配：熱套配合與間隙

熱套配合是加熱孔側的零件使孔擴大，插入軸後冷卻，以干涉量產生的壓力固定的方法。所需的溫差為 (δ + c)/(αd)，δ 為干涉量，c 為插入所需的間隙。冷卻軸使其收縮的冷套配合則使用液態氮（−196 ℃）。接觸面的壓力由厚壁圓筒的Lamé公式求得，外側零件的孔面產生環向拉伸應力 p(D² + d²)/(D² − d²)。組合不同材料的零件時，干涉量會在使用溫度下改變。將鋁零件熱套在鋼軸上時，溫度升高後鋁擴張得較多，干涉量會減少。間隙也一樣，像鋁活塞與鑄鐵汽缸這種 α 不同的組合，要預先考慮變熱時的間隙來決定尺寸。

玻璃與金屬的封接、因瓦合金與科伐合金

在熔融玻璃與金屬接合的封接中，從玻璃固化的溫度（以應變點或 Tg 為參考）到室溫的收縮差會直接成為應力。玻璃不耐拉伸，因此要盡量使兩者的膨脹一致（匹配封接），不一致的部分則讓玻璃略呈壓縮（壓縮封接）。科伐合金（Fe-29Ni-17Co）在ASTM F15中規定30〜400 ℃的平均 α 為4.60〜5.20×10⁻⁶ K⁻¹，與 α 約為5的封接用硬質（硼矽酸）玻璃匹配。即使同為硼矽酸玻璃，與BOROFLOAT 33（3.25）的差也很大，因此玻璃的選擇很重要。鉑（8.8）與鈉鈣玻璃（9.0）是數值接近的組合。因瓦合金與科伐合金的 α 小是由於磁體積效應，超過居里溫度（因瓦合金約279 ℃，科伐合金約435 ℃）後 α 會變大。封接時必須連同這個轉折，在整個溫度範圍內匹配。

實務的例子：鐵路與橋梁、半導體封裝、玻璃、引擎

長50 m的鋼橋梁，溫度變化60 K時會伸縮 12×10⁻⁶ × 50 m × 60 K = 36 mm，因此以伸縮縫吸收這個變位。無縫的長焊鋼軌則固定鋼軌阻止伸長，並在設計中承受產生的軸力（需注意高溫時的挫曲）。在半導體封裝中，矽晶片（約2.6）、封裝樹脂、銅導線架（約17）與基板的膨脹差，會造成翹曲，以及銲料或黏著界面的剝離。窗玻璃在日照使中央變熱、背陰的邊緣仍然冷時，邊緣會受到拉伸而可能破裂（熱破裂），製造商會標示容許溫差（BOROFLOAT 33依條件為80〜175 K）。在引擎中，鋁活塞與鑄鐵或鋼零件的膨脹差、排氣系統的熱應力，以及渦輪葉片上熱障塗層與金屬的膨脹差，都是設計時要處理的剝離原因。

本計算的限制

這裡的公式全部限於彈性範圍。熱應力超過降伏應力時金屬會塑性變形，溫度恢復後會殘留方向相反的殘留應力。高溫下（高於熔點絕對溫度的約0.4倍）潛變會使應力鬆弛，因此長時間保持時，應力會比計算值小。E、降伏應力與熱導率也會隨溫度改變，本頁只考慮 α 的溫度相依性。跨越性質急遽變化之溫度的計算，例如鋼的相變態（約750〜860 ℃）、氧化鋯的相變態、高分子的玻璃轉移，不能直接使用。複合材料、單晶與軋延材的 α 與 E 隨方向而不同（異向性），而本頁大多數的公式以等向性材料為前提。陶瓷與玻璃的強度離散很大（韋伯分布），零件越大、傷痕越深強度越低，因此熱衝擊的 ΔTc 只是估計值。

常見的錯誤

對薄膜或面內受拘束的板忘了除以 (1 − ν)，會把應力低估約3成。應力的方向只要想「若沒有拘束會往哪邊動」就不會弄錯（加熱時阻止伸長為壓縮，冷卻時阻止收縮為拉伸）。混用平均 α 與瞬時 α，或混用基準溫度不同的平均 α，在寬廣的溫度範圍內會造成不可忽略的差異。在熱衝擊的 R 中使用彎曲強度，對大型零件會高估強度。在Stoney公式中直接代入基板的 E 是錯誤的，要使用雙軸模數 E/(1 − ν)（Si (100) 約為180 GPa）。GPa 與 10⁻⁶ 相乘時，記住 200 GPa × 12×10⁻⁶ K⁻¹ = 2.4 MPa/K，就容易確認數量級。

