以Cu Kα射線（波長0.15406 nm）進行XRD時，晶面間距0.3135 nm的Si(111)面的1次繞射峰出現的繞射角2θ最接近下列何者？
- A約14.2°
- B約28.4°
- C約58.9°
XRD解析工作台
將粉末X光繞射（XRD）的計算整合在1頁中。以上方的分頁，切換繞射圖譜的模擬、量得繞射峰的指數標定與晶格常數、由峰寬求微晶尺寸與應變，以及應變與固溶造成的繞射峰位移。每種模式都依序顯示計算過程，表格可用CSV複製，條件可用URL分享。預設值為BCC的鐵與Cu Kα射線。
輸入的條件會寫入這個頁面的網址，加入書籤或分享後，就能開啟相同的計算結果。收藏與最近使用的工具只儲存在這個瀏覽器（localStorage）中。
結果
計算的前提：粉末細小且方向不一致（無優選取向）、試樣為足夠厚的平板（在布拉格–布倫塔諾配置下，吸收修正與角度無關）、忽略消光效應、所有原子的溫度因子為相同的 B。原子散射因子使用International Tables Vol. C的Cromer–Mann型近似（sinθ/λ < 2 Å⁻¹），異常散射使用Henke等人的表，波長使用X-ray Data Booklet的值。指數標定僅限立方晶。
以圖表檢視
其他輸入維持目前的值，只讓選擇的輸入在目前值的 1/4 到 4 倍之間變化時的結果。紅點是目前的值。
這個工作台的用法
4種模式依照XRD實驗的流程安排。「圖譜」在選擇物質（或輸入結構與晶格常數）後，計算哪個角度會出現多強的繞射峰，可用於量測前確認繞射峰的位置與重疊、與量得的圖譜比對、決定使用的波長等。「指數標定」方向相反，由量得繞射峰的 2θ 判定立方晶的結構，為各繞射峰標上 (hkl)，並以最小平方法或外插求晶格常數。「微晶尺寸」由峰寬以謝樂公式與Williamson–Hall作圖估算微晶的大小與應變；「峰位移」計算晶格應變或固溶使繞射峰移動多少，反過來也能由移動量計算應變或成分。在週期表工具中選擇元素並按下「用XRD確認」，該元素的結構與晶格常數就會填入本頁。
布拉格定律與晶面間距
波長 λ 的X光照射到以間距 d 排列的原子面時，在相鄰晶面反射的波的路徑差 2d sinθ 為波長的整數倍時會相互加強（布拉格定律 nλ = 2d sinθ）。XRD中將 n = 2 的 (110) 當作 (220) 處理，因此通常取 n = 1，而將指數改為整數倍。立方晶中 1/d² = (h² + k² + l²)/a²，六方晶中 1/d² = 4(h² + hk + k²)/(3a²) + l²/c²。例如BCC鐵（a = 0.28665 nm）的 (110) 為 d = 0.2027 nm，以Cu Kα1（λ = 0.15406 nm）量測時 2θ = 44.67°。波長越長，相同的晶面也出現在越高的角度，λ > 2d 的晶面不會繞射。以Mo Kα（0.0709 nm）量測時，相同範圍內會出現多得多的反射；以Cr Kα（0.229 nm）量測時則變少。
結構因子與消光規則為何發生
由單位晶胞中的原子 j（位置 xⱼ, yⱼ, zⱼ）向 (hkl) 方向散射的波，相位偏移 2π(hxⱼ + kyⱼ + lzⱼ)。將這些波相加就是結構因子 F = Σ fⱼ exp[2πi(hxⱼ + kyⱼ + lzⱼ)]，強度與 |F|² 成正比。BCC中體心原子（½, ½, ½）的相位為 π(h + k + l)，因此在 h + k + l 為奇數的晶面上，與頂點原子的波方向正好相反而抵消，(100)、(111)、(210) 等因而消失。