Rechentrainer

Typische Rechenaufgaben aus Vorlesungen, Klausuren und Aufnahmeprüfungen der Materialwissenschaft, jedes Mal mit neuen Zahlen. Lösen Sie die Aufgabe selbst und geben Sie das Ergebnis mit Einheit ein: Sie sehen, ob es stimmt, den Rechenweg (welche Werte in welche Formel eingesetzt werden) und den typischen Fehler, auf den Ihr Zahlenwert hindeutet. Sie können auch den passenden Rechner mit denselben Zahlen öffnen und das Ergebnis dort nachprüfen.

Die Zahlen in den Aufgaben sind Übungswerte, die jedes Mal neu aus einem Bereich gewählt werden. Stoffwerte stammen aus der Datensammlung der Rechner dieser Website (Quellen unten) oder werden in der Aufgabe als Annahme angegeben. Für die Auslegung realer Bauteile verwenden Sie Werte aus Normen und Werkstoffdatenblättern.

Zum Erzeugen und Bewerten der Aufgaben wird JavaScript benötigt. Die Liste der Aufgabentypen und die Hinweise zum Lösen, zu Einheiten und zu signifikanten Stellen finden Sie weiter unten auf dieser Seite.

Aufgabentypen (38)

Ein Klick auf einen Typ öffnet eine Aufgabe dieses Typs. Ein Klick auf den Namen eines Gebiets startet mit diesem Gebiet als Auswahl.

Kristallstruktur

Netzebenenabstand (kubisch) ±1 %Abstand der (hkl)-Ebenen aus Gitterkonstante und Millerschen Indizesd = a/√(h² + k² + l²)
Beugungswinkel 2θ (Bragg-Gleichung) ±0,5 %Winkel 2θ, unter dem ein (hkl)-Reflex eines kubischen Metalls auftritt2d sinθ = λ, d = a/√(h² + k² + l²)
Gitterkonstante aus der Reflexlage ±0,5 %Gitterkonstante a eines kubischen Kristalls aus dem 2θ eines (hkl)-Reflexes im XRD-Diagrammd = λ/(2 sinθ), a = d√(h² + k² + l²)
Theoretische Dichte (kubisches Metall) ±1 %Dichte eines Kristalls aus Gitterkonstante, Atommasse und Zahl der Atome je Elementarzelleρ = nM/(N_A a³)
Gitterkonstante und Atomradius ±1 %Für BCC und FCC den Atomradius aus der Gitterkonstante bestimmen oder umgekehrtBCC: √3a = 4r, FCC: √2a = 4r
Flächenbelegung (BCC, FCC) ±1 %Zahl der Atome je Flächeneinheit auf den Ebenen (100), (110) und (111)Flächenbelegung = Atome mit Mittelpunkt auf der Ebene / Ebenenfläche
Packungsdichte eines Ionenkristalls ±1 %Packungsdichte von Steinsalz- und CsCl-Struktur aus den IonenradienPackungsdichte = n·(4/3)π(r₊³ + r₋³)/a³

Zustandsdiagramme

Hebelgesetz (Massenanteile der Phasen) ±1 %Massenanteile der Phasen an einem Punkt im Zweiphasengebiet aus den Enden der KonodeW = (C_anderes Ende − C₀)/(C_anderes Ende − C_Phase)
Voreutektoider Ferrit und Zementit ±1 %Anteile der Gefügebestandteile knapp unter 727 °C in unter- und übereutektoiden Stählenuntereutektoid: W_α′ = (0,76 − C₀)/(0,76 − 0,022); übereutektoid: W_Fe₃C′ = (C₀ − 0,76)/(6,70 − 0,76)
Anteile von Primärkristallen und Eutektikum ±1 %In einer eutektischen Legierung die Anteile von Primärkristallen, Eutektikum und Phasen knapp unter der eutektischen Temperaturuntereutektisch: W_E = (C₀ − C_α)/(C_E − C_α)
Umrechnung von wt% und at% ±1 %Massenprozent und Atomprozent einer binären Legierung über die Atommassen umrechnenx_B = (w_B/M_B)/(w_A/M_A + w_B/M_B)