材料資料庫的數值與出處

純金屬的 α、ν 與熱導率取自彙整CRC Handbook等數值的表（25 ℃附近），E 與密度與本站材料用週期表的值相同。溫度相依數據為Al（Hidnert 1924的公式，20〜600 ℃）、結構鋼（EN 1993-1-2的公式，20〜1200 ℃）、Cu（NMIJ CRM 5805-a，20〜300 K）、Si（Swenson 1983的推薦值，100〜800 K）、氧化鋁（NMIJ CRM 5801-a，293〜1100 K）、石英玻璃（NMIJ CRM 5802-a，293〜800 K），以及因瓦合金與科伐合金（製造商的平均 α 表）。陶瓷為京瓷的資料表，玻璃為ISO 16293-1、SCHOTT與Corning的資料，FR-4系為Isola 370HR資料表的值。高分子與CFRP、GFRP是與選材圖（Ashby的表）相同範圍的幾何平均，資料中沒有 ν，因此留白。數值的一覽在「材料資料庫」分頁中。

練習材料熱性質的題目

固體因加熱而膨脹（發生熱膨脹）的主要原因為下列何者？

  1. A原子間位能不對稱（非簡諧），振動振幅變大時原子間的平均距離增加
  2. B原子間位能為拋物線形（簡諧），振動振幅與原子間平均距離都隨溫度變大
  3. C溫度升高時，原子本身的大小變大
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正確答案：A. 原子間位能不對稱（非簡諧），振動振幅變大時原子間的平均距離增加

原子間位能的形狀不對稱：靠近時排斥急遽變強，遠離的一側引力則緩慢減弱。溫度升高使振動振幅變大時，原子往遠離的一側擺動得較大，因此振動中心，即平均原子間距離增加，這就是熱膨脹。若位能為拋物線形（簡諧振子），振幅再大振動也對平衡位置對稱，平均距離不變，不會發生熱膨脹。原子本身的大小（電子雲的範圍）幾乎不隨溫度改變。非簡諧性也是聲子之間散射的原因，與熱導率為有限值這件事也有關聯。

將室溫附近的線膨脹係數由大到小排列，下列何者正確？

  1. A鎢 > 鋁 > 聚乙烯
  2. B鋁 > 聚乙烯 > 鎢
  3. C聚乙烯 > 鋁 > 鎢
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正確答案：C. 聚乙烯 > 鋁 > 鎢

室溫附近的線膨脹係數，聚乙烯約為100〜200×10⁻⁶ K⁻¹，鋁約為23×10⁻⁶ K⁻¹，鎢約為4.5×10⁻⁶ K⁻¹。原子間鍵結越強、位能井越深的材料，在相同溫度下振動造成的原子間距離增加越小，熔點越高，線膨脹係數也有越小的傾向。熔點超過3400℃的鎢最小，分子鏈之間以弱的凡得瓦力結合的高分子最大。因此，組合金屬與高分子或陶瓷的零件，溫度變化時會因膨脹差而產生熱應力或翹曲。

Fe-36%Ni合金（因瓦合金，Invar）的線膨脹係數在室溫附近約為1×10⁻⁶ K⁻¹ 而非常小，其原因下列何者正確？

  1. ANi抑制Fe的晶格振動，使德拜溫度大幅升高，因此在室溫下原子幾乎不振動
  2. B居里溫度以下，磁有序造成的體積膨脹隨升溫、磁化減弱而減少，抵消熱膨脹
  3. C升溫時由BCC轉變為堆積更密的FCC的相變態逐漸進行，使體積收縮而抵消膨脹
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正確答案：B. 居里溫度以下，磁有序造成的體積膨脹隨升溫、磁化減弱而減少，抵消熱膨脹

因瓦合金是鐵磁體，有自發磁化時原子間距離增加、體積變大的磁體積效應（自發體積磁致伸縮）表現得很大。溫度升高時磁化減弱，這部分由磁性造成的膨脹隨之減少，幾乎抵消了晶格振動造成的一般熱膨脹。因此在居里溫度以下，線膨脹係數小到約1×10⁻⁶ K⁻¹，用於精密量測儀器與液化天然氣的容器等。超過居里溫度後抵消作用消失，膨脹程度與一般金屬相當。因瓦合金在室溫為FCC單相，原子的振動仍照常隨溫度變得劇烈，也沒有發生抵消膨脹的相變態。

