Nach der Auswahl von Faser und Matrix aus der Datensammlung berechnet diese Seite die Eigenschaften der UD-Schicht, Steifigkeit und Festigkeit von Laminaten, die Effizienz von Kurzfasern und einen Gewichtsvergleich mit Metallen. Für die Voreinstellung, eine UD-Schicht aus der Kohlenstofffaser T300 und dem Epoxidharz 8552 mit 60 % Faservolumenanteil, ergibt die Mischungsregel in Faserrichtung einen Elastizitätsmodul von 139,9 GPa; das stimmt gut mit dem Messwert von 140 GPa im Datenblatt von Toray (60 %, ein anderes Epoxidharz) überein. Quer zur Faser ergeben sich 7,96 GPa nach der inversen Mischungsregel und 9,46 GPa nach Halpin-Tsai. Im Reiter Laminat versagen bei [0/±45/90]s aus T300/5208 unter Nx = 100 N/mm nach Tsai-Wu zuerst die 90°-Schichten, und zwar beim 2,76-Fachen der Last.
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Ergebnisse
Die mikromechanischen Gleichungen sind Näherungen unter der Annahme gerader, gleichmäßig verteilter Fasern, die vollständig mit der Matrix verbunden sind, wobei sich beide Phasen linear-elastisch verhalten. Die klassische Laminattheorie behandelt eine dünne Platte im ebenen Spannungszustand (ohne interlaminare Spannungen und Randeffekte); die Versagenskriterien sind empirische Beziehungen, die auf die Spannungen der einzelnen Schichten angewandt werden. Verwenden Sie für die Auslegung Prüfwerte des eingesetzten Werkstoffs und Sicherheitsfaktoren.
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Herleitung der Mischungsregel und ihre Genauigkeit
Zieht man parallel zu den Fasern, dehnen sich Faser und Matrix wie parallel geschaltete Federn um denselben Betrag (gleiche Dehnung). Die Spannung ist dann der mit den Volumenanteilen gewichtete Mittelwert, und es gilt E1 = VfEf1 + VmEm. Zieht man senkrecht zu den Fasern, kann man annehmen, dass beide wie in Reihe geschaltete Federn dieselbe Spannung erfahren (gleiche Spannung); daraus folgt 1/E2 = Vf/Ef2 + Vm/Em. Diese beiden Beziehungen heißen Voigt- und Reuss-Abschätzung. Aus den Energieprinzipien folgt, dass die Gleichung für gleiche Spannung eine strenge Untergrenze des Elastizitätsmoduls ist; die Gleichung für gleiche Dehnung ist eine Obergrenze, wenn Faser und Matrix dieselbe Querkontraktionszahl haben (sind die Querkontraktionszahlen verschieden, liegt der wahre Wert von E1 geringfügig über der Mischungsregel; Hill 1964). In Faserrichtung ist die tatsächliche Dehnung nahezu gleichmäßig, daher passt die Gleichung für E1 gut. So ergibt T300 (230 GPa) mit Vf 60 % in einem Epoxidharz mit einem Elastizitätsmodul von 4,67 GPa einen Wert von 139,9 GPa, nahezu gleich den 140 GPa der UD-Schicht (Vf 60 %) im Datenblatt von Toray. Quer zur Faser dagegen konzentriert sich die Spannung in der Matrix zwischen den Fasern, und die Fasern tragen einen Teil der Last seitlich mit, sodass die Gleichung für gleiche Spannung zu niedrige Werte liefert.
