Formelsammlung

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Nur für kubische Gitter (kubisch primitiv, BCC, FCC, Diamantstruktur, NaCl-Typ usw.). Für tetragonale, hexagonale und andere Gitter gilt die nachfolgende Formel „Netzebenenabstand (tetragonal, orthorhombisch, hexagonal)“. Die Formel gibt den Abstand der Ebenenschar an und gilt rechnerisch auch für (hkl), deren Reflex nach den Auslöschungsregeln fehlt.

Typische Fehler

Die Wurzel vergessen oder durch h + k + l teilen. (100) und (200) verwechseln: Im BCC-Gitter ist der (100)-Reflex ausgelöscht und erscheint als (200) mit d/2. nm und Å verwechseln (1 Å = 0,1 nm).

Beispiel

Cu (FCC, a = 0,36146 nm), (111)-Ebenen: d = 0,36146/√3 = 0,2087 nm. Für BCC-Fe (a = 0,28665 nm), (110): 0,28665/√2 = 0,2027 nm.

Rechentrainer Netzebenenabstand (kubisch) Gitterkonstante aus der ReflexlageRechner Kristallstruktur-Viewer XRD-Analyse-Werkbank

Begriffe Millersche Indizes Kubisch-flächenzentriertes Gitter (kfz) Kubisch-raumzentriertes Gitter (krz)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 3; Cullity (3. Aufl.) Kap. 2

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Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Die erste Form gilt für Gitter mit rechtwinkligen Achsen (kubisch, tetragonal, orthorhombisch), die zweite für hexagonale Gitter (a-Achsen unter 120°, c-Achse senkrecht dazu). Monokline und trikline Gitter erfordern die allgemeine Formel mit den Achsenwinkeln (Metrik des reziproken Gitters). In der hexagonalen Form sind h, k, l die drei Indizes von (hkil) ohne i.

Typische Fehler

Das i der vierstelligen Indizes (10−11) in die Formel einsetzen (i ergibt sich aus h und k). Die kubische Form 1/d² = (h² + k² + l²)/a² auf hexagonale Kristalle anwenden. In einer tetragonalen Zelle a und c vertauschen.

Beispiel

Tetragonales β-Sn (a = 0,58318 nm; c = 0,31818 nm), (101): aus 1/d² = 1/a² + 1/c² folgt d = 0,2793 nm. Hexagonales Mg (a = 0,32094 nm; c = 0,52107 nm), (101) (vierstellig (10−11)): aus 1/d² = 4/(3a²) + 1/c² folgt d = 0,2452 nm.

Rechner XRD-Analyse-Werkbank Kristallstruktur-Viewer

Begriffe Hexagonal dichteste Packung (hdP) Millersche Indizes

Quelle: Cullity (3. Aufl.) Kap. 2; Callister (10. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Bedingung für konstruktive Interferenz der an den Netzebenen gestreuten Wellen (kinematische Beugung). Ein Reflex existiert nur für λ ≤ 2d. Die Gleichung legt nur die Lage der Reflexe fest; die Intensitäten ergeben sich aus Strukturfaktor und LP-Faktor.

Typische Fehler

θ und 2θ verwechseln (Diffraktometer geben 2θ aus). Grad und Bogenmaß verwechseln. Kα1 mit der gemittelten Kα-Wellenlänge verwechseln. Einen Reflex einem nach den Auslöschungsregeln fehlenden (hkl) zuordnen.

Beispiel

Cu-Kα1 (λ = 0,15406 nm) an Cu (111) (d = 0,2087 nm): sinθ = λ/(2d) = 0,3691; θ = 21,66°; Reflexlage 2θ = 43,32°.

Rechentrainer Beugungswinkel 2θ (Bragg-Gleichung) Gitterkonstante aus der ReflexlageRechner XRD-Analyse-Werkbank

Begriffe Bragg-Gleichung XRD (Röntgenbeugung) Auslöschungsregeln

Quelle: Cullity (3. Aufl.) Kap. 3; Callister (10. Aufl.) Kap. 3

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Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Dichte eines fehlerfreien Kristalls; reale Werkstoffe weichen durch Leerstellen, Poren und Verunreinigungen etwas ab. Bei Verbindungen ist n die Zahl der Formeleinheiten und M die Formelmasse (NaCl-Typ: 4 Paare Na⁺ und Cl⁻).

Typische Fehler

a in nm in die dritte Potenz erheben (für g/cm³ nm → cm mit × 10⁻⁷ umrechnen). M in g/mol mit m³ kombinieren (für kg/m³ muss M in kg/mol stehen). n für BCC und FCC vertauschen.

Beispiel

BCC-Fe (n = 2; M = 55,845 g/mol; a = 0,28665 nm = 0,28665 × 10⁻⁷ cm): V_c = a³ = 2,355 × 10⁻²³ cm³; ρ = 2 × 55,845/(6,02214 × 10²³ × 2,355 × 10⁻²³) = 7,874 g/cm³ (Tabellenwert 7,87 g/cm³).

Rechentrainer Theoretische Dichte (kubisches Metall)Rechner Periodensystem für Werkstoffe Kristallstruktur-Viewer

Begriffe Kubisch-raumzentriertes Gitter (krz) Kubisch-flächenzentriertes Gitter (kfz)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: c/a

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Harte Kugeln berühren sich entlang der Würfelkante (kubisch primitiv), der Raumdiagonalen (BCC), der Flächendiagonalen (FCC) oder in der Basisebene (HCP). Der „Radius“ hängt von der Bindungsart ab (metallische Radien beziehen sich auf die Koordinationszahl 12).

Typische Fehler

Radius und Durchmesser verwechseln (4r in √3a = 4r sind zwei Durchmesser). Die Beziehungen für BCC und FCC vertauschen.

Beispiel

BCC-Fe (a = 0,28665 nm): r = √3a/4 = 0,1241 nm. FCC-Cu (a = 0,36146 nm): r = √2a/4 = 0,1278 nm.

Rechentrainer Gitterkonstante und AtomradiusRechner Kristallstruktur-Viewer

Begriffe Packungsdichte Kubisch-raumzentriertes Gitter (krz) Kubisch-flächenzentriertes Gitter (kfz) Hexagonal dichteste Packung (hdP)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 3

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Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Modell harter Kugeln. Metalle: kubisch primitiv 0,524; BCC 0,680; FCC und HCP 0,740; Diamant 0,340. In Ionenkristallen ergibt sich a aus der Richtung, in der sich Kation und Anion berühren (NaCl-Typ entlang der Kante, CsCl-Typ entlang der Raumdiagonalen).

Typische Fehler

In Ionenkristallen a aus der Berührung der Anionen untereinander bestimmen (nur bei kleinem Radienverhältnis richtig). Beim NaCl-Typ nur 1 Ionenpaar je Zelle zählen statt 4.

Beispiel

BCC: 2 × (4/3)π(√3a/4)³/a³ = √3π/8 = 0,6802; FCC: π/(3√2) = 0,7405. NaCl-Typ (Na⁺ 0,102 nm; Cl⁻ 0,181 nm; Kation und Anion berühren sich entlang der Würfelkante): a = 2(r₊ + r₋) = 0,5660 nm; Packungsdichte = 4 × (4/3)π(r₊³ + r₋³)/a³ = 0,646.

Rechentrainer Packungsdichte eines IonenkristallsRechner Kristallstruktur-Viewer

Begriffe Packungsdichte

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 3; Callister (10. Aufl.) Kap. 12

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Gezählt werden nur Atome, deren Mittelpunkt auf der Ebene (Linie) liegt. Zählt man im Schnitt einer Elementarzelle, werden Eck- und Kantenatome mit dem Anteil addiert, der im Schnitt liegt. Gleitebenen sind die am dichtesten belegten Ebenen, Gleitrichtungen die am dichtesten belegten Richtungen (FCC: {111}⟨110⟩; BCC: {110}⟨111⟩).

Typische Fehler

Auch Atome mitzählen, die die Ebene nur anschneiden. Für jede Ebene die Würfelfläche a² verwenden ((110) hat √2a², das (111)-Dreieck (√3/2)a²).

Beispiel

FCC-Al (a = 0,40496 nm), (111): Der Schnitt durch die Elementarzelle ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge √2a (Fläche (√3/2)a² = 0,1420 nm²) und enthält 3 × 1/6 + 3 × 1/2 = 2 Atome. Flächenbelegung PD = 14,08 nm⁻². Linienbelegung in [110]: 2/(√2a) = 3,492 nm⁻¹.

Rechentrainer Flächenbelegung (BCC, FCC)Rechner Kristallstruktur-Viewer

Begriffe Millersche Indizes Packungsdichte

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Gezählt wird im Sechseckprisma (drei primitive Elementarzellen): 12 Ecken × 1/6; 2 Grundflächen × 1/2; 3 im Inneren, zusammen 6 Atome. Die primitive Elementarzelle (Parallelepiped, (√3/2)a²c) enthält 2. Beides lässt sich direkt in die Formel der theoretischen Dichte einsetzen. Ideales c/a = √(8/3) = 1,633 (Mg 1,624; Zn 1,856; Ti 1,587).

Typische Fehler

Das Volumen des Prismas mit 2 Atomen oder die primitive Zelle mit 6 Atomen kombinieren (die Dichte ist dann um den Faktor 3 falsch).

Beispiel

Mg (a = 0,32094 nm; c = 0,52107 nm): c/a = 1,624 (nahe am Idealwert 1,633). Das Sechseckprisma (3√3/2)a²c = 1,394 × 10⁻²² cm³ enthält 6 Atome; mit M = 24,305 g/mol folgt ρ = 1,737 g/cm³ (Tabellenwert 1,74 g/cm³).

Rechner Kristallstruktur-Viewer Periodensystem für Werkstoffe

Begriffe Hexagonal dichteste Packung (hdP)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: r/R, r/R, r/R

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Oktaeder- und Tetraederlücken dichtester Packungen (FCC, HCP) und die Würfelmitte des kubisch primitiven Gitters. In Ionenkristallen ist es das kleinste Radienverhältnis, bei dem das Kation die Anionen noch berührt, und ein Anhaltspunkt für die Koordinationszahl (0,225–0,414: 4; 0,414–0,732: 6; ab 0,732: 8). Die Lücken im BCC-Gitter sind verzerrt: Oktaederlücke 0,155; Tetraederlücke 0,291.

Typische Fehler

Für die Oktaederlücke im BCC-Gitter den FCC-Wert 0,414 verwenden. Die Radienverhältnisregel ist nur ein Anhaltspunkt und versagt bei Verbindungen mit stark kovalentem Bindungsanteil.

Beispiel

γ-Fe (FCC, a ≈ 0,3647 nm): R = √2a/4 = 0,1289 nm; die Kugel, die in die Oktaederlücke passt, hat r = (√2 − 1)R = 0,0534 nm. Ein Kohlenstoffatom (Radius etwa 0,071 nm) ist größer und drückt die umgebenden Atome auseinander.

Rechner Kristallstruktur-Viewer

Begriffe Kubisch-flächenzentriertes Gitter (kfz)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 12; Askeland (7. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Kinematische Intensitäten für ein regellos orientiertes Pulver in Bragg-Brentano-Geometrie mit unendlich dicker Probe, ohne Absorption und Extinktion. Der LP-Faktor (1 + cos²2θ)/(sin²θ cosθ) fasst Polarisations- und Lorentz-Faktor zusammen (mit Monochromator ändert sich seine Form). Der Temperaturfaktor exp(−2B sin²θ/λ²) schwächt hohe Winkel ab. Auslöschungsregeln: BCC bei ungeradem h + k + l, FCC bei gemischt geraden und ungeraden h, k, l ist F = 0.

Typische Fehler

Intensitäten mit F statt mit |F|² vergleichen. Die Multiplizität weglassen. Reflexe mit gleichem d (z. B. BCC (411) und (330)) getrennt zählen.

Beispiel

Für FCC ist F = 4f, wenn h, k, l alle gerade oder alle ungerade sind, sonst 0. Al mit Cu-Kα1: (111) bei 2θ = 38,47°; f = 8,96; F = 35,8; LP = 15,7; Multiplizität 8. (200) bei 2θ = 44,72°; f = 8,51; F = 34,0; LP = 11,2; Multiplizität 6. Intensitätsverhältnis I(200)/I(111) = 0,48 (ohne Temperaturfaktor und anomale Dispersion).