FCC中3個面心原子的相位為 π(h + k)、π(h + l)、π(k + l)，h、k、l 奇偶混雜時總和為0。鑽石結構是把FCC錯開 (¼, ¼, ¼) 後疊合而成，h + k + l = 4n + 2 的 (200)、(222) 等也會消失。有2種原子時，抵消就不完全。岩鹽型全為奇數的反射為 4(f_Cl − f_Na) 而很弱；KCl中 K⁺ 與 Cl⁻ 的電子數都是18，因此幾乎消失，圖譜看起來像晶格常數一半的簡單立方。閃鋅礦型GaAs的 (200) 與 f_Ga − f_As 成正比而非常弱；在CsCl型或有序化的Cu₃Au（L1₂）中，於BCC、FCC會消失的位置出現弱的「超晶格繞射」。超晶格繞射的強度與原子有序度的平方成正比，因此可作為研究有序–無序轉變的線索（本工具計算完全有序的狀態）。
決定強度的因素：多重度、原子散射因子、LP因子、溫度因子
粉末的積分強度為 I ∝ m |F|² LP exp(−2B s²)（s = sinθ/λ）。多重度 m 是具有相同晶面間距的反射數目，立方晶中 {100} 為6，{110} 為12，{111} 為8，{hk0} 與 {hhl} 為24，{hkl} 為48。像 (511) 與 (333) 這樣不同形式的晶面重疊在相同的 d 時，兩者相加。原子散射因子 f 因原子電子雲的擴展，s 越大越小，在 s = 0 時等於電子數 Z。本工具以International Tables Vol. C的Table 6.1.1.4的係數（4個高斯函數與常數的和，Cromer–Mann型）計算 f0，使用X光管譜線時，再加上由Henke等人的表得到的異常散射修正 f′、f″。以Cu Kα量測鐵時 f′ ≈ −1.1，高角度的反射會稍微變弱。LP因子 (1 + cos²2θ)/(sin²θ cosθ) 結合了偏極化（散射造成的偏極）與勞倫茲因子（粉末繞射環中進入偵測器的比例等），在低角度與接近180°處變大。溫度因子 exp(−2B s²) 表示原子熱振動使高角度強度下降的效應，B = 8π²⟨u²⟩（⟨u²⟩ 為均方位移）。元素的 B 採用Peng等人（1996）293 K的值。化合物只有NaCl（1.48 Ų，Na 1.59與Cl 1.38的平均）與MgO（0.36 Ų，Mg 0.34與O 0.37的平均）填入了實測值，其他化合物與表中沒有的元素為0（無溫度因子），若知道數值請自行輸入。B 維持0時，高角度的反射會偏強。
計算的強度比與量得的強度比不同的原因
計算的相對強度是理想粉末（細小且方向不一致）的積分強度。實際上會因下列原因而不同。(1) 優選取向：板狀或針狀的粒子，以及軋延、電鍍、薄膜的試樣，特定的晶面會平行於表面排列，只有該反射變強。這是強度比偏差最大的因素，也很難完全消除。(2) 吸收：在布拉格–布倫塔諾配置中，若試樣夠厚，吸收修正與角度無關；但對薄膜或少量的試樣，角度越高X光進入越深而衰減，使強度比改變。表面粗糙與孔隙也會降低低角度的強度。(3) 溫度因子：B 大的物質（鹼金屬、離子晶體等），高角度的強度大幅下降。(4) 峰高與面積：PDF卡的強度多半是峰高，高角度時 Kα1 與 Kα2 分離，峰寬也變寬，因此會比積分強度小。本工具的「曲線高度」包含這個效應。(5) 粗大晶粒：晶粒大（約10 µm以上）時，參與繞射的晶粒數目少，強度隨試樣而分散。(6) 此外還有消光效應（大而完整的晶體中，強的反射達到飽和）、螢光（以Cu Kα量測鐵或鈷時背景變高），以及單光器或可變狹縫修正的差異。
指數標定的思路與無法區分的組合