Die Halpin-Tsai-Gleichungen und die Bedeutung von ξ
Die Halpin-Tsai-Gleichungen P = Pm(1 + ξηVf)/(1 − ηVf), η = (Pf/Pm − 1)/(Pf/Pm + ξ) sind eine Interpolation, die an exakte Lösungen der Elastizitätstheorie angepasst ist. Für ξ → 0 ergibt sich die inverse Mischungsregel, für ξ → ∞ die Mischungsregel; ξ beschreibt also, wie wirksam die Verstärkung bei der jeweiligen Form und Anordnung der Fasern ist. Für runde Fasern in quadratischer Anordnung werden häufig ξ = 2 für E2 und ξ = 1 für G12 verwendet. Oberhalb von 60 % Volumenanteil erhöht die Wechselwirkung der Fasern die Werte, daher wird für G12 auch ξ = 1 + 40Vf¹⁰ (Hewitt und de Malherbe) verwendet. Kohlenstoff- und Aramidfasern sind selbst anisotrop: Ihr radialer E-Modul liegt zwischen einigen GPa und etwa 20 GPa und beträgt damit weniger als ein Zehntel des axialen Werts. Setzt man bei der Berechnung von E2 den axialen Wert Ef1 ein, wird E2 stark überschätzt.
Wärmeausdehnung (Schapery) und Eigenspannungen
Die Wärmeausdehnung in Faserrichtung ist der mit den Steifigkeiten gewichtete Mittelwert α1 = (Ef1αf1Vf + EmαmVm)/(Ef1Vf + EmVm). Kohlenstofffasern ziehen sich in Faserrichtung beim Erwärmen zusammen (αf1 < 0) und sind viel steifer als die Matrix, daher ist α1 nahezu null. Quer zur Faser kommt hinzu, dass sich die in Faserrichtung behinderte Matrix durch die Querkontraktion seitlich stärker ausdehnt; es gilt α2 = Vf(αf2 + νf12αf1) + Vm(1 + νm)αm − α1ν12, ein großer Wert nahe dem der Matrix allein. Wegen dieses Unterschieds behindern sich die Schichten eines Laminats beim Abkühlen von der Aushärtetemperatur auf Raumtemperatur (ΔT etwa −100 K bis −160 K) gegenseitig in ihrer Schrumpfung, und es entstehen thermische Eigenspannungen. In den 90°-Schichten sind das Zugspannungen quer zur Faser, die das Erstschichtversagen früher eintreten lassen. Aus demselben Grund verziehen sich unsymmetrische Laminate beim Abkühlen.
Zugfestigkeit in Faserrichtung: bestimmt durch die Bruchdehnungen
Zieht man eine UD-Schicht in Faserrichtung, haben Faser und Matrix dieselbe Dehnung. Übliche Harze lassen sich weiter dehnen, als es die Bruchdehnung der Kohlenstofffaser zulässt (1,5 % bei T300); daher reißen die Fasern zuerst, und die Festigkeit beträgt σ1u = Vfσf + Vmσm′ (σm′ ist die Matrixspannung beim Faserbruch). Bei wenigen Fasern trägt die Matrix nach dem Faserbruch allein bis Vmσm; eine Verstärkung lohnt sich daher erst, wenn Vf den kritischen Volumenanteil Vcrit übersteigt. Reißt bei einer Kombination die Matrix zuerst (etwa E-Glas mit 4,8 % Bruchdehnung in einem spröden Epoxidharz), gilt der größere von zwei Ausdrücken: Entweder tragen die Fasern nach dem Reißen der Matrix allein, oder der gesamte Verbund versagt. Die tatsächliche Festigkeit liegt unter diesem Wert, weil die Faserfestigkeit streut (die Fasern reißen an Schwachstellen, und die Spannung verlagert sich auf die Nachbarfasern) und die Ausrichtung nicht perfekt ist. Der von Toray gemessene Wert von 1820 MPa für UD-Material aus T300 entspricht etwa 85 % dieser Gleichung. Die Druckfestigkeit wird durch Mikroknicken der Fasern (Knickbänder) bestimmt und lässt sich mit dieser Gleichung nicht angeben.