Diffusion und Gitterfehler

Diffusionskoeffizient (Arrhenius) ±2 %Diffusionskoeffizient bei einer Temperatur aus D₀ und der Aktivierungsenergie QD = D₀ exp(−Q/RT)
Aufkohlungstiefe (Fehlerfunktion) ±2 %Tiefe, in der bei konstanter Oberflächenkonzentration ein bestimmter Kohlenstoffgehalt erreicht wird(Cₓ − C₀)/(Cₛ − C₀) = 1 − erf(x/(2√(Dt)))
Aufkohlungsdauer (Fehlerfunktion) ±2 %Aufkohlungsdauer, bis in einer bestimmten Tiefe der Ziel-Kohlenstoffgehalt erreicht ist(Cₓ − C₀)/(Cₛ − C₀) = 1 − erf(x/(2√(Dt)))
Diffusionszeit bei anderer Temperatur ±2 %Da gleiches Dt dasselbe Profil ergibt: die nötige Zeit bei einer anderen Temperaturt₂ = t₁·D₁/D₂ = t₁ exp[(Q/R)(1/T₂ − 1/T₁)]
Stationäre Diffusionsstromdichte (1. Ficksches Gesetz) ±1 %Stationäre Diffusionsstromdichte aus den Konzentrationen an zwei Stellen einer PlatteJ = −D dC/dx ≈ D(C₁ − C₂)/(x₂ − x₁)
Gleichgewichtskonzentration der Leerstellen ±2 %Zahl der Leerstellen je Kubikmeter aus Bildungsenergie und TemperaturN_v = N exp(−Q_v/kT), N = N_A ρ/M

Mechanische Eigenschaften

Elastische Verlängerung ±1 %Elastische Verlängerung eines Rundstabs aus Kraft, Durchmesser, Länge und E-ModulΔl = Fl₀/(AE), A = πd²/4
Querkontraktionszahl und Durchmesseränderung ±1 %Abnahme des Durchmessers eines Rundstabs aus Spannung, E-Modul und QuerkontraktionszahlΔd = ν(σ/E)d₀
Wahre Spannung und wahre Dehnung ±1 %Technische Spannung und Dehnung vor der Einschnürung in wahre Spannung und wahre Dehnung umrechnenσ_T = σ(1 + ε), ε_T = ln(1 + ε)
Brucheinschnürung und wahre Bruchspannung ±1 %Aus den Durchmessern vor und nach dem Bruch: Brucheinschnürung, wahre Bruchdehnung und wahre BruchspannungRA = (A₀ − A_f)/A₀, ε_T = ln(A₀/A_f), σ_T = F/A_f
Hall-Petch-Beziehung ±1 %σ₀ und k aus den Streckgrenzen bei zwei Korngrößen, daraus die Streckgrenze bei einer weiteren Korngrößeσ_y = σ₀ + k/√d
Schubspannung im Gleitsystem (Schmidsches Schubspannungsgesetz) ±1 %Aus Zugachse und Gleitsystem eines Einkristalls die Schubspannung im Gleitsystem oder die Spannung bei Gleitbeginnτ_R = σ cosφ cosλ

Bruch

Spannungskonzentration an der Rissspitze ±1 %Höchstspannung an der Rissspitze aus Nennspannung, Risslänge und Krümmungsradius an der Rissspitzeσ_max = σ₀(1 + 2√(a/ρ))
Bruchzähigkeit und Bruchspannung ±1 %Aus K_IC und Rissgröße die Spannung, bei der Bruch eintritt, mit K = Yσ√(πa)σ_c = K_IC/(Y√(πa))
Kritische Rissgröße ±1 %Aus K_IC und Betriebsspannung die Risslänge, bei der Bruch eintritta_c = (1/π)(K_IC/(Yσ))²

Thermische Eigenschaften

Wärmeausdehnung ±1 %Freie Längenänderung aus Ausdehnungskoeffizient und TemperaturänderungΔL = αL₀ΔT
Wärmespannung in einem eingespannten Stab ±1 / 0,3 %Wärmespannung in einem zwischen starren Wänden eingespannten Stab oder die zulässige Erwärmungstemperaturσ = −EαΔT
Wärmespannung in dünnen Schichten (äquibiaxial) ±1 %Spannung in einer Schicht auf einem Substrat nach dem Abkühlen von der Beschichtungstemperaturσ = −E(α_f − α_s)ΔT/(1 − ν)
Wärmestromdichte durch eine Platte ±1 %Stationäre Wärmestromdichte aus Temperaturdifferenz und Wärmeleitfähigkeitq = κΔT/L
Wärmespannung in einem Verbundstab (Bimetall) ±1 %Spannung in zwei Stäben aus verschiedenen Metallen, die an beiden Enden verbunden sind und erwärmt werdenσ₁A₁ + σ₂A₂ = 0, α₁ΔT + σ₁/E₁ = α₂ΔT + σ₂/E₂