立方晶中 sin²θ = (λ²/4a²)·N，因此繞射峰 sin²θ 的比就是 N = h² + k² + l² 的比。簡單立方依 N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8…排列（7、15等不能寫成3個平方數的和），BCC為2, 4, 6, 8, 10, 12, 14…，FCC為3, 4, 8, 11, 12, 16…，鑽石結構為3, 8, 11, 16, 19…。本工具假設低角度的3條繞射峰中有一條對應各結構較小的 N，據此作出 a 的候選，對所有繞射峰指定最接近的 N，再依「相符繞射峰的數目減去『應該出現卻看不到的反射』數目的一半」的分數、2θ 偏差的順序比較而選出結構（若不計入看不到的反射，連Kβ譜線這類多餘的繞射峰也能吻合的大單位晶胞會被選中）。有3點要注意。SC與BCC到第6條為止比值相同，不量到第7條就無法區分。指數標定能得知的只到布拉菲晶格的類型，NaCl判定為FCC，CsCl判定為簡單立方（原子的種類與配置要由強度決定）。看不到弱的反射時，會被看成其他類型：GaAs若看不到弱的 (200)、(420)，會判定為鑽石結構；KCl全為奇數的反射幾乎消失，因此判定為晶格常數一半的簡單立方。繞射峰只有2〜3條時，其他結構或晶格常數也常能同樣吻合，判定並不可靠。不相符的繞射峰，可懷疑是其他相、Kβ譜線（沒有Kβ濾片時，出現在強反射的低角度側）、Kα2、X光管污染造成的W Lα譜線等。本工具會在表中顯示是否落在Kβ與Kα2的位置。
精確求出晶格常數：系統誤差與外插
角度誤差 Δθ 造成的晶格常數誤差為 Δa/a = −cotθ·Δθ，θ 越接近90°越小。因此求晶格常數時要重視高角度的繞射峰。繞射儀中最大的系統誤差是試樣高度偏移（試樣面偏離測角儀的軸 s），Δ2θ ≈ −2s cosθ/R（R 為測角儀半徑），Δd/d 與 cos²θ/sinθ 成正比。零點偏移則對 2θ 加上固定值。本工具的「以 cos²θ/sinθ 外插」與「以 Nelson–Riley 函數外插」，是將各繞射峰的 aᵢ 對該函數以直線擬合，讀取 θ = 90° 處之值的方法。Nelson–Riley 函數 ½(cos²θ/sinθ + cos²θ/θ) 原本是為了Debye–Scherrer相機的吸收與偏心誤差而提出的，也常用於繞射儀。「最小平方法（a 與零點偏移）」同時求出 a 與固定的偏移 z。最可靠的方法，是混入Si（NIST SRM 640系列）等標準物質來校正角度的內標準法。顯示的 ± 是擬合的標準誤差，不包含系統誤差或溫度（鐵每1 K約 Δa/a ≈ 1.2 × 10⁻⁵）的影響。
謝樂公式與 K 的選擇
微晶小時，即使在稍微偏離布拉格條件的角度，抵消也不完全，繞射峰因而變寬。謝樂公式 D = Kλ/(β cosθ) 由這個展寬 β（2θ 的寬度，弧度），求出垂直於繞射面方向的微晶平均厚度 D。K 依峰寬以半高寬（FWHM）還是積分寬度（面積/高度）量測、微晶的形狀、尺寸分布，以及 D 取哪種平均（以體積加權的厚度等）而改變；根據Langford與Wilson（1978），範圍為0.62〜2.08。Scherrer原本的推導（立方體晶體、高斯型、FWHM）為 2√(ln2/π) ≈ 0.94，0.89也常被引用（依資料不同，有的寫成FWHM的值，有的寫成積分寬度的值，並不一致）。形狀不明時使用0.9並註明 K，是實務上的做法。0.89與0.94的差約5 %，與峰寬量測方法的誤差相當。儀器本身的寬度 βi，是在相同條件下量測大晶體標準樣品的峰寬，高斯型以 β² = βm² − βi²、勞倫茲型以 β = βm − βi 扣除。量得的峰寬不到儀器寬度的2倍時誤差很大，大致上無法求出比100〜200 nm更大的微晶。D 是「微晶」（連續完整晶體的區域）的大小，常與電子顯微鏡下看到的粒子大小不同。