Umrechnung von Volumenanteil, Massenanteil und Poren
In die mikromechanischen Gleichungen geht der Volumenanteil ein. Prepregs und Harzrezepturen werden über die Masse gesteuert, daher rechnet man über die Dichten um: Vf = (Wf/ρf)/(Wf/ρf + Wm/ρm). Für Kohlenstofffaser (1,77 g/cm³) und PEEK (1,30 g/cm³) mit 42 % Harzmassenanteil (Wf 58 %) beträgt Vf etwa 50 %. Den Faservolumenanteil eines realen Laminats bestimmt man, indem man das Harz abbrennt oder auflöst und die Fasern wiegt (ASTM D3171); den Porengehalt ermittelt man aus der Dichte (ASTM D2734). Poren senken als Phase ohne Steifigkeit nicht nur Dichte und E1, sondern wirken auch als Spannungskonzentrationen: Berichten zufolge verringern sie den Quermodul und die Biegeeigenschaften um etwa 1,5 % je 1 % Poren und die interlaminare Scherfestigkeit noch deutlich stärker. Die Obergrenze für die Packung gleich dicker runder Fasern liegt bei quadratischer Anordnung bei π/4 = 78,5 %, bei hexagonaler Anordnung bei π/(2√3) = 90,7 %.
Fertigungsverfahren und tatsächlicher Volumenanteil
Der Volumenanteil wird nicht vom Werkstoff, sondern von der Fertigung bestimmt. Beim Handlaminieren ist der Volumenanteil meist niedrig und der Porengehalt hoch; Verfahren, bei denen das Harz unter Vakuum infiltriert wird (VARTM u. a.), erreichen höhere Volumenanteile als das Handlaminieren. Mit im Autoklaven ausgehärteten Prepregs lassen sich hohe und gleichmäßige Volumenanteile leicht erreichen; auch die Prüfwerte an UD-Material in den Faserdatenblättern von Toray sind auf Vf 60 % umgerechnet angegeben. Spritzgegossene kurzfaserverstärkte Kunststoffe enthalten kurze Fasern, deren Orientierung der Strömung folgt und sich über die Dicke von Schicht zu Schicht ändert; sie erfordern daher eine andere Betrachtung als Endlosfasern (Reiter Kurzfasern). Auch bei gleicher Faser und gleichem Harz unterscheiden sich je nach Fertigungsverfahren Volumenanteil, Porengehalt und Faserwelligkeit und damit Steifigkeit und Festigkeit. Beachten Sie das, wenn Sie Werte aus der Datensammlung verwenden.
Annahmen der klassischen Laminattheorie und die ABD-Matrix
Die klassische Laminattheorie nimmt an, dass Geraden senkrecht zu einer dünnen Platte auch nach der Biegung gerade und senkrecht zur Platte bleiben (Kirchhoffsche Hypothese), dass sich jede Schicht im ebenen Spannungszustand linear-elastisch verhält und dass die Schichten vollständig miteinander verbunden sind. Dann gilt für die Dehnung in der Platte ε = ε⁰ + zκ (ε⁰ Dehnung der Mittelebene, κ Krümmung) und für die Spannung in jeder Schicht σ = Q̄(ε⁰ + zκ). Integriert man über die Dicke, sind die Schnittkräfte N und die Schnittmomente M durch {N; M} = [A B; B D] {ε⁰; κ} verknüpft. A = ΣQ̄t ist die Dehnsteifigkeit in der Ebene, D = ΣQ̄(Differenz von z³)/3 die Biegesteifigkeit und B = ΣQ̄(Differenz von z²)/2 die Kopplung von Dehnung und Biegung. Die effektiven E-Moduln in der Ebene erhält man aus der Inversen der ABD-Matrix, etwa Ex = 1/(h a*11). Interlaminare Spannungen (die Ursache von Delaminationen), Effekte am freien Rand und die Schubverformung dicker Platten sind in dieser Theorie nicht enthalten.