Verbundwerkstoffe

Mischungsregel (E-Modul in Faserrichtung) ±1 %E-Modul eines Verbundwerkstoffs mit unidirektionalen Endlosfasern in Faserrichtung mit der Gleichung für gleiche DehnungE₁ = V_f E_f + V_m E_m
Inverse Mischungsregel (quer zur Faser) ±1 %E-Modul eines unidirektionalen Verbundwerkstoffs quer zur Faser mit der Gleichung für gleiche Spannung1/E₂ = V_f/E_f + V_m/E_m
Lastaufteilung zwischen Faser und Matrix ±1 %Bei Belastung in Faserrichtung der Lastanteil der Fasern oder das Lastverhältnis von Faser zu MatrixF_f/F_m = V_f E_f/(V_m E_m)

Elektrische Eigenschaften, Korrosion, Hochtemperatur

Drahtwiderstand und Temperatur ±1 %Widerstand eines Drahts bei einer Temperatur über den Temperaturkoeffizienten des spezifischen WiderstandsR = ρ(T)L/A, ρ(T) = ρ₂₀[1 + α_R(T − 20 °C)]
Spezifischer Widerstand von n-Silizium ±1 %Leitfähigkeit und spezifischer Widerstand von n-Silizium aus Donatorkonzentration und Elektronenbeweglichkeitσ = n e µ_e, ρ = 1/σ
Korrosionsabtrag (Faradaysches Gesetz) ±1 %Aus dem Korrosionsstrom die gelöste Metallmasse oder die Geschwindigkeit, mit der die Oberfläche zurückweichtm = ItM/(nF)
Larson-Miller-Parameter ±2 / 0,5 %Aus einem Zeitstandversuch die Bruchzeit bei einer anderen Temperatur oder die Temperatur für eine Ziel-LebensdauerP = T(C + log₁₀t_r)

Bedienung

Wählen Sie ein Gebiet oder einen Aufgabentyp und starten Sie einen Satz mit 5 oder 10 Aufgaben. Ist „Schwache Typen häufiger“ aktiviert, kommen Typen, bei denen Sie bisher öfter falsch lagen, häufiger dran. Ein Klick auf einen Typnamen in der Liste unten öffnet genau eine Aufgabe dieses Typs.

Geben Sie das Ergebnis als Zahl ein und wählen Sie die Einheit im Auswahlfeld. 1,23e-5; 1,23×10^-5 und 1,23 × 10⁻⁵ werden gleichermaßen gelesen. Gibt es ein Auswahlfeld für die Einheit, können Sie in mm, in µm oder in jeder anderen angebotenen Einheit antworten, sofern die Zahl zur gewählten Einheit passt (umgerechnet wird mit dem Faktor der Einheit).

„Prüfen“ zeigt, ob das Ergebnis stimmt, und öffnet den Rechenweg. Bei einem falschen Ergebnis wird angezeigt, auf welchen typischen Fehler Ihr Zahlenwert hindeutet (Radius und Durchmesser, °C und K, wt% und at%, 2θ und θ usw.). „Lösung anzeigen“ öffnet den Rechenweg, ohne dass Sie antworten.

„Link zu dieser Aufgabe kopieren“ liefert eine URL, die dieselbe Aufgabe mit denselben Zahlen öffnet. Die URL enthält nur den Aufgabentyp und eine Startzahl (Seed), nie die Lösung. Ihre Ergebnisse werden nur in diesem Browser gespeichert (localStorage) und nirgendwohin gesendet. Blockiert Ihr Browser das Speichern, funktionieren die Aufgaben trotzdem; nur die Ergebnisse bleiben nicht erhalten.

Tipps zum Lösen von Rechenaufgaben

Schreiben Sie zuerst die gegebenen und die gesuchten Größen mit Formelzeichen und Einheiten auf. Begriffe wie „Durchmesser“, „Gesamtlänge 2a“ oder „Massenanteil“ entsprechen oft nicht der Größe, die in die Formel gehört (Radius, a, Volumenanteil); korrigieren Sie das an dieser Stelle.

Am sichersten ist es, vor dem Einsetzen alles in SI-Einheiten (m, kg, s, K, J, Pa) umzurechnen. In der Festigkeitslehre ist auch die Kombination MPa und mm (1 MPa = 1 N/mm²) praktisch, aber bei einer Bruchzähigkeit in MPa·√m muss die Länge in Metern stehen. Eine Temperaturdifferenz ΔT hat in °C und K denselben Zahlenwert, das T in exp(−Q/RT) oder T(C + log t) muss jedoch immer die absolute Temperatur sein.

Prüfen Sie die Größenordnung des Ergebnisses. Netzebenenabstände von Metallen liegen bei 0,1–0,3 nm, Dichten bei 2–22 g/cm³, die Wärmespannung in einem eingespannten Stahlstab, der um 100 K erwärmt wird, bei einigen hundert MPa, und Aufkohlungstiefen bei 0,1 bis einigen mm. Weichen Sie um den Faktor 10 oder mehr ab, liegt der Fehler wahrscheinlich bei einer Einheitenumrechnung oder einer Zehnerpotenz.