以Williamson–Hall作圖分離尺寸與應變
峰寬不只因微晶的大小，也因晶體中應變的分散（差排、疊差、成分的起伏等）而變寬。尺寸造成的寬度為 Kλ/(D cosθ)，應變造成的寬度為 4ε tanθ，兩者對角度的依存方式不同。假設兩者相加，得 β cosθ = Kλ/D + 4ε sinθ，以 4 sinθ 為橫軸、β cosθ 為縱軸的點排成直線，由截距求 D，由斜率求 ε。這就是Williamson–Hall作圖。點呈水平時只有尺寸造成的展寬，通過原點的直線則只有應變造成的展寬。此方法假設尺寸與應變在任何方向都相同（等向）。像金屬的 (200) 這種彈性模數小之方向的反射往上偏離，或有疊差的FCC中特定反射變寬時，點就不會落在直線上。也有認為兩種展寬為高斯型時取平方和的做法，結果會隨使用的公式而相當不同，因此附註方法與 K 再比較很重要。更嚴密的做法，是使用整個峰形的Warren–Averbach法、Rietveld法或全圖譜模型化。
固溶與應力造成的繞射峰位移與Vegard定律
將布拉格定律微分得 Δθ = −(Δd/d) tanθ，因此晶格伸長時繞射峰往低角度移動，而且角度越高移動量越大。例如 Δd/d = 0.1 % 時，2θ = 44.7° 處 Δ2θ ≈ −0.047°，2θ = 137° 處為 −0.29°。原子大小不同的元素固溶時，晶格常數會改變；對二元固溶體，常用視 a 對成分 x 呈直線變化的Vegard定律 a(x) = (1 − x)a_A + x a_B。InₓGa₁₋ₓAs或SiGe的成分、合金濃度的估算都是例子。不過Vegard定律是經驗法則，Si–Ge與許多金屬的組合會稍微偏離；端成分晶格常數差異小的組合（Ag–Au約0.2 %）則得不到成分的解析度。薄膜中，與基板的晶格不匹配或熱膨脹差造成的應力也會改變晶面間距，因此只靠量測平行於表面之晶面的 θ–2θ，無法分離成分與應變。面內受到相等的雙軸應力 σ 時，平行於表面之晶面的應變為 ε⊥ = −2ν σ/E，本工具由此關係給出 σ 的估計。實際的殘留應力以傾斜試樣量測的 sin²ψ 法求得，彈性常數使用各反射的X光彈性常數。
量測的實務
粉末要以研缽充分研磨（約數µm〜10 µm），使試樣面與試樣座的面對齊後填入。面若有偏移，所有繞射峰都會往同一方向移動（前一節的試樣高度偏移）。Cu Kα最常使用，但含鐵或鈷的試樣會因螢光使背景變高，因此改用Co Kα或Fe Kα，或使用繞射側的單光器。Kβ譜線以Ni濾片（Cu的情形；Co用Fe，Cr用V，Mo用Zr）、單光器或可分辨能量的偵測器去除。要精確求出晶格常數時，量測到高角度（使用Cu時到 2θ ≈ 140°左右），並縮小步距、拉長計數時間。繞射峰的位置原則上不讀頂點，而是讀擬合函數的中心（或重心）；在 Kα1 與 Kα2 分離的高角度，使用 Kα1 的位置。謝樂公式使用的儀器寬度，以相同狹縫、相同條件量測LaB₆（NIST SRM 660系列）等標準樣品來決定。
本工具的前提與限制