Symmetrisch, ausgeglichen, quasiisotrop
Bei einem symmetrischen Laminat, in dem Schichten gleichen Winkels spiegelbildlich zur Mittelebene liegen, ist B = 0: Es biegt sich unter Zug nicht und verzieht sich beim Abkühlen nicht. Bei einem ausgeglichenen Laminat mit gleich vielen +θ- und −θ-Schichten ist A16 = A26 = 0, und Zug erzeugt keine Schubverzerrung. Auch bei ausgeglichenen Laminaten wie [±45]s sind D16 und D26 jedoch nicht null, weil die +45°- und die −45°-Schichten in unterschiedlicher Höhe liegen; sie verdrillen sich daher bei Biegung. Enthält ein Laminat gleich viele Schichten, deren Winkel sich um jeweils 180°/n unterscheiden (n ≥ 3), wie [0/±45/90]s, wird A in der Ebene isotrop, und Ex ist in jeder Zugrichtung gleich (quasiisotrop). D wird dabei jedoch nicht isotrop, die Biegesteifigkeit hängt also von der Richtung ab. Quasiisotrope Laminate werden häufig für Bauteile mit unbekannter Lastrichtung und für Bauteile mit Bohrungen verwendet, weil sie schwache Richtungen ohne Fasern vermeiden. Dafür gibt man einen großen Teil der hohen spezifischen Steifigkeit der UD-Schicht auf (bei T300/5208 beträgt E1 181 GPa, Ex des quasiisotropen Laminats dagegen etwa 70 GPa).
Versagenskriterien im Vergleich, erste und letzte Schicht
Nach dem Maximalspannungskriterium versagt eine Schicht, sobald eine der Spannungen σ1, σ2 oder τ12 im 1-2-Koordinatensystem der Schicht die Festigkeit in dieser Richtung (X, X′, Y, Y′, S) erreicht. Eine Wechselwirkung zwischen den Komponenten gibt es nicht, dafür ist die Versagensart (Faserzug, Matrixzug, Schub usw.) erkennbar. Tsai-Hill überträgt den Ansatz von von Mises als quadratische Beziehung auf anisotrope Werkstoffe, sodass das Zusammenwirken der Komponenten eingeht; bei Werkstoffen mit unterschiedlicher Zug- und Druckfestigkeit wählt man X und Y nach dem Vorzeichen der Spannung. Tsai-Wu ist ein Tensorpolynom mit linearen und quadratischen Termen, das den Unterschied zwischen Zug und Druck in einer einzigen Gleichung erfasst. F12 lässt sich nur mit zweiachsigen Versuchen bestimmen; häufig wird F12* = −1/2 (entsprechend von Mises) verwendet. Im weltweiten Vergleich der Versagenskriterien (WWFE) konnte kein Kriterium alle Versuche vorhersagen. Im Laminat können die übrigen Schichten nach dem Versagen der ersten Schicht (meist Matrixrisse in den 90°-Schichten) weiter Last tragen; daher unterscheidet man zwischen Erstschichtversagen (FPF) und Letztschichtversagen (LPF).
Kurzfasern: kritische Faserlänge und Effizienzfaktoren
In eine kurze Faser wird die Last von den Enden her allmählich über die Grenzflächenschubspannung τ eingeleitet. Aus dem Kräftegleichgewicht πd²σ/4 = πd(l/2)τ folgt die kürzeste Länge, bei der die Spannung in der Fasermitte die Faserfestigkeit σf erreicht, die kritische Faserlänge lc = σfd/(2τ). Fasern, die kürzer als lc sind, werden herausgezogen, ohne zu reißen, und auch bei längeren Fasern werden die Enden auf einer Länge von je lc/2 nicht voll ausgenutzt. Die Kelly-Tyson-Gleichung nimmt an, dass die Grenzfläche bei konstantem τ gleitet, und schätzt die Festigkeit ausgerichteter Kurzfasern für l ≥ lc zu Vfσf(1 − lc/2l) + Vmσm′ ab. Für den E-Modul liefert die Shear-Lag-Theorie von Cox aus der Schubkopplung zwischen der Faser und der umgebenden Matrix den Längenfaktor ηl = 1 − tanh(βl/2)/(βl/2). Die Streuung der Orientierung geht über den Orientierungsfaktor nach Krenchel η0 = Σ an cos⁴θn (3/8 bei regelloser Verteilung in der Ebene, 1/5 bei regelloser Verteilung im Raum) als Faktor in den E-Modul ein. τ hängt stark von der Oberflächenbehandlung und der Schlichte der Fasern ab; verwenden Sie daher Werte, die mit Fragmentierungs- oder Auszugsversuchen gemessen wurden.