Rechner XRD-Analyse-Werkbank

Begriffe Auslöschungsregeln XRD (Röntgenbeugung)

Quelle: Cullity (3. Aufl.) Kap. 4

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Wenn die Verbreiterung allein von der Kristallitgröße herrührt (den Beitrag der Dehnung trennt man mit Williamson-Hall). Brauchbar bis etwa 100 nm; darüber geht die Größenverbreiterung in der Gerätebreite unter. Die Gerätebreite β_i zieht man bei Gauß-Profilen als β² = β_m² − β_i², bei Lorentz-Profilen als β = β_m − β_i ab.

Typische Fehler

β in Grad einsetzen (in Bogenmaß umrechnen). Den 2θ-Wert als θ in den Kosinus einsetzen. Die Gerätebreite nicht abziehen. Das Ergebnis ist die Größe der kohärent streuenden Bereiche (Kristallite), nicht unbedingt die Korngröße.

Beispiel

Cu-Kα1; 2θ = 44,5°; gemessene Halbwertsbreite 0,55°; Gerätebreite 0,08° (Gauß-Profil: β = √(0,55² − 0,08²) = 0,5442° = 0,009497 rad); K = 0,9: D = 0,9 × 0,15406/(0,009497 × cos 22,25°) = 15,8 nm.

Rechner XRD-Analyse-Werkbank

Begriffe Scherrer-Gleichung XRD (Röntgenbeugung)

Quelle: Cullity (3. Aufl.) Kap. 5

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Setzt voraus, dass die Verbreiterung durch die Größe (1/cosθ) und durch die Dehnung (tanθ) beide Lorentz-förmig sind und sich einfach addieren. Man trägt β cosθ über 4 sinθ auf: Der Achsenabschnitt liefert D, die Steigung ε. Bei elastisch stark anisotropen Werkstoffen streuen die Punkte; dann verwendet man das modifizierte W-H-Verfahren.

Typische Fehler

Über sinθ auftragen und vergessen, die Steigung durch 4 zu teilen (4ε statt ε). D angeben, obwohl der Achsenabschnitt negativ oder nahe null ist (keine messbare Größenverbreiterung).

Beispiel

Mit den fünf Ni-Reflexen aus dem Beispiel der XRD-Analyse-Werkbank (2θ = 44,5°–98,4°; Gerätebreite 0,08° als Gauß-Profil abgezogen) ergibt die Ausgleichsgerade von β cosθ über 4 sinθ den Achsenabschnitt 6,924 × 10⁻³ rad und die Steigung ε = 1,50 × 10⁻³ (= 0,150 %). D = Kλ/Achsenabschnitt = 0,9 × 0,15406/6,924 × 10⁻³ = 20,0 nm.

Rechner XRD-Analyse-Werkbank

Begriffe Scherrer-Gleichung

Quelle: Williamson & Hall 1953; Cullity (3. Aufl.) Kap. 5

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Differenzierte Bragg-Gleichung, gültig für kleine Δd/d. Gleichmäßige Dehnung (Eigenspannungen, gelöste Atome, Wärmeausdehnung) verschiebt die Reflexe, ungleichmäßige Dehnung verbreitert sie. Bei gleichem Δd/d wächst die Verschiebung mit dem Winkel; genaue Gitterkonstanten bestimmt man daher an Reflexen bei hohen Winkeln.

Typische Fehler

Vorzeichen: Ein aufgeweitetes Gitter verschiebt 2θ zu kleineren Werten. Das Ergebnis ist im Bogenmaß (für Grad × 180/π). 2θ statt θ einsetzen. Auch ein Höhenfehler der Probe (Nullpunktfehler) verschiebt die Reflexe.

Beispiel

Cu (111) (2θ = 43,32°; θ = 21,66°), Gitter um 0,1 % aufgeweitet (Δd/d = 1,0 × 10⁻³): Δ(2θ) ≈ −2 × 1,0 × 10⁻³ × tan 21,66° = −7,94 × 10⁻⁴ rad = −0,0455° (Verschiebung zu kleineren Winkeln).

Rechner XRD-Analyse-Werkbank

Begriffe Bragg-Gleichung

Quelle: Cullity (3. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Erfahrungsregel für lückenlose Mischkristallreihen gleicher Kristallstruktur. Viele Legierungen weichen davon ab (nach oben oder unten gekrümmt); für eine genaue Bestimmung der Zusammensetzung verwendet man den gemessenen Zusammenhang des jeweiligen Systems. x ist ein Stoffmengenanteil, nicht wt%.

Typische Fehler

Für x wt% verwenden. Gitterkonstanten von Phasen mit unterschiedlicher Struktur verwenden.

Beispiel

Mischkristall aus Si (a = 0,54306 nm) und Ge (a = 0,56574 nm), gemessen a = 0,5500 nm: x_Ge = (0,5500 − 0,54306)/(0,56574 − 0,54306) = 0,306. Si–Ge weicht leicht nach unten von der Vegardschen Regel ab; für genaue Zusammensetzungen verwendet man eine korrigierte Beziehung.

Rechner XRD-Analyse-Werkbank

Begriffe Mischkristallverfestigung

Quelle: Cullity (3. Aufl.) Kap. 13

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Nur im Gleichgewicht. Zustandsdiagramme von Metallen und Keramiken gelten meist für konstanten Druck; dann verwendet man die Form mit +1. Die Mengen der Phasen zählen nicht zu den Freiheitsgraden.

Typische Fehler

Gefügebestandteile (z. B. Perlit) als Phasen zählen. Für ein Diagramm bei konstantem Druck +2 verwenden. Die Regel auf Nichtgleichgewichtsgefüge (Martensit) anwenden.

Beispiel

Eutektischer Punkt von Pb–Sn bei konstantem Druck (C = 2; Phasen α, β und Schmelze, P = 3): F = 2 − 3 + 1 = 0, Temperatur und alle drei Zusammensetzungen liegen fest (183 °C). Im Zweiphasengebiet ist F = 1 (legt man die Temperatur fest, sind beide Zusammensetzungen bestimmt). Tripelpunkt des Wassers (Druck variabel, C = 1, P = 3): F = 1 − 3 + 2 = 0.

Rechner Labor für binäre Zustandsdiagramme

Begriffe Gibbssche Phasenregel Eutektische Reaktion

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 9; Porter (3. Aufl.) Kap. 1

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Innerhalb eines Zweiphasengebiets im Gleichgewicht. Mit wt% erhält man Massenanteile, mit at% Stoffmengenanteile; für Volumenanteile rechnet man mit den Dichten der Phasen um. Auch die Anteile von Eutektikum oder voreutektoiden Gefügebestandteilen ergeben sich aus dem Hebelgesetz knapp über oder unter der Dreiphasenlinie.

Typische Fehler

Im Zähler den Hebelarm auf der Seite der gesuchten Phase verwenden (richtig ist der gegenüberliegende Arm). wt% und at% mischen. Die Zusammensetzung der Legierung statt des Konodenendes als Zusammensetzung einer Phase verwenden.

Beispiel

Cu–35 wt% Ni bei 1250 °C gehalten (Konodenenden C_L = 31,5 wt%; C_α = 42,5 wt%): W_L = (42,5 − 35)/(42,5 − 31,5) = 0,682; W_α = 0,318.

Rechentrainer Hebelgesetz (Massenanteile der Phasen)Rechner Labor für binäre Zustandsdiagramme Eisen-Kohlenstoff-Diagramm

Begriffe Hebelgesetz

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 9

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Knapp unter der eutektischen Temperatur nach Erstarrung im Gleichgewicht. Bei übereutektischen Legierungen ersetzt man α durch β und C_α durch C_β. Auch das Eutektikum selbst enthält α; die Menge der Phase α insgesamt ergibt sich daher aus einem eigenen Hebelgesetz mit C_β.

Typische Fehler

Anteile der Gefügebestandteile (Primärkristalle, Eutektikum) mit Anteilen der Phasen (α, β) verwechseln. Bei schneller Erstarrung (nahe Scheil) entsteht Eutektikum auch bei Zusammensetzungen, bei denen es im Gleichgewicht fehlt.

Beispiel

Pb–40 wt% Sn (untereutektisch) knapp unter 183 °C: Eutektikum W_e = (40 − 18,3)/(61,9 − 18,3) = 0,498; primäres α 0,502. Als Phasen gezählt: β = (40 − 18,3)/(97,8 − 18,3) = 0,273; α = 0,727 (einschließlich des α im Eutektikum).

Rechentrainer Anteile von Primärkristallen und EutektikumRechner Labor für binäre Zustandsdiagramme

Begriffe Eutektische Reaktion Hebelgesetz

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 9

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

System Fe–Fe₃C, langsam bis knapp unter 727 °C abgekühlt. Werte: eutektoider Punkt 0,76 wt% C; Löslichkeitsgrenze des Ferrits 0,022 wt%; Fe₃C 6,70 wt% (wie im Zustandsdiagramm und in den Fragen dieser Website; manche Lehrbücher verwenden 0,77 und 6,67).

Typische Fehler

Den Anteil des voreutektoiden Ferrits mit dem des gesamten Ferrits (einschließlich des Ferrits im Perlit) verwechseln. Die Formeln für unter- und übereutektoide Stähle vertauschen. Die Formeln auf schnelle Abkühlung wie beim Härten anwenden.

Beispiel

Stahl mit 0,40 wt% C (untereutektoid) knapp unter 727 °C: Perlit W_P = (0,40 − 0,022)/(0,76 − 0,022) = 0,512; voreutektoider Ferrit 0,488. Ferrit als Phase (einschließlich des Ferrits im Perlit): (6,70 − 0,40)/(6,70 − 0,022) = 0,943. Bei 1,00 wt% C (übereutektoid) beträgt der voreutektoide Zementit (1,00 − 0,76)/(6,70 − 0,76) = 0,0404.

Rechentrainer Voreutektoider Ferrit und ZementitRechner Eisen-Kohlenstoff-Diagramm

Begriffe Eutektoide Reaktion Perlit

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 9

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Für zwei Komponenten; bei mehr Komponenten steht im Nenner die Summe über alle Komponenten. Eignet sich auch zur Kontrolle der Zusammensetzung von Verbindungen (Fe₃C: 6,70 wt% C = 25 at% C).

Typische Fehler

Die Atommassen von A und B vertauschen. wt% direkt als Verhältnis der Atomzahlen verwenden.

Beispiel

Pb–Sn-Eutektikum mit 61,9 wt% Sn (Pb 207,2 g/mol; Sn 118,71 g/mol): x_Sn = (61,9/118,71)/(61,9/118,71 + 38,1/207,2) = 73,9 at%.

Rechentrainer Umrechnung von wt% und at%Rechner Labor für binäre Zustandsdiagramme

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 4

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Keine Diffusion im Festkörper, vollständige Durchmischung der Schmelze, lokales Gleichgewicht an der Phasengrenze und konstantes k (gerade Solidus- und Liquiduslinie). Damit schätzt man Seigerungen in Gussstücken und die Menge an Eutektikum, das im Gleichgewicht nicht entstünde. Für k < 1 ist die zuletzt erstarrende Schmelze am stärksten angereichert.

Typische Fehler

f_s und f_L vertauschen. k als Kehrwert (Liquidus zu Solidus) ansetzen. Das Ergebnis des Hebelgesetzes im Gleichgewicht erwarten (das Gleichgewicht setzt einen homogenen Festkörper voraus).

Beispiel

Al–4 wt% Cu (Zustandsdiagramm mit geraden Linien, k = 5,65/33,2 = 0,170): Bei halber Erstarrung (f_s = 0,5) hat der Festkörper an der Phasengrenze C_s = 0,170 × 4 × 0,5^(−0,830) = 1,21 wt%. Die Schmelze erreicht die eutektische Zusammensetzung 33,2 wt% bei f_L = (33,2/4)^(1/(k − 1)) = 0,0781: Etwa 7,8 % erstarren als Eutektikum, obwohl im Gleichgewicht keines entstünde.

Rechner Labor für binäre Zustandsdiagramme

Begriffe Eutektische Reaktion

Quelle: Scheil 1942; Porter (3. Aufl.) Kap. 4

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Statistische Verteilung der Atome, wobei sich nur die Mischungswärme als Ωx_A x_B schreiben lässt (reguläre Lösung). Für Ω > 2RT hat ΔG_mix zwei Minima, und es kommt zur Entmischung in zwei Phasen (Mischungslücke, spinodale Entmischung).