依Grüneisen關係，固體的體膨脹係數大約與定容比熱成正比。關於接近絕對零度之低溫下絕緣體的線膨脹係數，下列敘述何者正確？

  1. A溫度降低時，仍保持與室溫幾乎相同的值
  2. B溫度越低越大，在絕對零度時最大
  3. C與比熱一樣隨溫度降低而變小，在絕對零度時趨近0
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正確答案：C. 與比熱一樣隨溫度降低而變小，在絕對零度時趨近0

依Grüneisen關係 β = γC_v/(BV)（β 為體膨脹係數，γ 為Grüneisen常數，C_v 為莫耳定容比熱，B 為體積彈性模數，V 為莫耳體積），熱膨脹係數顯示與比熱幾乎相同的溫度依存性。在遠低於德拜溫度的溫度下，比熱與 T³ 成正比而變小，因此絕緣體的線膨脹係數也與 T³ 成正比而趨近0。熱膨脹源自振動的非簡諧性，因此在振動幾乎不被激發的極低溫下，膨脹也不易發生。若把室溫的值直接用到極低溫，會大幅高估冷卻造成的收縮。在高於德拜溫度的溫度下，比熱幾乎固定，因此線膨脹係數也幾乎固定。

把燒紅的石英玻璃（熔融石英）放入水中也不易破裂，鈉鈣玻璃卻容易破裂。石英玻璃耐熱衝擊性高的主要原因為下列何者？

  1. A線膨脹係數約為0.5×10⁻⁶ K⁻¹ 而非常小，溫差造成的熱應力小
  2. B熱導率與金屬一樣大，表面與內部的溫差很快就會消失
  3. C破壞韌性與金屬一樣大，即使熱應力產生表面裂縫也不易擴展
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正確答案：A. 線膨脹係數約為0.5×10⁻⁶ K⁻¹ 而非常小，溫差造成的熱應力小

急冷時只有表面想先收縮，卻被內部拉住，在表面產生拉伸熱應力 σ ≈ EαΔT/(1 − ν)。石英玻璃的線膨脹係數約為0.5×10⁻⁶ K⁻¹，只有鈉鈣玻璃約9×10⁻⁶ K⁻¹ 的20分之1左右，因此相同溫差下熱應力小得多，不會破裂。石英玻璃的熱導率約為1.4 W/(m·K) 而很小，破壞韌性約0.8 MPa·√m 也與鈉鈣玻璃相當，兩者都遠不及金屬。熱導率是透過表面與內部溫差的形成方式起作用的因素，在熱傳較緩和的條件下，熱導率越大的材料越耐熱衝擊。

將矽基板（線膨脹係數2.6×10⁻⁶ K⁻¹）上的鋁膜（楊氏模數70 GPa，蒲松比0.35，線膨脹係數23×10⁻⁶ K⁻¹）由無應力的125℃冷卻至25℃。設基板足夠厚，膜中產生的熱應力 σ = EΔαΔT/(1 − ν) 的方向與大小為下列何者？

  1. A壓縮，約220 MPa
  2. B拉伸，約143 MPa
  3. C拉伸，約220 MPa
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正確答案：C. 拉伸，約220 MPa

Δα = 23×10⁻⁶ − 2.6×10⁻⁶ = 20.4×10⁻⁶ K⁻¹，ΔT = 100 K，因此 σ = 70×10⁹ × 20.4×10⁻⁶ × 100/(1 − 0.35) ≈ 2.2×10⁸ Pa，約220 MPa。冷卻時鋁想要比矽收縮得更多，但受基板拘束而無法收縮，因此膜被拉伸而成為拉伸應力。認為是壓縮是方向弄錯了。約143 MPa 是忘了除以 (1 − ν) 的值。膜在面內2個方向同時受到拘束，處於雙軸應力狀態，因此必須使用雙軸模數 E/(1 − ν)。這種熱應力會成為導線應力遷移與孔洞的原因。

在矽基板上以高溫形成熱氧化膜（SiO₂，線膨脹係數約0.5×10⁻⁶ K⁻¹），再冷卻至室溫。設矽的線膨脹係數約為2.6×10⁻⁶ K⁻¹，因熱膨脹差而在氧化膜中產生的應力為下列何者？