Vergleich bei gleicher Steifigkeit und Masse
Wie man Werkstoffe vergleicht, hängt davon ab, was die Auslegung bestimmt. Ist die Steifigkeit eines Zugstabs maßgebend, ist die Masse proportional zu ρ/E, bei der Biegesteifigkeit einer Platte zu ρ/∛E und bei der Festigkeit zu ρ/σ (Materialindizes nach Ashby). Da die Biegesteifigkeit einer Platte mit der dritten Potenz der Dicke wächst, sind Werkstoffe geringer Dichte hier im Vorteil. Mit den Standardwerten dieses Rechners und Stahl (S355) = 1 beträgt die Masse einer Platte gleicher Biegesteifigkeit für die Aluminiumlegierung 6061-T6 etwa 0,50, für CFK [0/±45/90]s (CF A der NTNU, Vf 55 %) etwa 0,28 und für GFK (E-Glas) mit demselben Aufbau etwa 0,50. Bei der Zugsteifigkeit liegt Ex von quasiisotropem CFK mit etwa 50 GPa unter dem der Aluminiumlegierung (69 GPa), und der Massenunterschied schrumpft auf etwa 0,85 zu 1,05. GFK ist bei gleicher Zugsteifigkeit etwa 2,7-mal so schwer wie Stahl und erreicht auch als Platte gleicher Biegesteifigkeit nur etwa die Masse der Aluminiumlegierung (etwa 0,50). Bei der Festigkeit ist GFK, gemessen am Erstschichtversagen (Risse in den 90°-Schichten), etwa so schwer wie Stahl (etwa 1,1); betrachtet man das endgültige Versagen, schneidet es günstiger ab. Der Reiter Vergleich stellt diese Rechnungen unter gleichen Bedingungen nebeneinander und verweist auf die Indexlinien im Werkstoffschaubild.
Wann diese Rechnungen nicht gelten
Faserwelligkeit (Gewebe, genähte Textilien), Fehlorientierung der Fasern und Faserkontakt bei hohen Volumenanteilen führen zu Abweichungen von den mikromechanischen Gleichungen. Nichtlineares Verhalten der Matrix (gekrümmte Schubspannungs-Gleitungs-Kurve), die Erweichung der Matrix durch Temperatur und Feuchtigkeitsaufnahme sowie viskoelastisches Verhalten (Kriechen) werden hier nicht behandelt. Die klassische Laminattheorie erfasst weder interlaminare Spannungen noch dreidimensionale Spannungszustände an freien Rändern und Bohrungen noch die Schubverformung dicker Platten. Die Versagenskriterien betrachten nur die Spannungen in den Schichten; Delamination, Schlagschäden, Ermüdung und Knicken unter Druck müssen gesondert betrachtet werden. Die Werte der Datensammlung sind typische Werte der Hersteller sowie aus Lehrbüchern und Vorlesungsunterlagen und keine zulässigen Auslegungswerte. Gestrichelt umrandete Felder enthalten angenommene Werte ohne Quelle.
Das Volumen ergibt sich aus der Masse geteilt durch die Dichte. In 100 g Verbundwerkstoff beträgt das Faservolumen 70/1,80 ≈ 38,9 cm³ und das Harzvolumen 30/1,20 = 25,0 cm³; der Faservolumenanteil ist also Vf = 38,9/(38,9 + 25,0) ≈ 0,61, etwa 61 %. Da die Fasern eine höhere Dichte als das Harz haben, ist der Volumenanteil kleiner als der Massenanteil. Ca. 70 % setzt fälschlich den Massenanteil als Volumenanteil an; für die Mischungsregel muss der Volumenanteil verwendet werden. Ca. 78 % ergibt sich, wenn die Dichten von Faser und Harz vertauscht werden. Reale Formteile können Poren enthalten; Vf und Porengehalt werden durch Dichtemessung oder das Veraschungsverfahren überprüft.