Typische Fehler

log₁₀ statt ln verwenden. T in °C einsetzen. Das Minuszeichen von ΔS_mix vergessen (ΔS_mix ist positiv).

Beispiel

Ideale Lösung (Ω = 0), x_B = 0,5; T = 1000 K: ΔG_mix = RT(0,5 ln 0,5 × 2) = −5763 J/mol; ΔS_mix = 5,763 J/(mol·K). Mit Ω = 20 kJ/mol beginnt die Entmischung in zwei Phasen unterhalb der kritischen Temperatur T_c = Ω/(2R) = 1203 K.

Rechner Labor für binäre Zustandsdiagramme

Begriffe Reguläre Lösung Mischungsentropie Spinodale Entmischung

Quelle: Porter (3. Aufl.) Kap. 1

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Kugelförmiger Keim, isotrope Grenzflächenenergie, kleines ΔT (ΔG_v nahe T_m linear angenähert). Bei heterogener Keimbildung wird ΔG* mit der Funktion des Benetzungswinkels S(θ) = (2 + cosθ)(1 − cosθ)²/4 multipliziert und damit kleiner.

Typische Fehler

Unterschiedliche Vorzeichenkonventionen (Callister setzt ΔH_f negativ an: r* = −2γT_m/(ΔH_f ΔT)). Die Schmelzwärme je Mol unverändert verwenden (durch das Molvolumen teilen). r* und Durchmesser verwechseln.

Beispiel

Reines Gold (Schmelzwärme L_v = 1,16 × 10⁹ J/m³; γ = 0,132 J/m²; T_m = 1337 K), um ΔT = 230 K unterkühlt: r* = 2 × 0,132 × 1337/(1,16 × 10⁹ × 230) = 1,32 nm; ΔG* = 9,68 × 10⁻¹⁹ J (dieselben Zahlen wie im Beispiel in Kapitel 10 von Callister).

Begriffe Kritischer Keimradius

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 10; Porter (3. Aufl.) Kap. 4

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: ktⁿ

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Isotherme Umwandlungen durch regellose Keimbildung und Wachstum (Rekristallisation, Perlitumwandlung usw.). Trägt man log(ln(1/(1 − y))) über log t auf, ist die Steigung n. Die Umwandlungsgeschwindigkeit wird oft als 1/t₀.₅ angegeben.

Typische Fehler

Für k die Einheit s⁻¹ annehmen (sie hängt von n ab). Die Gleichung unverändert auf eine Abkühlung mit veränderlicher Temperatur anwenden.

Beispiel

Mit n = 3 und der Halbwertszeit der Umwandlung t₀.₅ = 100 s ist k = ln 2/t₀.₅³ = 6,93 × 10⁻⁷ s⁻³. Nach 150 s ist y = 1 − exp(−k × 150³) = 0,904.

Begriffe Rekristallisation Perlit

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 10; Porter (3. Aufl.) Kap. 5

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: Q/RT

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Innerhalb eines Temperaturbereichs, in dem ein einziger Mechanismus (z. B. Volumendiffusion) bestimmend ist. Bei tiefen Temperaturen wirkt Diffusion entlang von Korngrenzen und Versetzungen, und das Arrhenius-Diagramm knickt ab. Über magnetische Umwandlungen oder Phasenumwandlungen hinweg (Fe) ändern sich D₀ und Q.

Typische Fehler

T in °C einsetzen. Q in kJ/mol durch R in J/(mol·K) teilen (Faktor 1000). eV/Atom und kJ/mol verwechseln (1 eV/Atom = 96,49 kJ/mol). Steigungen mit ln und log₁₀ verwechseln (mit log₁₀ ist die Steigung −Q/(2,303R)).

Beispiel

Kohlenstoff in γ-Fe (D₀ = 2,3 × 10⁻⁵ m²/s; Q = 148 kJ/mol) bei 1000 °C = 1273,15 K: Q/RT = 13,98; D = 1,95 × 10⁻¹¹ m²/s. Umgekehrt ergeben D = 5,92 × 10⁻¹² bei 900 °C und 5,39 × 10⁻¹¹ m²/s bei 1100 °C wieder Q = R ln(D₂/D₁)/(1/T₁ − 1/T₂) = 148,0 kJ/mol. Je Atom ist Q/N_A = 1,53 eV.

Rechentrainer Diffusionskoeffizient (Arrhenius)Rechner Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung

Begriffe Diffusionskoeffizient

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 5; Shewmon (2. Aufl.) Kap. 2

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Stationärer Zustand, in dem sich das Konzentrationsprofil nicht mit der Zeit ändert (z. B. Permeation von Wasserstoff durch eine Membran), mit konzentrationsunabhängigem D. Der Strom fließt von hoher zu niedriger Konzentration (Minuszeichen).

Typische Fehler

mm nicht in m umrechnen. Mit wt% rechnen (in Menge je Volumen umrechnen). Das Gesetz auf instationäre Aufgaben anwenden.

Beispiel

Stahlplatte bei 700 °C mit 1,2 kg/m³ Kohlenstoff in 5 mm und 0,8 kg/m³ in 10 mm Tiefe, D = 3 × 10⁻¹¹ m²/s (stationär): J = 3 × 10⁻¹¹ × (1,2 − 0,8)/(5 × 10⁻³) = 2,4 × 10⁻⁹ kg/(m²·s) (dieselben Zahlen wie im Beispiel in Kapitel 5 von Callister).

Rechentrainer Stationäre Diffusionsstromdichte (1. Ficksches Gesetz)

Begriffe Ficksche Gesetze Diffusionskoeffizient

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 5

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Allgemeine Gleichung, wenn sich das Konzentrationsprofil mit der Zeit ändert. Die Lösung hängt von den Randbedingungen ab: erfc für einen halbunendlichen Körper mit konstanter Oberflächenkonzentration, Gauß-Verteilung für eine feste Menge an der Oberfläche, erf für ein Diffusionspaar, Fourier-Reihen oder numerische Verfahren für eine Platte endlicher Dicke. Bei konzentrationsabhängigem D (Interdiffusion) braucht man die zweite Form.

Typische Fehler

Die erste Form mit vor die Ableitung gezogenem D verwenden, obwohl sich D stark ändert. Zwischen erfc- und Gauß-Lösung wählen, ohne die Randbedingungen zu prüfen.

Beispiel

Die Zeit, um Konzentrationsunterschiede über L = 50 µm (z. B. den Dendritenarmabstand) mit D = 1 × 10⁻¹³ m²/s auszugleichen, liegt in der Größenordnung L²/D = 2,5 × 10⁴ s (etwa 6,9 h). Nach der Form der Gleichung braucht die doppelte Strecke die vierfache Zeit.

Rechner Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung

Begriffe Ficksche Gesetze

Quelle: Crank (2. Aufl.) Kap. 2; Callister (10. Aufl.) Kap. 5

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: x/(2√(Dt))

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Halbunendlicher Körper (Diffusionslänge √(Dt) viel kleiner als die Dicke), konstantes D, konstante Oberflächenkonzentration (bzw. konstante Konzentrationen weit beiderseits der Grenzfläche eines Diffusionspaars). Da die Gleichung ein Verhältnis enthält, kann man die Kohlenstoffgehalte beim Aufkohlen auch in wt% einsetzen.

Typische Fehler

erf und erfc (= 1 − erf) verwechseln. Die 2 in 2√(Dt) vergessen. Die Zeit in Stunden einsetzen. C_s − C_x als Nenner des Verhältnisses verwenden.

Beispiel

Ein Stahl mit 0,25 wt% C wird bei 950 °C (D = 1,10 × 10⁻¹¹ m²/s; dieselben Daten wie im Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung) mit 1,20 wt% an der Oberfläche aufgekohlt, bis in 0,5 mm Tiefe 0,80 wt% erreicht sind: (0,80 − 0,25)/(1,20 − 0,25) = 0,5789 = 1 − erf z, also erf z = 0,4211; z = 0,3924; t = x²/(4z²D) = 3,69 × 10⁴ s = 10,2 h. Im Diffusionspaar ist an der Stelle x = √(Dt) (z = 0,5) C = (C_A + C_B)/2 − (C_A − C_B)/2 × erf 0,5, also ein Wert, der von C_A aus um das 0,760-Fache der Differenz C_A − C_B in Richtung C_B verschoben ist.

Rechentrainer Aufkohlungstiefe (Fehlerfunktion) Aufkohlungsdauer (Fehlerfunktion)Rechner Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung

Begriffe Aufkohlen Ficksche Gesetze Diffusionskoeffizient

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 5; Crank (2. Aufl.) Kap. 2

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Bei gleichen Randbedingungen (z. B. gleicher Oberflächenkonzentration), wenn das Konzentrationsprofil wie bei der Fehlerfunktions- oder der Gauß-Lösung nur von x/√(Dt) abhängt. Für die doppelte Tiefe braucht man die vierfache Zeit.

Typische Fehler

Die Tiefe proportional zur Zeit ansetzen (die Wurzel vergessen). Bei der Umrechnung T₁ und T₂ vertauschen (bei höherer Temperatur ist die Zeit kürzer).

Beispiel

Cu in Al (D₀ = 6,5 × 10⁻⁵ m²/s; Q = 136 kJ/mol): D = 4,22 × 10⁻¹⁴ bei 500 °C und 4,75 × 10⁻¹³ m²/s bei 600 °C. Um dieselbe Tiefe wie nach 10 h bei 500 °C zu erreichen, braucht man bei 600 °C t = 10 h × D₅₀₀/D₆₀₀ = 0,887 h. Für 10 h bei 500 °C ist √(Dt) = 39,0 µm.

Rechentrainer Diffusionszeit bei anderer TemperaturRechner Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung

Begriffe Diffusionskoeffizient

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 5

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: x²/(4Dt)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Eine feste, anfangs dünn an der Oberfläche aufgebrachte Menge M, die weder zu- noch abnimmt (kein Strom durch die Oberfläche) und sich in einen halbunendlichen Körper ausbreitet: Eintreiben (Drive-in) in der Halbleitertechnik, Tracerdiffusion. Für eine dünne Schicht im Inneren eines unendlichen Körpers, die sich nach beiden Seiten ausbreitet, gilt M/(2√(πDt)).

Typische Fehler

Die Vorfaktoren für den halbunendlichen und den unendlichen Körper verwechseln (1/√(πDt) und 1/(2√(πDt))). cm und m verwechseln (10¹⁴ cm⁻² = 10¹⁸ m⁻²; 1 cm²/s = 10⁻⁴ m²/s).

Beispiel

Bor in Si (D₀ = 0,76 cm²/s; E_a = 3,46 eV), 1 h bei 1100 °C eingetrieben (D = 1,52 × 10⁻¹⁷ m²/s), Menge M = 5 × 10¹⁸ m⁻² (5 × 10¹⁴ cm⁻²): Oberflächenkonzentration M/√(πDt) = 1,21 × 10²⁵ m⁻³. Die Tiefe, in der die Konzentration der Grundkonzentration 10²¹ m⁻³ gleich ist (Übergangstiefe), beträgt x_j = √(4Dt ln(C(0)/C_B)) = 1,43 µm.

Rechner Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung

Begriffe Ficksche Gesetze

Quelle: Crank (2. Aufl.) Kap. 3; Sze (3. Aufl.)

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Löst das 2. Ficksche Gesetz in einer Dimension bei konstantem D mit Vorwärtsdifferenz in der Zeit und zentraler Differenz im Ort. Für r > 1/2 schwingt die Lösung und divergiert. Verwendet für Bedingungen ohne analytische Lösung (Platten endlicher Dicke, veränderliche Oberflächenkonzentration usw.).

Typische Fehler

Das Gitter verfeinern, ohne Δt zu verkleinern (bei halbem Δx braucht man ein Viertel von Δt).

Beispiel

D = 1 × 10⁻¹¹ m²/s; Δx = 10 µm: Δt ≤ Δx²/(2D) = 5,0 s. Der Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung rechnet mit Sicherheitsabstand mit r = 0,4 (Δt = 4,0 s).