  1. A拉伸應力
  2. B壓縮應力
  3. C不產生應力
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正確答案：B. 壓縮應力

冷卻時，矽比SiO₂收縮得更多。SiO₂膜被迫收縮的量多於它本身想收縮的量，因此在面內被壓縮而成為壓縮應力。熱應力的方向可以這樣判斷：膜的線膨脹係數大於基板時，冷卻後為拉伸；小於基板時則為壓縮。與矽上的鋁膜相比，膨脹係數的大小關係相反，因此應力的方向也相反。只要膨脹係數有差異，溫度從成膜溫度改變就會產生應力，因此「不產生應力」的選項是錯誤的。熱氧化膜的壓縮應力約為數百MPa，可由晶圓翹曲的量測求得。

某陶瓷的彎曲強度為300 MPa，楊氏模數為380 GPa，蒲松比為0.22，線膨脹係數為8.0×10⁻⁶ K⁻¹。急冷熱衝擊下開始破裂的溫差標準 ΔTc = σf(1 − ν)/(Eα) 最接近下列何者？

  1. A約77 K
  2. B約99 K
  3. C約127 K
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正確答案：A. 約77 K

Eα = 380×10⁹ × 8.0×10⁻⁶ = 3.04×10⁶ Pa/K，σf(1 − ν) = 300×10⁶ × 0.78 = 2.34×10⁸ Pa，因此 ΔTc = 2.34×10⁸/(3.04×10⁶) ≈ 77 K。約99 K 是忘了乘以 (1 − ν) 的值，約127 K 是除以 (1 − ν) 的值。強度越高、楊氏模數與熱膨脹係數越小，耐熱衝擊性越大。熱膨脹係數約為0.5×10⁻⁶ K⁻¹ 而非常小的石英玻璃，是耐熱衝擊性極強的材料。熱傳導率高時表面與內部不易產生溫差，這也是有利的因素。

關於施加在燃氣渦輪葉片上的熱障塗層（TBC）的構成，下列敘述何者正確？

  1. A在熱導率低的YSZ面層下設置MCrAlY等黏結層，其界面生成的薄Al₂O₃熱生長氧化物（TGO）防止母材氧化
  2. B面層使用熱導率高的緻密氧化鋁，把葉片的熱快速導出而降低金屬溫度，並以其下的黏結層吸收與母材的熱膨脹差
  3. C面層的YSZ完全不讓氧通過，因此不需要黏結層，只要把YSZ直接噴塗在母材上，就能同時防止母材氧化與高溫受熱
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正確答案：A. 在熱導率低的YSZ面層下設置MCrAlY等黏結層，其界面生成的薄Al₂O₃熱生長氧化物（TGO）防止母材氧化

TBC是一面以冷卻空氣冷卻葉片內部，一面以表面的隔熱層降低金屬溫度的被膜。面層的YSZ（氧化釔部分安定氧化鋯）熱導率約為1〜2 W/(m·K)而很低，以陶瓷而言熱膨脹係數大。做成多孔質的熔射膜或柱狀的蒸鍍膜，以釋放與母材熱膨脹差造成的應變。YSZ很容易讓氧離子通過，無法擋住氧，因此黏結層中的Al氧化而形成薄的Al₂O₃ TGO，由它防止母材氧化。TGO變厚或受到熱循環時，面層會從其附近剝離，這是決定壽命的主要原因。熱導率高的材料無法發揮隔熱的作用。

常見問題

熱應力會隨棒的長度改變嗎？

完全受拘束時不會改變。熱應變 αΔT 與長度無關，因此應力 EαΔT 也與長度無關。隨長度改變的是伸長量 ΔL = αLΔT，構件越長，需要的伸縮間隙越大。對有間隙的壁或以彈簧部分拘束的情形，長度會影響拘束程度，因此應力也會改變。

為什麼薄膜或板要除以 (1 − ν)？

因為面內兩個方向同時受到拘束。x 方向的應力會因蒲松效應抵消 y 方向的一部分應變，因此要抵消兩個方向的熱應變，需要比單軸時更大的應力。結果相當於彈性模數由 E 增加為 E/(1 − ν)（雙軸模數）。ν = 0.3 時約為1.43倍。