AZug parallel zu den Fasern wird mit der Form für gleiche Dehnung, Zug senkrecht dazu mit der Form für gleiche Spannung angenähert
BZug parallel zu den Fasern wird mit der Form für gleiche Spannung, Zug senkrecht dazu mit der Form für gleiche Dehnung angenähert
CIn beiden Richtungen gilt die Form für gleiche Dehnung, und der E-Modul hängt nicht von der Faserrichtung ab
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Lösung: A. Zug parallel zu den Fasern wird mit der Form für gleiche Dehnung, Zug senkrecht dazu mit der Form für gleiche Spannung angenähert
Bei Zug parallel zu den Fasern dehnen sich Faser und Matrix wie parallel geschaltete Federn gleich stark, sodass die Gleichung für gleiche Dehnung E₁ = VfEf + VmEm gilt. Bei Zug senkrecht zu den Fasern erfahren Faser und Matrix wie in Reihe geschaltete Federn dieselbe Spannung, und es wird mit der Gleichung für gleiche Spannung 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em angenähert. Bei gleichem Volumenanteil liefert die Gleichung für gleiche Dehnung die obere und die für gleiche Spannung die untere Schranke des Elastizitätsmoduls (Voigt- und Reuss-Schranke). Die Aussage, die parallel gleiche Spannung und senkrecht gleiche Dehnung ansetzt, vertauscht parallel und senkrecht. Der Elastizitätsmodul eines unidirektionalen Werkstoffs unterscheidet sich in Faserrichtung und quer dazu stark; auch die Aussage, er sei richtungsunabhängig, ist falsch. Der reale Quermodul ist meist etwas größer als nach der Gleichung für gleiche Spannung und wird z. B. mit den Halpin-Tsai-Gleichungen korrigiert.
Senkrecht zu den Fasern werden Faser und Harz als in Reihe angeordnet betrachtet, die dieselbe Spannung erfahren, und es gilt 1/E₂ = Vf/Ef + Vm/Em. 1/E₂ = 0,50/72 + 0,50/3,0 = 0,00694 + 0,1667 = 0,1736 GPa⁻¹, also E₂ = 1/0,1736 ≈ 5,76 GPa, etwa 5,8 GPa. Ca. 37,5 GPa ist der mit der Gleichung für gleiche Dehnung 0,50 × 72 + 0,50 × 3,0 berechnete Elastizitätsmodul in Faserrichtung. Ca. 0,17 GPa vergisst, den Kehrwert zu bilden. Der Quermodul bleibt nahe beim Elastizitätsmodul des weichen Harzes und beträgt nur etwa 15 % (etwa 1/6,5) des Werts in Faserrichtung. Deshalb werden unidirektionale Werkstoffe nicht für Bauteile verwendet, die quer zur Faser belastet werden.
Der spezifische E-Modul beträgt bei CFK 140/1,6 = 87,5 und bei Stahl 210/7,9 ≈ 26,6 (beide in GPa/(g/cm³)), das Verhältnis also 87,5/26,6 ≈ 3,3. Der Elastizitätsmodul selbst ist bei CFK zwar kleiner, doch die Dichte beträgt nur etwa ein Fünftel, sodass CFK bei gleichem Gewicht etwa die 3,3-fache Steifigkeit hat. Ca. 0,67 vergleicht nur die Elastizitätsmoduln (140/210), ca. 4,9 nur das Dichteverhältnis (7,9/1,6). Dieser Wert gilt allerdings nur in Faserrichtung; quer zur Faser ist der spezifische E-Modul weit kleiner als der von Stahl. In realen Strukturen werden die Richtungen durch den Lagenaufbau ausgeglichen, sodass der Vorteil der spezifischen Steifigkeit kleiner als dieser Wert ausfällt.