Rechner Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung

Begriffe Ficksche Gesetze

Quelle: Crank (2. Aufl.) Kap. 8

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: Q_v/kT

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Leerstellen im thermischen Gleichgewicht; der Faktor der Bildungsentropie exp(S_v/k) (etwa 1–10) ist weggelassen. In abgeschreckten Proben bleiben die Leerstellen der hohen Temperatur erhalten.

Typische Fehler

Q_v in eV durch k in J/K teilen (k in eV/K verwenden). T in °C einsetzen. Den Faktor 10⁶ bei der Umrechnung von ρ in g/cm³ auf m⁻³ vergessen.

Beispiel

Cu bei 1000 °C (ρ = 8,4 g/cm³; A = 63,5 g/mol; Q_v = 0,9 eV): N = N_A ρ/A = 7,97 × 10²⁸ m⁻³; Q_v/kT = 8,203; N_v = 2,2 × 10²⁵ m⁻³ (dieselben Zahlen wie im Beispiel in Kapitel 4 von Callister). Auf 3653 Atome kommt eine Leerstelle.

Rechentrainer Gleichgewichtskonzentration der Leerstellen

Begriffe Leerstelle

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 4

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Bei vollständigen Versetzungen ist b die kürzeste Gittertranslation zwischen nächsten Nachbaratomen (FCC a/2⟨110⟩, BCC a/2⟨111⟩, HCP a/3⟨11−20⟩ mit |b| = a). Die Shockley-Partialversetzung a/6⟨112⟩ im FCC-Gitter hat |b| = a/√6.

Typische Fehler

Den Faktor 1/2 in a/2⟨110⟩ vergessen und √2a erhalten. Die Richtungen für BCC und FCC vertauschen.

Beispiel

FCC-Cu (a = 0,36146 nm), a/2⟨110⟩: |b| = a/√2 = 0,2556 nm (gleich dem Abstand nächster Nachbarn). BCC-Fe (a = 0,28665 nm), a/2⟨111⟩: |b| = √3a/2 = 0,2482 nm.

Rechner Kristallstruktur-Viewer

Begriffe Burgersvektor Versetzung

Quelle: Hull & Bacon (5. Aufl.) Kap. 1; Callister (10. Aufl.) Kap. 7

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Umrechnungen nach ASTM E112. Die ursprüngliche Definition ist N = 2^G−1 (Zahl der Körner je Quadratzoll im Bild bei 100-facher Vergrößerung). JIS G 0551 (ISO 643) verwendet m = 8 × 2^G je mm², was für dasselbe Gefüge eine um etwa 0,05 kleinere Kennzahl ergibt. Die Umrechnung der Korngröße in einen Durchmesser (etwa d ≈ ℓ̄) ist eine Konvention.

Typische Fehler

Eine größere Kennzahl bedeutet feinere Körner. Zählungen aus Bildern mit anderer als 100-facher Vergrößerung direkt verwenden (auf Originalgröße umrechnen).

Beispiel

Korngrößenkennzahl G = 6: bei 100-facher Vergrößerung 2⁵ = 32 Körner je Quadratzoll, in Originalgröße N_A = 15,50 × 32 = 496 mm⁻². Mittlere Sehnenlänge ℓ̄ = 0,3200 × 2^(−3) = 40,0 µm.

Zum Weiterlesen Gefügeatlas

Begriffe Hall-Petch-Beziehung

Quelle: ASTM E112

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Linear-elastisches Verhalten (unterhalb der Proportionalitätsgrenze), kleine Dehnungen, einachsiger Zug oder Druck eines Stabs mit gleichbleibendem Querschnitt. Nach dem Fließbeginn gilt die Formel nicht mehr. Bei Stäben mit wechselndem Querschnitt berechnet man die Verlängerung abschnittsweise und addiert sie.

Typische Fehler

Den Durchmesser als Radius verwenden (πd² ist viermal zu groß). MPa und GPa verwechseln (N/mm² und kN/mm²). Die Formel bei Lasten oberhalb der Streckgrenze verwenden.

Beispiel

Ein Cu-Stab wird mit σ = 276 MPa gezogen (l₀ = 305 mm; E = 110 GPa; elastisch): ε = 276/110000 = 2,51 × 10⁻³; Δl = εl₀ = 0,765 mm. Bei einem Stab mit 10 mm Durchmesser ist F = σA = 276 × 78,54 = 21,68 kN.

Rechentrainer Elastische Verlängerung

Begriffe Elastizitätsmodul (E-Modul)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 6

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Isotropes, linear-elastisches Verhalten. Bei plastischer Verformung bleibt das Volumen nahezu konstant, sodass sich das scheinbare Verhältnis 0,5 nähert.

Typische Fehler

Vorzeichen (unter Zug nimmt der Durchmesser ab). Die Durchmesseränderung als Radiusänderung behandeln.

Beispiel

Kraft, die den Durchmesser eines Messingstabs (d₀ = 10 mm; ν = 0,34; E = 97 GPa) um 2,5 µm verringert: ε_x = −2,5 × 10⁻⁴; ε_z = −ε_x/ν = 7,35 × 10⁻⁴; σ = Eε_z = 71,3 MPa; F = σπd₀²/4 = 5602 N (dieselben Zahlen wie im Beispiel in Kapitel 6 von Callister).

Rechentrainer Querkontraktionszahl und Durchmesseränderung

Begriffe Elastizitätsmodul (E-Modul)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 6

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Nur für isotrope Körper (zwei unabhängige Konstanten). Gilt nicht für anisotrope Körper wie Einkristalle oder faserverstärkte Werkstoffe. Bei Wärmedehnung addiert man αΔT. Für ν → 0,5 geht K → ∞ (inkompressibel).

Typische Fehler

Die Beziehungen auf anisotrope Werkstoffe anwenden (Si-Wafer, CFK). Weicht ein gemessener Tabellenwert G von E/(2(1 + ν)) ab, liegt das an Textur oder unterschiedlichen Messverfahren.

Beispiel

Al (E = 69 GPa; ν = 0,33): G = 69/(2 × 1,33) = 25,9 GPa; K = 69/(3 × 0,34) = 67,6 GPa. Stahlblech (E = 200 GPa; ν = 0,30) unter gleichmäßig zweiachsigem Zug σ_x = σ_y = 100 MPa: ε_x = (100 − 0,30 × 100)/200000 = 3,5 × 10⁻⁴; ε_z = −0,30 × 200/200000 = −3,0 × 10⁻⁴.

Rechner Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung

Begriffe Elastizitätsmodul (E-Modul)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 6; Dowling (4. Aufl.) Kap. 5

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Die Formen mit (1 + ε) setzen konstantes Volumen voraus und gelten nur bis zum Beginn der Einschnürung (Gleichmaßdehnung). Nach der Einschnürung verwendet man σ_T = F/A_i mit dem tatsächlich gemessenen kleinsten Querschnitt (dazu kommt noch die Korrektur der Mehrachsigkeit nach Bridgman).

Typische Fehler

σ(1 + ε) auch nach der Einschnürung verwenden. Bei Druck ist ε negativ und σ_T kleiner. Die wahre Dehnung mit log₁₀ berechnen.

Beispiel

Technische Spannung 400 MPa bei einer technischen Dehnung von 0,20 (vor der Einschnürung): σ_T = 400 × 1,20 = 480 MPa; ε_T = ln 1,20 = 0,182.

Rechentrainer Wahre Spannung und wahre Dehnung

Begriffe Kaltverfestigung

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 6

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

%EL hängt von der Messlänge ab (der Anteil des Einschnürbereichs ist unterschiedlich); man gibt daher die Probennorm an (z. B. japanische Norm JIS 14A, ASTM mit 50 mm). %RA hängt nicht von der Messlänge ab.

Typische Fehler

Die Brucheinschnürung aus dem Verhältnis der Durchmesser berechnen (die Fläche geht mit dem Quadrat). Die wahre Bruchspannung mit dem Anfangsquerschnitt berechnen.

Beispiel

Eine Stahlprobe mit 12,8 mm Durchmesser bricht bei einer technischen Spannung von 460 MPa; der Durchmesser an der Bruchstelle beträgt 10,7 mm: %RA = (128,7 − 89,9)/128,7 × 100 = 30,1 %; wahre Bruchdehnung ln(A₀/A_f) = 0,358; wahre Bruchspannung = 460 × A₀/A_f = 658 MPa (dieselben Zahlen wie im Beispiel in Kapitel 6 von Callister).

Rechentrainer Brucheinschnürung und wahre Bruchspannung

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 6

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Gleichmäßige plastische Verformung zwischen Fließbeginn und Einschnürung. n und K bestimmt man in dem Bereich, in dem die doppelt logarithmische Auftragung eine Gerade ergibt. Aus der Einschnürbedingung dσ_T/dε_T = σ_T folgt ε_T = n.

Typische Fehler

Mit technischer Spannung und Dehnung anpassen. Annehmen, n hänge davon ab, ob man log₁₀ oder ln verwendet (als Verhältnis ist es dasselbe).

Beispiel

Eine Legierung mit K = 1035 MPa zeigt bei einer wahren Dehnung von 0,10 eine wahre Spannung von 415 MPa: n = ln(415/1035)/ln 0,10 = 0,40. Die Einschnürung beginnt bei ε_T = n ≈ 0,40.

Begriffe Kaltverfestigung

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 6; Dowling (4. Aufl.) Kap. 15

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Linear-elastisch bis zur Streckgrenze. Für Federn wählt man Werkstoffe mit großem U_r (hohe Streckgrenze σ_y, niedriger E-Modul). Nicht dasselbe wie die Zähigkeit (Fläche bis zum Bruch).

Typische Fehler

Übersehen, dass 1 J/m³ = 1 Pa ist. Mit der Zähigkeit verwechseln.

Beispiel

Stahl mit σ_y = 350 MPa und E = 207 GPa: U_r = (350 × 10⁶)²/(2 × 207 × 10⁹) = 2,96 × 10⁵ J/m³ (= 296 kJ/m³).

Begriffe 0,2-%-Dehngrenze (Rp0,2) Elastizitätsmodul (E-Modul)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 6

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Vielkristalle mit Korngrößen über etwa 10 nm; feinere Körner können wieder weicher werden (inverse Hall-Petch-Beziehung). Verglichen werden geglühte Zustände mit gleicher Ausscheidung und Textur.

Typische Fehler

d in µm mit k_y in MPa·√m kombinieren (in m umrechnen). Über d statt über 1/√d auftragen. Die Korngrößenkennzahl mit dem Korndurchmesser verwechseln.

Beispiel

Stahl mit σ₀ = 70 MPa und k_y = 0,74 MPa·√m: Bei d = 20 µm ist σ_y = 70 + 0,74/√(2 × 10⁻⁵) = 235,5 MPa; bei d = 5 µm 400,9 MPa. Ein Viertel der Korngröße verdoppelt den k_y-Term.

Rechentrainer Hall-Petch-BeziehungZum Weiterlesen Gefügeatlas

Begriffe Hall-Petch-Beziehung

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 7; Hull & Bacon (5. Aufl.) Kap. 10

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Einkristalle unter einachsigem Zug oder Druck. Von den Gleitsystemen beginnt dasjenige mit dem größten Schmid-Faktor cosφ cosλ (höchstens 0,5) als erstes zu gleiten. In kubischen Kristallen erhält man den Kosinus aus dem Skalarprodukt der Indizes: cosφ = (Achse · Normale)/(|Achse||Normale|).

Typische Fehler

φ + λ = 90° annehmen (gilt im Allgemeinen nicht). Eine Gleitrichtung wählen, die nicht in der Gleitebene liegt. Den Sinus verwenden.

Beispiel

Ein BCC-Fe-Einkristall wird in [010] mit 52 MPa gezogen; Gleitsystem (110)[−111]: cosφ = 1/√2 = 0,7071 (φ = 45°); cosλ = 1/√3 = 0,5774 (λ = 54,7°); τ_R = 52 × 0,7071 × 0,5774 = 21,2 MPa. Bei einer kritischen Schubspannung von 30 MPa beträgt die Fließspannung 30/0,4082 = 73,5 MPa (dieselben Zahlen wie im Beispiel in Kapitel 7 von Callister).