圖譜的計算假設以下的理想狀況：方向完全無序的細粉、足夠厚的試樣、無消光效應、所有原子共用的等向溫度因子 B。原子散射因子是中性原子（或離子）的球對稱近似，不包含鍵結造成的電子偏移。Cromer–Mann型係數是在 sinθ/λ < 2 Å⁻¹ 範圍使用的近似，超過此範圍（短波長的高角度）時誤差會增加。異常散射的修正只在X光管譜線的波長加入，在吸收邊附近並不準確。峰形為擬Voigt函數（勞倫茲型與高斯型各半），峰寬採 FWHM = 常數 + 係數 × tanθ 的簡單形式。Kα2 的強度取 Kα1 的1/2。指數標定只限立方晶的4種晶格類型，無法進行正方晶、六方晶等的指數標定，也無法解析多相混合的圖譜。具有內部參數的結構只處理纖鋅礦型的 u，資料庫中ZnO的值是中子繞射的量測值0.3817（比理想值 3/8 = 0.375 稍大）。定量分析（相的比例）、Rietveld解析、薄膜的低掠角入射量測，請使用專用軟體。
資料來源
元素的晶格常數與週期表工具相同，採ASM等的值（25 °C）；化合物的晶格常數取自Handbook of Mineralogy（NaCl、KCl、LiF、MgO、CaF₂、ZnS、ZnO）、Vurgaftman等人（2001，III–V族半導體）、Kisi與Elcombe（1989，纖鋅礦型ZnS與ZnO的 u，COD 1100044）。原子散射因子的係數取自International Tables for Crystallography Vol. C（1992）Table 6.1.1.4，異常散射的修正取自Henke、Gullikson與Davis（1993）的表，X光的波長是由X-ray Data Booklet的Table 1-2（以Bearden 1967為基礎的光子能量）以 λ = hc/E 求得的值，溫度因子是Peng、Ren、Dudarev與Whelan（1996）293 K的值；NaCl由Finger與King（1978）表中1 bar、室溫的均方位移求得，MgO採Hazen（1976）的值。範例與驗算的數據是NBS Circular 539（Cu、α-Fe）、Handbook of Mineralogy（NaCl），以及大學資料中刊載的PDF卡4-787（Al）、27-1402（Si）的值。計算已與另外以Python撰寫的程式比對，並確認Cu、α-Fe、Al、Si的位置與強度順序和標準圖譜一致。NaCl加入溫度因子後，強度順序也與標準圖譜一致（B 設為0時，高角度的 (420)、(422) 會過強）。
在FCC結構金屬的粉末XRD中，出現在最低角度側的繞射峰指數為下列何者？
- A(100)
- B(110)
- C(111)
查看答案與解析
正確答案：C. (111)
在FCC中，只有h、k、l全為偶數或全為奇數時才出現繞射，偶數與奇數混雜時，單位晶胞內4個原子的散射互相抵消而強度為0（消光規則）。因此繞射峰依(111)、(200)、(220)、(311)…的順序出現，h² + k² + l² 最小的(111)晶面間距最大，位於最低角度側。(100)與(110)都是偶數與奇數混雜，因此在FCC中不出現。BCC只出現 h + k + l 為偶數的面，所以第一個峰為(110)，可由繞射峰的排列區分FCC與BCC。
以Cu Kα射線（波長0.15406 nm）進行銅（FCC）的粉末XRD時，最低角度側的峰出現在 2θ = 43.30°。銅的晶格常數最接近下列何者？
- A約0.209 nm
- B約0.295 nm
- C約0.362 nm
XRD中出現在 2θ = 38.2° 的峰，其半高寬（扣除儀器造成的展寬）為0.40°。以謝樂公式 D = Kλ/(β cosθ)，設 K = 0.9、λ = 0.15406 nm，微晶尺寸最接近下列何者？