AAn den Enden nahezu null, mit wachsendem Abstand von ihnen durch Grenzflächenschub zunehmend und bei ausreichender Länge in der Mitte konstant
BÜber die ganze Länge gleichförmig, weil die Schubspannung an der Grenzfläche konstant ist, und unabhängig von der Faserlänge
CAn beiden Enden maximal, weil die Stirnflächen die Last direkt aufnehmen, und zur Fasermitte hin abnehmend
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Lösung: A. An den Enden nahezu null, mit wachsendem Abstand von ihnen durch Grenzflächenschub zunehmend und bei ausreichender Länge in der Mitte konstant
Über die Stirnflächen der Faser wird kaum Last übertragen, daher ist die Spannung in der Faser an den Enden nahezu null. Mit zunehmendem Abstand vom Ende wird über die Grenzflächenschubspannung τ nach und nach Last eingeleitet, und die Spannung steigt nahezu proportional zum Abstand vom Ende. Ist die Faser lang genug, gleichen sich ab einem bestimmten Abstand die Dehnungen von Faser und Matrix an, und die Spannung erreicht einen konstanten Höchstwert. Die Länge, die nötig ist, damit dieser Höchstwert die Zugfestigkeit der Faser erreicht, ist die kritische Faserlänge lc; die Festigkeit wird im Abstand lc/2 vom Ende erreicht. Ist die Faser viel länger als lc, wird der Anteil der gering beanspruchten Enden klein, und man erzielt eine Verstärkungswirkung ähnlich wie mit Endlosfasern. Eine konstante Grenzflächenschubspannung bedeutet, dass die Spannung in der Faser mit konstanter Rate zunimmt, nicht aber, dass die Spannung selbst gleichförmig ist. Die Aussage, die Last werde über die Stirnflächen eingeleitet und sei an den Enden maximal, ist umgekehrt.
ADie E-Moduln in 0°- und 90°-Richtung sind gleich, und unter 45° wirken beide Schichten je zur Hälfte, sodass es in der Ebene isotrop ist
BNur die 0°-Richtung hat einen hohen E-Modul; in 90°-Richtung tragen keine Fasern Last, und es gilt der E-Modul des reinen Harzes
CDie E-Moduln in 0°- und 90°-Richtung sind nahezu gleich, doch unter 45° überwiegt der Schub in der Ebene, und der E-Modul ist kleiner
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Lösung: C. Die E-Moduln in 0°- und 90°-Richtung sind nahezu gleich, doch unter 45° überwiegt der Schub in der Ebene, und der E-Modul ist kleiner
Bei [0/90]ₛ nehmen bei Zug in 0°-Richtung die 0°-Schichten und bei Zug in 90°-Richtung die 90°-Schichten die Last in Faserrichtung auf, sodass die E-Moduln in beiden Richtungen nahezu gleich sind. Bei Zug unter 45° weichen die Fasern aller Schichten jedoch um 45° von der Lastrichtung ab; die Verformung ist dann überwiegend ein Schub in der Ebene, den hauptsächlich das Harz trägt, und der Elastizitätsmodul sinkt stark. Soll das Laminat in der Ebene annähernd isotrop sein, wird es wie [0/±45/90]ₛ mit zusätzlichen 45°-Schichten als quasiisotropes Laminat aufgebaut. Die Aussage, unter 45° sei es genauso, übersieht diesen Punkt. Auch in 90°-Richtung tragen die Fasern der 90°-Schichten die Last, sodass nicht der E-Modul des reinen Harzes gilt. Unabhängig vom Lagenaufbau trägt in Dickenrichtung das Harz, sodass Delamination weiterhin leicht auftritt.
Häufige Fragen
Welche Gleichung ist für E2 besser: die inverse Mischungsregel oder Halpin-Tsai?