Rechentrainer Schubspannung im Gleitsystem (Schmidsches Schubspannungsgesetz)Rechner Kristallstruktur-Viewer

Begriffe Versetzung

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 7

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Minimale Masse, wenn die Querschnittsabmessungen frei gewählt werden dürfen. Der Index hängt von Bauteilform, Belastungsart und den festgehaltenen Größen ab. Im Werkstoffschaubild sind die Werkstoffe oberhalb der Geraden konstanten Index (Steigungen 1; 2; 3) die Kandidaten.

Typische Fehler

Für einen Balken E/ρ verwenden (Balken: √E/ρ). Indizes mit uneinheitlichen Einheiten vergleichen.

Beispiel

Leichter, biegesteifer Balken (Index √E/ρ; E in GPa, ρ in g/cm³): Al-Legierung √70/2,70 = 3,10; Stahl √210/7,85 = 1,85. Bei gleicher Biegesteifigkeit wiegt der Al-Balken 1/1,68 des Stahlbalkens. Für einen Zugstab (E/ρ) sind beide fast gleich (25,9 und 26,8).

Rechner Werkstoffschaubild

Begriffe Materialindex (Leistungsindex) Spezifische Steifigkeit Werkstoffschaubild (Ashby-Diagramm)

Quelle: Ashby (5. Aufl.) Kap. 5

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: a/ρ_t

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Elliptisches Loch in einer unendlich ausgedehnten Platte, senkrecht zur großen Achse auf Zug belastet, linear-elastisch. Bei scharfen Rissen (ρ_t → 0) wird die Spannung unendlich; dann arbeitet man mit dem Spannungsintensitätsfaktor K. Für K_t realer Bauteile verwendet man die Diagramme für die jeweilige Geometrie.

Typische Fehler

Bei einem inneren Riss die ganze Länge für a einsetzen (halbe Länge verwenden). a und ρ_t nicht in derselben Einheit einsetzen (mm und µm).

Beispiel

Oberflächenriss der Tiefe a = 0,5 mm mit dem Spitzenradius ρ_t = 5 µm unter σ₀ = 100 MPa: a/ρ_t = 100; K_t = 1 + 2√100 = 21,0; σ_max = 2100 MPa (die Näherung 2σ₀√(a/ρ_t) ergibt 2000 MPa).

Rechentrainer Spannungskonzentration an der Rissspitze

Begriffe Kerbformzahl (Formzahl) Griffith-Theorie

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 8; Anderson (4. Aufl.) Kap. 2

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Ideal spröde Werkstoffe wie Glas. In Metallen ist die plastische Arbeit γ_p tausendfach größer als γ_s; man verwendet daher die Form, in der 2γ_s durch G_c (Bruchzähigkeit) ersetzt ist (die Form mit K_IC).

Typische Fehler

Bei Metallen nur mit γ_s rechnen (die Bruchspannung wird viel zu klein). Die 2 in 2γ_s vergessen.

Beispiel

Glasplatte (E = 69 GPa; Oberflächenenergie γ_s = 0,3 J/m²) unter 40 MPa Zug: größter zulässiger Oberflächenriss a = 2Eγ_s/(πσ²) = 8,2 µm.

Begriffe Griffith-Theorie

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 8; Anderson (4. Aufl.) Kap. 2

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Linear-elastische Bruchmechanik (LEBM): Die plastische Zone an der Rissspitze ist klein gegenüber Riss und Bauteilquerschnitt (Kleinbereichsfließen). Liegt die Bruchspannung nahe der Streckgrenze, fließt das Bauteil zuerst (Fließen vor Bruch). K_IC ist der Wert, der bei einer Dicke für den ebenen Dehnungszustand gemessen wurde (E399).

Typische Fehler

Bei einem inneren Riss die ganze Länge für a einsetzen. a in mm unter die Wurzel setzen (für MPa·√m in m). Y stets gleich 1 annehmen.

Beispiel

Oberflächenriss (Y = 1,12) in Stahl mit K_IC = 60 MPa·√m: Bei 300 MPa beträgt die kritische Risstiefe a_c = (1/π)(60/(1,12 × 300))² = 10,2 mm. Mit einem 5 mm tiefen Riss ist die Bruchspannung σ_c = 60/(1,12√(π × 0,005)) = 427 MPa.

Rechentrainer Bruchzähigkeit und Bruchspannung Kritische Rissgröße

Begriffe Spannungsintensitätsfaktor Bruchzähigkeit Fließen vor Bruch

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 8; Anderson (4. Aufl.) Kap. 2

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Linear-elastisch, Modus I. Der Riss wächst, wenn G ≥ G_c (die verallgemeinerte Griffith-Bedingung). Bei gemischten Modi gilt G = (K_I² + K_II²)(1 − ν²)/E + K_III²(1 + ν)/E.

Typische Fehler

Ebenen Spannungs- und ebenen Dehnungszustand verwechseln. K in MPa·√m einsetzen, ohne in Pa·√m umzurechnen.

Beispiel

K_IC = 50 MPa·√m; E = 210 GPa; ν = 0,3 (ebener Dehnungszustand): G_IC = K²(1 − ν²)/E = 10,8 kJ/m².

Begriffe Energiefreisetzungsrate

Quelle: Anderson (4. Aufl.) Kap. 2

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Abschätzung erster Ordnung nach Irwin (im ebenen Dehnungszustand etwa ein Drittel). 2,5(K_IC/σ_y)² ist die Gültigkeitsbedingung nach ASTM E399; dünnere Proben nähern sich dem ebenen Spannungszustand und zeigen eine höhere scheinbare Zähigkeit.

Typische Fehler

r_p als Durchmesser behandeln. Einen an dünnem Blech gemessenen Wert als K_IC bezeichnen.

Beispiel

K = 50 MPa·√m; σ_y = 500 MPa: plastische Zone im ebenen Spannungszustand r_p = (1/2π)(50/500)² = 1,59 mm (im ebenen Dehnungszustand etwa ein Drittel). Für eine gültige K_IC-Messung müssen Dicke und Risslänge mindestens 2,5(K_IC/σ_y)² = 25,0 mm betragen.

Begriffe Bruchzähigkeit Fließen vor Bruch

Quelle: Anderson (4. Aufl.) Kap. 2; ASTM E399

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Bereich II des Risswachstums: oberhalb des Schwellenwerts von ΔK, mit K_max deutlich unterhalb von K_IC. Diese Form enthält keinen Einfluss der Mittelspannung (R). Ändert sich Y mit der Risslänge, integriert man numerisch.

Typische Fehler

C verwenden, ohne zu prüfen, auf welche Einheiten es sich bezieht (MPa·√m und m?). K_max statt ΔK einsetzen. Den Fall m = 2 mit derselben Formel integrieren (er ergibt eine logarithmische Form).

Beispiel

Δσ = 100 MPa (Druckanteil nicht gezählt); Anfangsoberflächenriss 2,0 mm; K_IC = 25 MPa·√m; Y = 1,0; C = 1,0 × 10⁻¹²; m = 3 (Einheiten MPa·√m und m): kritische Risslänge a_c = (1/π)(25/100)² = 19,9 mm; N_f = [a_c^(−1/2) − a₀^(−1/2)]/[C(Δσ√π)³(−1/2)] = 5,48 × 10⁶ Lastwechsel (dieselben Bedingungen wie im Beispiel in Kapitel 8 von Callister).

Begriffe Paris-Gesetz Schwingstreifen Spannungsintensitätsfaktor

Quelle: Paris & Erdogan 1963; Callister (10. Aufl.) Kap. 8; Anderson (4. Aufl.) Kap. 10

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Wechselbeanspruchung ohne Mittelspannung mit konstanter Amplitude an glatten Proben. Bei hohen Lastwechselzahlen überwiegt der elastische Term, unterhalb von etwa 10⁴ Lastwechseln der plastische. Mittelspannungen berücksichtigt man mit Korrekturen wie der nach Morrow, veränderliche Lasten in Kombination mit der Miner-Regel.

Typische Fehler

Umkehrpunkte 2N_f und Lastwechsel N_f verwechseln. Amplitude und Schwingbreite (Faktor 2) verwechseln.

Beispiel

Angenommene Konstanten σ_f′ = 1000 MPa; b = −0,09; ε_f′ = 0,6; c = −0,6; E = 200 GPa: Bei N_f = 10⁴ Lastwechseln ist die Dehnungsamplitude elastisch 2,05 × 10⁻³ + plastisch 1,58 × 10⁻³ = 3,63 × 10⁻³. Übergangslebensdauer, bei der elastischer und plastischer Anteil gleich sind: N_t = 5968 Lastwechsel. Eine Spannungsamplitude von 400 MPa (hohe Lastwechselzahl) ergibt nach Basquin N_f = (400/1000)^(1/b)/2 = 1,32 × 10⁴ Lastwechsel.

Begriffe Dauerfestigkeit

Quelle: Dowling (4. Aufl.) Kap. 9; Dowling (4. Aufl.) Kap. 14

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: σ_a/σ_e, σ_m/σ_u

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Lineare Abschätzung auf der sicheren Seite dafür, wie eine Zugmittelspannung die Schwingfestigkeit senkt. Bei duktilen Werkstoffen passt die Parabel nach Gerber ((σ_m/σ_u)²) besser zu Messwerten; ist das Fließen maßgebend, verwendet man Soderberg (σ_y statt σ_u). Druckmittelspannungen werden meist nicht angerechnet.

Typische Fehler

Die Schwingbreite als Amplitude einsetzen (halbieren). R = −1 (Wechselbeanspruchung) und R = 0 (Zugschwellbeanspruchung) verwechseln.

Beispiel

Dauerfestigkeit σ_e = 300 MPa (wechselnd), Zugfestigkeit σ_u = 800 MPa, Mittelspannung 200 MPa: zulässige Spannungsamplitude σ_a = 300(1 − 200/800) = 225 MPa; σ_max = 200 + 225 = 425 MPa; σ_min = −25 MPa; R = −0,059.

Begriffe Modifiziertes Goodman-Diagramm Dauerfestigkeit

Quelle: Dowling (4. Aufl.) Kap. 10; Callister (10. Aufl.) Kap. 8

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Näherung, die den Einfluss der Lastreihenfolge vernachlässigt. Werden zuerst hohe, dann niedrige Spannungen aufgebracht, tritt der Bruch eher bei D < 1 ein; bei umgekehrter Reihenfolge kann D > 1 werden. In der Auslegung begrenzt man D manchmal auf etwa 0,3–0,5.

Typische Fehler

Lastwechsel unterhalb der Dauerfestigkeit nicht zählen oder N_i = ∞ setzen (wächst ein Riss, schädigen auch niedrige Spannungen).

Beispiel

2 × 10⁴ Lastwechsel auf einem Niveau mit der Lebensdauer 10⁵ (0,2) und 3 × 10⁵ Lastwechsel auf einem Niveau mit 10⁶ (0,3): Schadenssumme D = 0,50. Auf einem Niveau mit der Lebensdauer 10⁷ verbleiben noch (1 − 0,50) × 10⁷ = 5,0 × 10⁶ Lastwechsel.

Begriffe Miner-Regel

Quelle: Dowling (4. Aufl.) Kap. 9

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Spröde Werkstoffe, die an der schwächsten Stelle versagen (Modell des schwächsten Glieds), hier für gleichmäßigen Zug über das Volumen geschrieben; bei ungleichmäßiger Spannung wie unter Biegung verwendet man das effektive Volumen. m ist die Steigung der Geraden von ln ln(1/(1 − P_f)) über ln σ.

Typische Fehler

Biegefestigkeiten unverändert auf zugbeanspruchte Bauteile übertragen (das effektive Volumen ist anders). P_f mit der Überlebenswahrscheinlichkeit P_s = 1 − P_f verwechseln.

Beispiel

Keramik mit dem Weibull-Modul m = 10 und σ₀ = 300 MPa (Probenvolumen V₀) bei 200 MPa: P_f = 1 − exp[−(200/300)¹⁰] = 0,0172. Bei einem Bauteil mit zehnfachem Volumen sinkt die Spannung für dieselbe Bruchwahrscheinlichkeit auf das (1/10)^(1/10) = 0,794-Fache.

Begriffe Weibull-Modul

Quelle: Weibull 1951; Callister (10. Aufl.) Kap. 12

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Wenn α im betrachteten Temperaturbereich als konstant gelten kann (über einen weiten Bereich α(T) integrieren). Die Beziehung 3α für das Volumen gilt nur für isotrope Werkstoffe (bei anisotropen Kristallen und Faserverbunden je nach Richtung verschieden).