加熱與冷卻時，應力的方向如何決定？

想想若沒有拘束會往哪邊動。加熱時伸長受到阻止為壓縮，冷卻時收縮受到阻止為拉伸。兩種材料時，膨脹較大的一側冷卻後為拉伸，較小的一側為壓縮。矽上的鋁膜冷卻後為拉伸，矽上的熱氧化膜為壓縮。

線膨脹係數的溫度相依性影響有多大？

依材料與溫度範圍而定。鋁在20 ℃約為23，在500 ℃約為32×10⁻⁶ K⁻¹（Hidnert公式的微分），因此計算加熱到500 ℃時若使用室溫的 α，會把伸長量低估1成以上。因瓦合金在超過居里溫度後 α 會變為數倍，矽在低溫下則為負。在本頁選擇「使用溫度相依性」時，有數據的材料會以其曲線計算，並可在圖上比較與不使用時的差異。

為什麼Stoney公式中沒有膜的彈性模數？

膜遠薄於基板時，決定翹曲的只有膜力 σf·tf（每單位寬度）與基板的抗彎能力。膜有多硬會影響膜應力的大小，但不影響由應力換算成曲率的過程。因此只要量測成膜前後的晶圓曲率，不必知道膜的彈性模數也能求得膜應力。膜變厚時，膜本身的彎曲剛性會產生影響，而偏離此公式。

什麼樣的組合能使雙金屬片彎曲得較大？

曲率與膨脹差 Δα 及溫差成正比，與總厚度成反比。總厚度固定時，曲率在厚度比 m = 1/√n（n 為彈性模數比）時最大；厚度相同、彈性模數相同時 1/ρ = 3ΔαΔT/(2h)。膨脹較小的一側使用因瓦合金這類低膨脹合金，可以加大 Δα。

選擇耐熱衝擊的材料時要看什麼？

急速冷卻（熱傳大）的條件下選 R = σf(1 − ν)/(Eα) 大的材料，熱傳緩和的條件下選乘上熱導率的 R′ = Rκ 大的材料。強度高、α 與 E 小較有利，代表例是熔融石英與氮化矽。屬於哪一種條件，以Biot數 β = ah/κ 判斷。

熱套配合時，外側零件要加熱到幾 ℃？

是使孔擴大「干涉量 δ 加上插入所需間隙 c」的溫度。α 為定值時 ΔT = (δ + c)/(αd)，直徑50 mm的鋼、干涉量50 µm、間隙20 µm時，需要加熱約117 K（由20 ℃到約137 ℃）。加熱過度會改變材料的熱處理狀態，因此也請確認資料中的上限溫度。

因瓦合金與科伐合金有什麼不同？

因瓦合金（Fe-36Ni）是使室溫附近的 α 非常小（1〜2×10⁻⁶ K⁻¹）的合金，用於精密量測儀器、模具與雙金屬片的低膨脹側。科伐合金（Fe-29Ni-17Co）是使 α 與硼矽酸系硬質玻璃匹配的封接用合金，30〜400 ℃的平均 α 約為5×10⁻⁶ K⁻¹。兩者在超過居里溫度後 α 都會變大。

本頁的數值可以直接用於設計嗎？

材料的數值為代表值，會隨成分、加工與溫度而變。可以用來確認觀念或估計數量級，但設計時請輸入所用材料的資料表或規格中的數值。計算限於彈性範圍，未考慮塑性或潛變造成的應力鬆弛，以及零件形狀造成的應力集中。

相關名詞

熱應力 線膨脹係數 因瓦合金 楊氏模數 熱擴散率 強化玻璃 熱障塗層

公式集

彈性常數的關係與廣義虎克定律 熱膨脹 拘束造成的熱應力 基板上薄膜的熱應力 Stoney 公式 組合棒（連接2根棒時）的熱應力 雙金屬片的曲率（Timoshenko） 熱衝擊阻抗 熱套配合的壓力（Lamé 公式）

相關計算工具

選材圖（Ashby圖）將各材料群性質的範圍畫在雙對數圖（Ashby圖）上，以 √E/ρ 等性能指標的線比較輕而剛、輕而強的材料材料用週期表用週期表查看各元素在室溫下的晶體結構（BCC、FCC、HCP、鑽石結構）以及晶格常數、密度、熔點、楊氏模數與同素變態晶體結構檢視器（單位晶胞、間隙、米勒指數）轉動觀察SC、BCC、FCC、HCP與鑽石結構的單位晶胞，並畫出間隙的位置與大小、米勒指數的晶面與方向、滑移系統

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