Die inverse Mischungsregel ist eine Untergrenze, der tatsächliche Wert von E2 liegt daher in der Regel darüber. Bei UD-Schichten mit runden Fasern liegt Halpin-Tsai (ξ = 2) näher an den Messwerten. Bei Kohlenstoff- und Aramidfasern ist der radiale E-Modul der Faser jedoch klein; wichtig ist daher, für Ef2 den radialen und nicht den axialen Wert einzusetzen.
Worin unterscheiden sich E(θ) der Einzelschicht und Ex des Laminats?
E(θ) der Einzelschicht ist der E-Modul einer UD-Schicht bei Zug unter dem Winkel θ zur Faser; er fällt schon bei kleinen Winkeln rasch ab. Ex des Laminats ist der E-Modul in der Ebene für die Gesamtheit der unterschiedlich orientierten Schichten und wird aus der Inversen der ABD-Matrix berechnet. Bei einem quasiisotropen Laminat ist Ex in jeder Richtung gleich.
Sind Laminate mit B ≠ 0 grundsätzlich ungeeignet?
Bei B ≠ 0 biegt sich das Laminat unter Zug und verzieht sich beim Abkühlen nach dem Aushärten. Bauteile, die ihre Form behalten sollen, werden daher meist symmetrisch aufgebaut. Manche Konstruktionen nutzen die Kopplung bewusst (etwa Flügel mit Biege-Drill-Kopplung), doch auch dann muss der Verzug berechnet werden.
Warum kann ein Laminat nach dem Versagen der ersten Schicht noch Last tragen?
Zuerst versagt meist die Matrix der Schichten quer zur Last durch Risse, während deren Fasern noch intakt sind. Die gerissenen Schichten verlieren Quer- und Schubsteifigkeit, und die Last verlagert sich auf die übrigen Schichten. Bis die Fasern in den 0°-Schichten reißen, kann das Laminat weiter Last tragen; das Letztschichtversagen kann daher deutlich über dem Erstschichtversagen liegen. Risse können jedoch Ausgangspunkt für Delamination, Undichtigkeit und Ermüdung sein, daher wird in der Auslegung häufig das Erstschichtversagen als Grenze verwendet.
Welcher Wert sollte für F12* nach Tsai-Wu gewählt werden?
Streng genommen wird F12* aus zweiachsigen Versuchen bestimmt. Da diese schwierig sind, wird häufig der von Tsai und Hahn empfohlene Wert F12* = −1/2 (F12 = −½√(F11F22)) verwendet. F12* muss zwischen −1 und 1 liegen, damit die Versagensfläche geschlossen ist, und sein Wert beeinflusst die vorhergesagte Festigkeit unter zweiachsiger Last.
Soll der Massenanteil oder der Volumenanteil eingegeben werden?
Beides ist möglich. Harzgehalt und Rezepturen von Prepregs werden oft als Massenanteil angegeben; wählt man dann den Massenanteil, wird er über die Dichten in den Volumenanteil umgerechnet. In die Gleichungen geht der Volumenanteil ein; bei Kohlenstofffaser und Epoxidharz ist der Volumenanteil etwa 5–10 Prozentpunkte kleiner als der Massenanteil.
Sind die Voigt- und die Reuss-Gleichung wirklich Ober- und Untergrenze?
Die Untergrenze ist streng: Eine gleichmäßige Spannung erfüllt das Kräftegleichgewicht, daher ist die damit berechnete Ergänzungsenergie mindestens so groß wie der wahre Wert (Prinzip vom Minimum der Ergänzungsenergie), und der E-Modul nach der Gleichung für gleiche Spannung ist höchstens so groß wie der wahre (Paul 1960). Die Obergrenze lautet nur dann VfEf + VmEm, wenn Faser und Matrix dieselbe Querkontraktionszahl haben. Sind die Querkontraktionszahlen verschieden, ist die Obergrenze aus dem Energieprinzip ein etwas größerer Ausdruck, und auch der wahre Wert von E1 in Faserrichtung liegt geringfügig über der Mischungsregel (Hill 1964). Für die Praxis ist E1 = VfEf1 + VmEm ausreichend genau.