Typische Fehler

Den Faktor 10⁻⁶ in 10⁻⁶ K⁻¹ vergessen. Mit einer absoluten Temperatur statt einer Temperaturdifferenz multiplizieren. Eine Differenz in °C ist gleich einer Differenz in K (ΔT darf in beiden Einheiten stehen).

Beispiel

Messingdraht (α = 20 × 10⁻⁶ K⁻¹), 15 m lang, von 40 °C auf −9 °C abgekühlt: ΔL = 20 × 10⁻⁶ × 15 × (−49) = −1,47 × 10⁻² m = −14,7 mm (Verkürzung). Das Volumen nimmt mit 3α um 0,29 % ab.

Rechentrainer WärmeausdehnungRechner Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung

Begriffe Längenausdehnungskoeffizient Invar

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 19

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Vollständig behinderte Ausdehnung (Gesamtdehnung null), linear-elastisch. Erwärmen erzeugt Druck-, Abkühlen Zugspannungen. Bei teilweiser Behinderung oder ortsabhängiger Temperatur siehe die Formeln im Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung.

Typische Fehler

Vorzeichen verwechseln. Für eine Platte (zweiachsig) die einachsige Formel verwenden. Werte oberhalb der Streckgrenze unverändert verwenden.

Beispiel

Messingstab, an beiden Enden eingespannt (E = 100 GPa; α = 20 × 10⁻⁶ K⁻¹), von 20 °C aus erwärmt: Damit die Druckspannung höchstens 172 MPa erreicht, darf ΔT = 172/(100000 × 20 × 10⁻⁶) = 86,0 K betragen, also T = 106 °C. In einer zweiachsig behinderten Platte (ν = 0,35) ist die Spannung bei gleichem ΔT um den Faktor 1/(1 − ν) = 1,54 größer.

Rechentrainer Wärmespannung in einem eingespannten StabRechner Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung

Begriffe Wärmespannung Längenausdehnungskoeffizient

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 19; Timoshenko & Goodier (3. Aufl.) Kap. 13

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Schicht viel dünner als das Substrat (das Substrat verformt sich nicht), in der Schichtebene isotrop, linear-elastisch. Die Beschichtungstemperatur gilt als spannungsfrei (Eigenspannungen aus dem Schichtwachstum werden gesondert addiert).

Typische Fehler

Die Reihenfolge in (α_f − α_s) und (α_s − α_f) verwechseln. 1 − ν weglassen (einachsige Form). Die Anisotropie einkristalliner Substrate und Schichten vernachlässigen.

Beispiel

Al-Schicht (E_f = 70 GPa; ν_f = 0,33; α_f = 23,1 × 10⁻⁶ K⁻¹) auf einem Si-Substrat (α_s = 2,6 × 10⁻⁶ K⁻¹), bei 400 °C spannungsfrei, auf 25 °C abgekühlt: σ_f = (70000/0,67) × (2,6 − 23,1) × 10⁻⁶ × (−375) = 803 MPa (Zug). Tatsächlich fließt das Al, sodass dieser elastische Wert nicht erreicht wird.

Rechentrainer Wärmespannung in dünnen Schichten (äquibiaxial)Rechner Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung

Begriffe Wärmespannung

Quelle: Timoshenko & Goodier (3. Aufl.) Kap. 13

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

t_f ≪ t_s, Durchbiegung kleiner als die Substratdicke, isotropes Substrat (für Si(100) den biaxialen Modul 180 GPa verwenden). Die elastischen Konstanten der Schicht werden nicht benötigt.

Typische Fehler

t_s und t_f vertauschen (t_s geht quadratisch ein). Die Krümmung vor der Beschichtung nicht abziehen. Durchmesser und Radius verwechseln (Krümmungsradius).

Beispiel

Ein (100)-Si-Wafer (biaxialer Modul E_s/(1 − ν_s) = 180 GPa; Dicke 0,525 mm) mit einer 1 µm dicken Schicht verbiegt sich auf einen Krümmungsradius von 50 m: σ_f = 180 × 10⁹ × (0,525 × 10⁻³)²/(6 × 10⁻⁶ × 50) = 165 MPa.

Rechner Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung

Begriffe Wärmespannung

Quelle: Stoney 1909

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Zwei parallele Stäbe, an beiden Enden verbunden, ohne äußere Kraft, mit gleichmäßiger Temperatur, linear-elastisch und ohne Biegung. Wirkt zusätzlich eine äußere Last, setzt man sie auf die rechte Seite des Kräftegleichgewichts.

Typische Fehler

Für einen der Stäbe einfach den Wert bei vollständiger Behinderung (EαΔT) verwenden. Unterschiedliche Querschnitte vernachlässigen.

Beispiel

Ein Stahlstab (E = 200 GPa; α = 12 × 10⁻⁶) und ein Al-Stab (70 GPa; 23 × 10⁻⁶) mit gleichem Querschnitt (100 mm²), an beiden Enden verbunden und um 100 K erwärmt: Spannung im Stahl σ₁ = −(12 − 23) × 10⁻⁶ × 100/(1/200000 + 1/70000) = 57,0 MPa (Zug), Spannung im Al σ₂ = −57,0 MPa (Druck).

Rechentrainer Wärmespannung in einem Verbundstab (Bimetall)Rechner Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung

Begriffe Wärmespannung Längenausdehnungskoeffizient

Quelle: Timoshenko & Goodier (3. Aufl.) Kap. 13; Callister (10. Aufl.) Kap. 19

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Zweischichtiger Balken ohne Behinderung in Breitenrichtung (Balken im ebenen Spannungszustand), linear-elastisch, gleichmäßige Temperatur. Bei breiten Platten ersetzt man E durch E/(1 − ν).

Typische Fehler

Die Krümmungsrichtung verwechseln (die Schicht mit der größeren Ausdehnung liegt auf der konvexen Seite). Für h die Dicke nur einer Schicht verwenden.

Beispiel

Zwei Schichten zu je 0,5 mm mit gleichem E-Modul, Unterschied der Ausdehnungskoeffizienten 18 × 10⁻⁶ K⁻¹, um 50 K erwärmt (Δε = 9,0 × 10⁻⁴): mit m = n = 1 ist κ = 3Δε/(2h) = 1,35 m⁻¹ (Krümmungsradius 0,741 m).

Rechner Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung

Begriffe Wärmespannung

Quelle: Timoshenko 1925

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Beginn der Rissbildung, wenn eine Platte aus sprödem Werkstoff an der Oberfläche plötzlich abgekühlt (oder erwärmt) wird. Je größer β (scharfes Abschrecken, dicke Platte, geringe Wärmeleitfähigkeit), desto näher liegt der Wert an R. Festigkeitsstreuung und Rissausbreitung (R‴ usw.) werden gesondert betrachtet.

Typische Fehler

Für a die ganze Plattendicke einsetzen (die Hälfte verwenden). Den Faktor 10⁻⁶ in α vergessen. Vergessen, dass sich die Richtung der Oberflächenspannung zwischen Erwärmen und Abkühlen umkehrt.

Beispiel

Aluminiumoxid (Daten aus dem Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung: σ_f = 310 MPa; ν = 0,23; E = 360 GPa; α = 7,2 × 10⁻⁶ K⁻¹; κ = 29 W/(m·K)): R = 92,1 K; R′ = κR = 2671 W/m. Eine 10 mm dicke Platte (a = 5 mm) wird in Wasser abgeschreckt (h ≈ 10⁴ W/(m²·K)): β = ah/κ = 1,72; kritische Temperaturdifferenz ΔT_c ≈ R × (1,5 + 3,25/β − 0,5e^(−16/β)) = 312 K.

Rechner Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung

Begriffe Wärmespannung

Quelle: Kingery (2. Aufl.) Kap. 16; Manson 1966

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Stationärer Zustand mit temperaturunabhängigem κ. Bei geschichteten Wänden addiert man die Wärmewiderstände L/κ, bei Wärmeübergang an der Oberfläche (Konvektion) zusätzlich 1/h.

Typische Fehler

Die Dicke in mm einsetzen. Wärmeleitfähigkeit und Temperaturleitfähigkeit verwechseln.

Beispiel

Stahlplatte (κ = 50 W/(m·K)), 10 mm dick, Temperaturdifferenz zwischen beiden Seiten 100 K (stationär): q = 50 × 100/0,010 = 5,0 × 10⁵ W/m².

Rechentrainer Wärmestromdichte durch eine Platte

Begriffe Phonon

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 19

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Bestimmt die Geschwindigkeit der instationären Wärmeleitung; die Wärmeleitungsgleichung hat dieselbe Form wie das 2. Ficksche Gesetz, sodass sich z. B. erfc-Lösungen direkt übertragen lassen. Mit dem Laser-Flash-Verfahren misst man a und erhält die Wärmeleitfähigkeit aus κ = aρc_p.

Typische Fehler

c_p in J/(mol·K) einsetzen (je Masse verwenden). ρ in g/cm³ einsetzen.

Beispiel

Cu (κ = 398 W/(m·K); ρ = 8960 kg/m³; c_p = 385 J/(kg·K)): a = 1,15 × 10⁻⁴ m²/s. In 1 s dringt die Wärme größenordnungsmäßig √(at) = 10,7 mm weit ein.

Begriffe Temperaturleitfähigkeit

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 19

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Je Mol Atome eines Elements; bei Verbindungen mit der Zahl der Atome je Formeleinheit multiplizieren. Bei Metallen kommt bei tiefen Temperaturen der Elektronenanteil (proportional zu T) hinzu. Bei Festkörpern ist der Unterschied zwischen C_p und C_v klein.

Typische Fehler

Werte je Mol und je Masse verwechseln. Bei Verbindungen vergessen, mit der Zahl der Atome je Formeleinheit zu multiplizieren.

Beispiel

Al (Debye-Temperatur θ_D = 428 K): bei 20 K C_v = (12π⁴/5)R(20/428)³ = 0,198 J/(mol·K). Grenzwert bei hohen Temperaturen 3R = 24,94 J/(mol·K), je Masse 3R/M = 924 J/(kg·K) (gemessenes c_p 897 J/(kg·K)).

Begriffe Dulong-Petit-Gesetz Debye-Temperatur Phonon

Quelle: Kittel (8. Aufl.) Kap. 5; Callister (10. Aufl.) Kap. 19

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Elektronische Leitung in Metallen; gute Übereinstimmung bei Raumtemperatur und darüber sowie bei sehr tiefen Temperaturen (dazwischen kleiner durch inelastische Streuung). Die Wärmeleitung durch das Gitter (Phononen) ist nicht enthalten; in Legierungen und Halbleitern gilt κ = κ_e + κ_ph.

Typische Fehler

Spezifischen Widerstand ρ und Leitfähigkeit σ verwechseln. Das Gesetz auf Isolatoren und Keramiken anwenden.

Beispiel

Cu (σ = 5,96 × 10⁷ S/m; 293 K): κ_e = L₀σT = 2,443 × 10⁻⁸ × 5,96 × 10⁷ × 293 = 427 W/(m·K) (gemessen 401 W/(m·K)).

Begriffe Wiedemann-Franzsches Gesetz

Quelle: Kittel (8. Aufl.) Kap. 6

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Dickwandige Zylinder im ebenen Spannungszustand, linear-elastisch, mit gleichmäßigem Druck über die ganze Fugenlänge. Plastisches Fließen senkt den Druck. Die Tangentialspannung an der Bohrung der Nabe ist am größten.

Typische Fehler

Ein radiales Übermaß in die Formel für das Durchmesserübermaß einsetzen (Faktor 2). Das Vorzeichen von ν im Term des Innenteils (− ν_i).

Beispiel

Stahlnabe (Außendurchmesser 100 mm) auf eine Stahlvollwelle mit 50 mm Durchmesser aufgeschrumpft, Durchmesserübermaß 0,05 mm (E = 200 GPa; ν = 0,3): p = 75,0 MPa; Tangentialspannung an der Nabenbohrung p(D² + d²)/(D² − d²) = 125 MPa (Zug). Um mit 0,02 mm Fügespiel zu fügen, wird die Nabe um ΔT = (0,05 + 0,02)/(12 × 10⁻⁶ × 50) = 117 K erwärmt.