- A約0.37 nm
- B約25 nm
- C約21 nm
查看答案與解析
正確答案：C. 約21 nm
半高寬換算成弧度 β = 0.40 × π/180 ≈ 6.98×10⁻³ rad，θ 則使用2θ的一半19.1°（cosθ ≈ 0.945）。D = 0.9 × 0.15406/(6.98×10⁻³ × 0.945) ≈ 21 nm。約0.37 nm 是β直接以度數0.40代入的錯誤，約25 nm 是以2θ的餘弦 cos38.2° 取代θ的錯誤。謝樂公式求得的不是晶粒本身，而是一致繞射的微晶大小。不均勻應變也會使峰變寬，嚴格來說要以Williamson-Hall法等將兩者分開。微晶變大時展寬太小，就無法精確求得。
常見問題
計算的強度與PDF卡的強度不一致。哪一個才正確？
兩者都正確，多半是表示的量不同。本工具的「積分強度」是峰的面積，PDF卡的強度通常是峰高。高角度時 Kα1 與 Kα2 分離，峰寬也變寬，因此峰高比面積小。請與表中的「曲線高度」（包含峰寬與 Kα2 的值）比較。若仍有大幅不同的反射，首先要懷疑優選取向（特定晶面排列一致）。
布拉格定律中的 n 是什麼？
是繞射的級數。n = 2 的 (110) 繞射，與晶面間距一半的 (220) 的1級繞射出現在相同角度。因此XRD中取 n = 1，以 (220) 這樣把指數乘上整數倍的晶面來表示。
為什麼BCC不出現 (100) 的繞射峰？
體心原子正好在頂點原子形成的 (100) 面的中間，形成密度相同的面，由此散射的波相差半個波長而互相抵消。以結構因子表示為 F = f[1 + e^{iπ(h+k+l)}]，h + k + l 為奇數時為0。
Cu Kα射線的波長是多少？
Kα1 為0.15406 nm，Kα2 為0.15444 nm，強度比約為 2 : 1。不加以區分時，使用加權平均 (2λ1 + λ2)/3 ≈ 0.15419 nm（依資料為0.15418 nm）。本工具的值是由X-ray Data Booklet的光子能量以 λ = hc/E 求得。Co Kα1 為0.17890 nm，Cr Kα1 為0.22898 nm，Fe Kα1 為0.19361 nm，Mo Kα1 為0.07093 nm。
謝樂公式的 β 是 2θ 的寬度還是 θ 的寬度？
是把 2θ 的寬度換算成弧度的值。直接以角度單位（度）代入會差57.3倍，使用 θ 的寬度則差2倍，兩者都是常見的錯誤。此外，若不扣除儀器寬度，會低估尺寸。
微晶尺寸與粒子大小相同嗎？
不一定相同。XRD求得的是連續完整晶體區域（微晶、晶域）的大小，若1個粒子由許多微晶構成，粒子會比微晶大得多。反之，若把應變造成的展寬當成尺寸造成的，會低估微晶的大小。
晶格常數的 ± 可信到什麼程度？
顯示的 ± 是由擬合殘差求得的標準誤差，表示讀取繞射峰位置的分散。不包含試樣高度偏移、零點偏移、溫度差異這類系統誤差。要減少系統誤差，請使用外插或含零點的擬合，可能的話再以Si等內標準校正角度。
六方晶或正方晶的試樣也能進行指數標定嗎？
本工具的指數標定只限立方晶。六方晶（HCP、纖鋅礦型）請在「圖譜」模式輸入 a 與 c，比對計算的位置與量得的繞射峰。一般晶系的指數標定，請使用ITO、TREOR、DICVOL等專用程式。
相關名詞
公式集
晶面間距（立方晶） 晶面間距（正方晶、斜方晶、六方晶） 布拉格定律 結構因子與繞射強度 謝樂公式 Williamson–Hall 公式 繞射峰位移與晶格應變 Vegard定律