Rechner Labor für Wärmeausdehnung und Wärmespannung

Begriffe Längenausdehnungskoeffizient

Quelle: Timoshenko & Goodier (3. Aufl.) Kap. 4

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Ausgerichtete Endlosfasern mit idealer Haftung, sodass Faser und Matrix dieselbe Dehnung erfahren. Obere Schranke des Moduls (Voigt). Volumenanteile einsetzen (Massenanteile vorher umrechnen). Poren zählen als Phase ohne Steifigkeit in V mit.

Typische Fehler

Massenanteile direkt einsetzen. Die Regel auch quer zur Faser verwenden (dort gilt die inverse Mischungsregel). Das Lastverhältnis mit dem Lastanteil F_f/(F_f + F_m) verwechseln.

Beispiel

Unidirektionaler Verbund aus 40 vol% Glasfasern (E_f = 69 GPa) in Polyester (E_m = 3,4 GPa), dieselben Zahlen wie im Beispiel in Kapitel 16 von Callister: E_cl = 0,40 × 69 + 0,60 × 3,4 = 29,6 GPa. Lastaufteilung F_f/F_m = (0,40 × 69)/(0,60 × 3,4) = 13,5 (die Fasern tragen 93,1 %).

Rechentrainer Mischungsregel (E-Modul in Faserrichtung) Lastaufteilung zwischen Faser und MatrixRechner Verbundwerkstoff-Designer

Begriffe Mischungsregel GFK (glasfaserverstärkter Kunststoff)

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 16; Hull & Clyne (2. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Untere Schranke des Moduls (Reuss) unter der Annahme, dass Faser und Matrix dieselbe Spannung tragen. Der tatsächliche Quermodul liegt etwas höher; die Halpin-Tsai-Gleichungen passen besser. Kohlenstofffasern sind in radialer Richtung viel weicher als in Faserrichtung (T300 etwa 15 GPa); für E_f ist daher der radiale Modul einzusetzen.

Typische Fehler

Vergessen, den Kehrwert zu bilden (bei V_f/E_f + V_m/E_m stehen bleiben). Für Kohlenstofffasern den Modul in Faserrichtung als E_f einsetzen.

Beispiel

Derselbe Verbund aus 40 vol% Glasfasern und Polyester, quer zur Faser: 1/E_ct = 0,40/69 + 0,60/3,4 → E_ct = 5,49 GPa (19 % des Werts in Faserrichtung).

Rechentrainer Inverse Mischungsregel (quer zur Faser)Rechner Verbundwerkstoff-Designer

Begriffe Mischungsregel

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 16; Hull & Clyne (2. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Praktische Näherung für den Quermodul E₂ und den Schubmodul in der Ebene G₁₂ unidirektionaler Schichten. ξ = 0 ergibt die inverse Mischungsregel, ξ → ∞ die Mischungsregel. Oberhalb von V_f ≈ 0,6 können die Werte unter den Messwerten liegen.

Typische Fehler

Für E₂ und G₁₂ dasselbe ξ verwenden. Für G₁₂ als P_m E_m statt G_m = E_m/[2(1 + ν_m)] einsetzen.

Beispiel

Quermodul desselben Verbunds aus 40 vol% Glasfasern und Polyester mit ξ = 2: η = (69/3,4 − 1)/(69/3,4 + 2) = 0,8654; E₂ = 3,4 × (1 + 2 × 0,8654 × 0,40)/(1 − 0,8654 × 0,40) = 8,80 GPa (größer als 5,49 GPa nach der inversen Mischungsregel).

Rechner Verbundwerkstoff-Designer

Begriffe Mischungsregel

Quelle: Halpin & Kardos 1976; Jones (2. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Ohne Poren. Mit Poren gilt V_f + V_m + V_v = 1; den Porenanteil V_v erhält man aus der gemessenen Dichte und dem Massenanteil (z. B. aus der Veraschung). Da Verhältnisse gebildet werden, kann die Dichte in g/cm³ stehen bleiben.

Typische Fehler

Massenanteile als Volumenanteile in die Mischungsregel einsetzen. 1 − V_f statt w_m = 1 − w_f verwenden.

Beispiel

Epoxidharz (ρ_m = 1,20 g/cm³) mit 65 wt% Kohlenstofffasern (ρ_f = 1,76 g/cm³): V_f = (0,65/1,76)/(0,65/1,76 + 0,35/1,20) = 0,3693/(0,3693 + 0,2917) = 0,559. ρ_c = 0,559 × 1,76 + 0,441 × 1,20 = 1,51 g/cm³.

Rechentrainer Mischungsregel (E-Modul in Faserrichtung)Rechner Verbundwerkstoff-Designer

Begriffe CFK (kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff) Mischungsregel

Quelle: Hull & Clyne (2. Aufl.) Kap. 1; Callister (10. Aufl.) Kap. 16

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Endlosfasern, deren Bruchdehnung kleiner ist als die der Matrix (Kohlenstoff- oder Glasfasern in Epoxidharz). Durch die Streuung der Faserfestigkeit (Weibull) und Fehlausrichtung der Fasern erreichen Messwerte meist 70–90 %. Für Kombinationen, bei denen die Matrix zuerst versagt (keramische Matrix), gilt eine andere Formel.

Typische Fehler

Für σ_m′ die Zugfestigkeit der Matrix σ_m* einsetzen. Die Formel auch quer zur Faser verwenden (dort bestimmen Matrix und Grenzfläche die Festigkeit).

Beispiel

T300-Kohlenstofffasern (σ_f* = 3530 MPa; E_f = 230 GPa) in 8552-Epoxidharz (E_m = 4,67 GPa; σ_m* = 121 MPa; Bruchdehnung 1,7 %), V_f = 0,60 (Werte aus dem Verbundwerkstoff-Designer): Die Bruchdehnung der Faser 3530/230000 = 1,53 % ist kleiner als die der Matrix, die Fasern brechen also zuerst. σ_m′ = 4670 × 0,0153 = 71,7 MPa; σ_cl* = 0,60 × 3530 + 0,40 × 71,7 = 2147 MPa. V_min = 1,4 × 10⁻²; bei üblichen Volumenanteilen bestimmen also die Fasern die Festigkeit.

Rechner Verbundwerkstoff-Designer

Begriffe CFK (kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff) Mischungsregel

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 16; Hull & Clyne (2. Aufl.) Kap. 8

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Fasern in Lastrichtung ausgerichtet; die Schubspannung an der Grenzfläche wird ab dem Faserende als konstant angenommen (starr-plastisch). Bei regelloser Faserorientierung multipliziert man mit einem Orientierungsfaktor (Krenchel; 3/8 für ebene regellose Orientierung). Ist l etwa 15-mal so groß wie l_c, verhalten sich die Fasern fast wie Endlosfasern.

Typische Fehler

Für d den Radius einsetzen (Faktor 2). µm und mm mischen. Die obere Formel verwenden, obwohl l < l_c ist.

Beispiel

Kohlenstofffaser (σ_f* = 3500 MPa; d = 7 µm) mit der Grenzflächenscherfestigkeit τ_c = 40 MPa: l_c = 3500 × 0,007/(2 × 40) = 0,306 mm. Bei 30 vol% ausgerichteten Fasern mit 3 mm Länge und σ_m′ = 50 MPa: σ_cd* = 0,30 × 3500 × (1 − 0,306/6) + 0,70 × 50 = 1031 MPa. Bei 0,2 mm Länge (l < l_c): 0,30 × 40 × 0,2/0,007 + 35 = 378 MPa.

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Begriffe Kritische Faserlänge

Quelle: Kelly & Tyson 1965; Callister (10. Aufl.) Kap. 16; Hull & Clyne (2. Aufl.) Kap. 7

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Isotrope Fasern und Matrix (Glas, Basalt). Kohlenstoff- und Aramidfasern haben in radialer und axialer Richtung unterschiedliche α; dann ersetzt man in α₂ den Ausdruck (1 + ν_f)α_f durch α_f2 + ν_f α_f1 (so rechnet der Verbundwerkstoff-Designer). α₁ wird von den steifen Fasern bestimmt und liegt weit unter dem einfachen volumengewichteten Mittel.

Typische Fehler

α₁ als einfaches volumengewichtetes Mittel berechnen. Vergessen, dass α der Kohlenstofffaser in Achsrichtung negativ ist.

Beispiel

E-Glas (E_f = 72,3 GPa; α_f = 5,4 × 10⁻⁶ K⁻¹; ν_f = 0,2) in Epoxidharz (2,73 GPa; 83,4 × 10⁻⁶ K⁻¹; ν_m = 0,35), V_f = 0,60 (Werte aus dem Verbundwerkstoff-Designer): α₁ = (72,3 × 5,4 × 0,6 + 2,73 × 83,4 × 0,4)/(72,3 × 0,6 + 2,73 × 0,4) = 7,32 × 10⁻⁶ K⁻¹ (das einfache Mittel ergäbe 36,6 × 10⁻⁶). ν₁₂ = 0,260; α₂ = 47,0 × 10⁻⁶ K⁻¹.

Rechner Verbundwerkstoff-Designer

Begriffe Längenausdehnungskoeffizient Mischungsregel

Quelle: Schapery 1968; Jones (2. Aufl.) Kap. 3

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Eine orthotrope unidirektionale Einzelschicht im ebenen Spannungszustand, einachsig unter dem Winkel θ zur Faser gezogen. Die Steifigkeit von Laminaten erhält man mit der klassischen Laminattheorie (A-Matrix). Wegen des G₁₂-Terms liegt der Wert bei Werkstoffen mit G₁₂ unter etwa E₂/2 zwischen 45° und 90° unter E₂ (beim Werkstoff im Beispiel bei keinem Winkel unter E₂).

Typische Fehler

E mit cos²θ drehen (nötig sind vierte Potenzen und der Schubterm). Vergessen, den Kehrwert von 1/E_x zu bilden. Grad und Bogenmaß verwechseln.

Beispiel

Einzelschicht T300/5208 (E₁ = 181 GPa; E₂ = 10,3 GPa; G₁₂ = 7,17 GPa; ν₁₂ = 0,28; Werte aus dem Verbundwerkstoff-Designer): E_x = 28,8 GPa bei θ = 30° und 16,7 GPa bei 45°. Schon 30° Abweichung senken die Steifigkeit auf 1/6,3 des Werts in Faserrichtung.

Rechner Verbundwerkstoff-Designer

Begriffe Quasiisotropes Laminat CFK (kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff)

Quelle: Jones (2. Aufl.) Kap. 2; Hull & Clyne (2. Aufl.) Kap. 5

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Spannungen in der Ebene (ebener Spannungszustand) einer unidirektionalen Schicht. Bei Werkstoffen mit unterschiedlicher Zug- und Druckfestigkeit wählt man X und Y nach dem Vorzeichen der Spannung. Wird die Last bei gleichbleibendem Spannungsverhältnis gesteigert, ist der Reservefaktor R der Kehrwert der Quadratwurzel der linken Seite.

Typische Fehler

Spannungen im globalen Koordinatensystem (σ_x) unverändert einsetzen (in das Achsensystem der Schicht drehen). Den Reservefaktor als Kehrwert der linken Seite ansetzen (die Quadratwurzel ist nötig).

Beispiel

T300/5208 (X = 1500; Y = 40; S = 68 MPa) unter 30° zur Faser mit 100 MPa auf Zug belastet: σ₁ = 75,0; σ₂ = 25,0; τ₁₂ = −43,3 MPa. Die linke Seite ist 0,798 < 1, es tritt also kein Bruch ein. Reservefaktor R = 1/√0,798 = 1,12 (Festigkeit unter 30°: 112 MPa).

Rechner Verbundwerkstoff-Designer

Begriffe CFK (kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff) Delamination

Quelle: Jones (2. Aufl.) Kap. 2; Hull & Clyne (2. Aufl.) Kap. 8

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Metalle in der Nähe der Raumtemperatur (etwa −50 bis 150 °C), wo sich der spezifische Widerstand linear mit der Temperatur ändert. α_R hängt von der Bezugstemperatur ab (Bezug 0 °C oder 20 °C).

Typische Fehler

Den Durchmesser als Radius verwenden (πd²). Die Temperaturkorrektur vergessen. Spezifischen Widerstand und Widerstand verwechseln.

Beispiel

Weichgeglühtes Kupfer (IEC 60028: ρ₂₀ = 1,7241 × 10⁻⁸ Ω·m; α_R = 0,00393 K⁻¹), Draht mit 1 mm Durchmesser und 100 m Länge bei 75 °C: ρ = 1,7241 × 10⁻⁸ × (1 + 0,00393 × 55) = 2,097 × 10⁻⁸ Ω·m; A = π(0,001)²/4 = 7,854 × 10⁻⁷ m²; R = 2,67 Ω (bei 20 °C 2,20 Ω).

Rechentrainer Drahtwiderstand und Temperatur

Begriffe Matthiessensche Regel

Quelle: IEC 60028; Callister (10. Aufl.) Kap. 18

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Metalle, bei denen die Streumechanismen als unabhängig gelten können. Nur ρ_t hängt von der Temperatur ab; ρ_i und ρ_d sind temperaturunabhängig (Restwiderstand bei tiefen Temperaturen). Die Nordheim-Beziehung gilt für Legierungen mit lückenloser Mischkristallbildung bei niedrigen bis mittleren Konzentrationen.

Typische Fehler

Leitfähigkeiten (σ) statt spezifischer Widerstände addieren. Die Konzentration in at% statt als Anteil einsetzen.

Beispiel

Cu mit 3 at% Ni im Mischkristall (ρ_t von Cu bei Raumtemperatur 1,72 × 10⁻⁸ Ω·m; A für Cu–Ni nach dem Diagramm bei Callister etwa 1,2 × 10⁻⁶ Ω·m): ρ_i = 1,2 × 10⁻⁶ × 0,03 × 0,97 = 3,49 × 10⁻⁸ Ω·m; ρ ≈ 5,21 × 10⁻⁸ Ω·m (das 3,03-Fache von reinem Kupfer).

Begriffe Matthiessensche Regel Mischkristallverfestigung

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 18

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

In der Nähe der Raumtemperatur, wenn alle Donatoren und Akzeptoren ionisiert sind (Störstellenerschöpfung). Die Beweglichkeit nimmt mit der Dotierung ab; man verwendet daher den Wert für die jeweilige Konzentration (empirische Formeln unterscheiden sich um einige Prozent: Der Rechentrainer dieser Website verwendet die Form nach Caughey-Thomas, der Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung die Formel nach Arora; für Elektronen in n-Si bei 10¹⁷–10¹⁸ cm⁻³ weichen sie um bis zu etwa 8 % voneinander ab).

Typische Fehler

cm⁻³ und cm²/(V·s) nicht in SI-Einheiten umrechnen (oder nur eines von beiden). Leitfähigkeit und spezifischen Widerstand verwechseln.

Beispiel

n-Si mit einer Donatorkonzentration von 10¹⁶ cm⁻³ (= 10²² m⁻³), Elektronenbeweglichkeit 1200 cm²/(V·s) = 0,12 m²/(V·s): σ = 10²² × 1,602 × 10⁻¹⁹ × 0,12 = 192 S/m; ρ = 1/σ = 5,20 × 10⁻³ Ω·m = 0,520 Ω·cm.

Rechentrainer Spezifischer Widerstand von n-SiliziumRechner Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung

Begriffe Indirekter Halbleiter

Quelle: Sze (3. Aufl.) Kap. 1; Callister (10. Aufl.) Kap. 18

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: E_g/2kT

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Nichtentartete Halbleiter (Fermi-Niveau mehrere kT von den Bandkanten entfernt). N_c und N_v sind proportional zu T^3/2. Auch E_g ändert sich etwas mit der Temperatur (Si bei 300 K: 1,12 eV).

Typische Fehler

Den Faktor 2 im Exponenten vergessen (E_g/kT). eV und J verwechseln.

Beispiel

Si (E_g = 1,12 eV; Temperaturabhängigkeit von E_g vernachlässigt) von 300 K auf 350 K: n_i(350)/n_i(300) = (350/300)^(1,5) × exp[−1,12/(2 × 8,617 × 10⁻⁵) × (1/350 − 1/300)] = 27,8-fach. n_i bei 300 K beträgt etwa 10¹⁰ cm⁻³ (Sze).

Begriffe Indirekter Halbleiter

Quelle: Sze (3. Aufl.) Kap. 1; Kittel (8. Aufl.) Kap. 8

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Dünne Schichten, in denen der Strom parallel zur Oberfläche fließt. Der Wert der Vierspitzenmessung R_s = 4,53 V/I gilt, wenn die Probe viel breiter als der Spitzenabstand und dünn ist. Bei einer Schicht vom entgegengesetzten Leitungstyp wie das Substrat ist N die Nettokonzentration (N − N_B).

Typische Fehler

Unabhängig von der Dotierung eine einzige Beweglichkeit verwenden (bei hoher Konzentration ist sie kleiner). x_j in µm einsetzen.

Beispiel

n-Schicht, bis 0,5 µm Tiefe gleichmäßig mit 10¹⁹ cm⁻³ (= 10²⁵ m⁻³) Donatoren dotiert (Elektronenbeweglichkeit nach Arora 114 cm²/(V·s), wie im Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung): R_s = 1/(qμNx_j) = 1/(1,602 × 10⁻¹⁹ × 0,0114 × 10²⁵ × 0,5 × 10⁻⁶) = 109 Ω/□.

Rechner Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung

Begriffe Diffusionskoeffizient

Quelle: Sze (3. Aufl.) Kap. 1

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Die gesamte Ladung dient der Auflösung des Metalls (Stromausbeute 100 %), und der Angriff ist gleichmäßig. Bei örtlicher Korrosion wie Lochkorrosion entstehen viel tiefere Löcher, als es der mittleren Geschwindigkeit entspricht.

Typische Fehler

Die Wertigkeit n vergessen. µA/cm² und A/m² umrechnen (1 µA/cm² = 10⁻² A/m²). Mit g/cm³ rechnen und dabei cm und µm mischen.

Beispiel

Eisen (M = 55,845 g/mol; ρ = 7,87 g/cm³) löst sich gleichmäßig als Fe²⁺ bei einer Korrosionsstromdichte von 1 µA/cm²: je cm² und Sekunde 10⁻⁶ × 55,845/(2 × 96485) = 2,89 × 10⁻¹⁰ g, geteilt durch die Dichte 3,68 × 10⁻¹¹ cm/s, also 11,6 µm in einem Jahr (365 Tage). Bei 0,5 A über 30 Tage ist m = 0,5 × 2,592 × 10⁶ × 55,845/(2 × 96485) = 375 g.

Rechentrainer Korrosionsabtrag (Faradaysches Gesetz)

Begriffe Faradaysches Gesetz Lokalelement

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 17

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Gleichgewichtspotential (kein Nettostrom). In verdünnten Lösungen nähert man die Aktivitäten durch Konzentrationen (mol/L) an. 0,0592 ist (RT/F) ln 10 bei 25 °C.

Typische Fehler

Zähler und Nenner von Q gegenüber der Reaktionsrichtung vertauschen. log₁₀ und ln verwechseln. n vergessen.

Beispiel

Zelle aus einer Ni-Elektrode (Ni²⁺ 10⁻³ M) und einer Cd-Elektrode (Cd²⁺ 0,5 M) bei 25 °C, dieselben Zahlen wie im Beispiel in Kapitel 17 von Callister: Für Ni²⁺ + Cd → Ni + Cd²⁺ ist E° = −0,250 − (−0,403) = 0,153 V. E = 0,153 − (RT/2F) ln(0,5/10⁻³) = 0,153 − 0,01285 × 6,215 = 0,073 V. Der Wert ist positiv, die Reaktion läuft also in derselben Richtung wie im Standardzustand (Cd löst sich auf).

Begriffe Standardelektrodenpotential Kontaktkorrosion

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 17

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Grober Anhaltspunkt dafür, ob eine Oxidschicht bei der Hochtemperaturoxidation schützt. Unter 1 ist die Schicht porös, zwischen 1 und 2 wirkt sie meist schützend, deutlich über 2 platzt sie durch Druckspannungen leicht ab. Es gibt viele Ausnahmen (Haftung der Schicht, Diffusionsgeschwindigkeit); der Wert ist nur ein Anhaltspunkt.

Typische Fehler

n vergessen (bei Al₂O₃ 2). Formelmasse des Oxids und Atommasse des Metalls vertauschen.

Beispiel

Al₂O₃ (M = 101,96 g/mol; ρ = 3,95 g/cm³) auf Al (26,982; 2,70): PBR = 101,96 × 2,70/(2 × 26,982 × 3,95) = 1,29 (zwischen 1 und 2, schützend). MgO (40,304; 3,58) auf Mg (24,305; 1,74): 0,81 (unter 1, porös und nicht schützend).

Begriffe Pilling-Bedworth-Verhältnis Passivität

Quelle: Pilling & Bedworth 1923; Callister (10. Aufl.) Kap. 17

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Das parabolische Zeitgesetz gilt für Hochtemperaturoxidation, die durch Ionendiffusion durch eine dichte Schicht fortschreitet. Es passt nicht für die Anfangsphase mit sehr dünnen Schichten oder für Schichten, die reißen oder abplatzen. Schreibt man es mit der Massenzunahme, wird x zu Δm/A, und auch die Einheit von k_p ändert sich.

Typische Fehler

Annehmen, die doppelte Zeit ergebe die doppelte Dicke (beim parabolischen Gesetz das √2-Fache). k_p für die Dicke und für die Massenzunahme mischen.

Beispiel

Parabolische Oxidation, die in 10 h eine 2,0 µm dicke Schicht ergibt: k_p = 2,0²/10 = 0,40 µm²/h. Nach 100 h ist x = √(0,40 × 100) = 6,32 µm (zehnfache Zeit, aber nur √10-fache Dicke).

Begriffe Parabolisches Zeitgesetz Pilling-Bedworth-Verhältnis

Quelle: Birks u. a. (2. Aufl.) Kap. 4; Callister (10. Aufl.) Kap. 17

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten)

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Austausch von Temperatur und Zeit beim Zeitstandbruch unter gleicher Spannung (Abschätzung langer Lebensdauern bei tieferer Temperatur aus kurzen Versuchen bei hoher Temperatur). C bezieht sich auf die Zeit in Stunden; 20 ist ein Richtwert (15–25). Extrapolationen sollten etwa das Zehnfache der Versuchsdauer nicht überschreiten.

Typische Fehler

°C einsetzen. ln statt log₁₀ verwenden. Die Zeit in Sekunden einsetzen (C = 20 gilt für Stunden).

Beispiel

Eine Legierung, die unter einer bestimmten Spannung bei 900 °C nach 50 h gebrochen ist, wird unter derselben Spannung bei 800 °C eingesetzt (C = 20): P = 1173,15 × (20 + log₁₀50) = 25456 K; t_r = 10^(25456/1073,15 − 20) = 5260 h. Eine um 100 K tiefere Temperatur verlängert die Lebensdauer etwa auf das 105-Fache.

Rechentrainer Larson-Miller-Parameter

Begriffe Larson-Miller-Parameter Kriechen

Quelle: Larson & Miller 1952; Callister (10. Aufl.) Kap. 8

Dimension beide Seiten stimmen in jeder Zeile überein ([ ] in SI-Basiseinheiten) · dimensionslos: Q_c/RT

Gültigkeitsbedingungen und -bereich

Oberhalb von etwa dem 0,4-Fachen der Schmelztemperatur, wenn Versetzungskriechen überwiegt. Bei niedriger Spannung und feinem Korn übernimmt Diffusionskriechen (n ≈ 1), bei hoher Spannung bricht das Potenzgesetz zusammen. Welcher Mechanismus vorliegt, zeigt die Verformungsmechanismuskarte.

Typische Fehler

Annehmen, die doppelte Spannung ergebe die doppelte Geschwindigkeit (das 2ⁿ-Fache). Q in eV und J/mol mischen.

Beispiel

Werkstoff mit n = 5 und Q = 300 kJ/mol: Bei 1,2-facher Spannung steigt die Dehnrate um den Faktor 1,2⁵ = 2,49. Von 900 K auf 950 K steigt sie um den Faktor exp[(300000/8,314)(1/900 − 1/950)] = 8,25.

Begriffe Potenzgesetz-Kriechen Kriechen Verformungsmechanismuskarte Diffusionskriechen

Quelle: Callister (10. Aufl.) Kap. 8; Dowling (4. Aufl.) Kap. 15