Behalten Sie bei Zwischenwerten ein bis zwei Stellen mehr als im Ergebnis (am sichersten im Speicher des Taschenrechners). Wer zwischendurch auf drei Stellen rundet und mit dem gerundeten Wert weiterrechnet, kann bei Differenzen, Exponentialfunktionen und Potenzen Fehler so verstärken, dass das Ergebnis außerhalb der Toleranz liegt.

Einheiten

Das Auswahlfeld bietet andere Einheiten derselben Größe an (nm und Å, MPa und GPa, m²/s und cm²/s, h und s usw.). Ein in der gewählten Einheit richtiger Wert wird als richtig gewertet. Wird nur eine Einheit angezeigt, antworten Sie in dieser Einheit.

Anteile können als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 oder in % angegeben werden (0,25 und 25 % sind dasselbe). Bei Massen- oder Volumenanteilen ist beides zulässig.

Temperaturen werden in °C oder K angegeben. Da man zwischen beiden durch Addieren oder Subtrahieren von 273,15 umrechnet und nicht durch Multiplizieren, ist ein °C-Wert, der bei gewählter Einheit K eingegeben wird, falsch. Geben Sie umgekehrt einen K-Wert als °C an, erscheint der Hinweis „Sie haben die absolute Temperatur (K) so angegeben, als wäre sie in °C“.

Nützliche Umrechnungen: 1 nm = 10 Å = 10⁻⁹ m; 1 µm = 10⁻⁶ m; 1 MPa = 1 N/mm² = 10⁶ Pa; 1 GPa = 1000 MPa; 1 cm²/s = 10⁻⁴ m²/s; 1 g/cm³ = 1000 kg/m³; 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J; 1 kJ/mol = 1000 J/mol.

Signifikante Stellen und Bewertung

Die Zahlen in jeder Aufgabe sind bereits auf die angezeigten Stellen gerundet, und die Referenzlösung wird aus diesen gerundeten Zahlen berechnet. Wer mit den Zahlen rechnet, wie sie dastehen, kann also nie wegen der Rundung der Angaben falsch liegen.

Bewertet wird nach dem relativen Fehler. Die meisten Typen akzeptieren ±1 %. Typen, deren Rechnung über eine Exponentialfunktion läuft (Diffusionskoeffizient, Aufkohlen, Leerstellenkonzentration, Zeit nach Larson-Miller), akzeptieren ±2 %, weil Rundungen unterwegs dort stärker ins Gewicht fallen; Typen, die viele Stellen benötigen, etwa Winkel und Gitterkonstanten, akzeptieren ±0,5 %. Typen, deren Ergebnis eine Temperatur ist (höchste Temperatur des eingespannten Stabs, Temperatur nach Larson-Miller), werden nach dem relativen Fehler der absoluten Temperatur in K bewertet (±0,3 % bzw. ±0,5 %, zwischen 300 und 1200 K also etwa ±1 bis 6 K). Die Toleranz wird bei jeder Aufgabe angezeigt.

Es genügt, das Ergebnis mit der angegebenen Zahl signifikanter Stellen (meist 3) einzugeben; mehr Stellen sind erlaubt. Ist der genaue Wert zum Beispiel 0,2867 nm, werden sowohl 0,287 als auch 0,2867 als richtig gewertet. Mit nur zwei Stellen wie 0,29 kann die Abweichung über 1 % liegen und die Antwort als falsch gelten.

Liegen Sie knapp außerhalb der Toleranz (innerhalb von 5 %), erscheint der Hinweis „Knapp daneben“ mit dem Verweis auf zu starkes Runden oder eine andere Konstante. Der Ansatz stimmt dann meist: Prüfen Sie, ob Sie Zwischenwerte zu stark gerundet und die in der Aufgabe angegebenen Konstanten (N_A, R, k usw.) verwendet haben.

Datenquellen

Gitterkonstanten, Dichten, Kristallstrukturen und Atommassen: Daten des Periodensystems für Werkstoffe (Gitterkonstanten und Dichten aus dem CRC Handbook of Chemistry and Physics; Standardatomgewichte nach IUPAC/CIAAW).
Wertebereiche von E-Modul, Ausdehnungskoeffizient, Wärmeleitfähigkeit und Bruchzähigkeit: Daten des Werkstoffschaubilds (Bereiche aus M. F. Ashby, „Material property data for engineering materials“, 5. Aufl., 2021). Gewählt wird ein Wert innerhalb des Bereichs, der in der Aufgabe als Annahme genannt wird.
Werte der Zustandsdiagramme (Cu–Ni, Pb–Sn, Ag–Cu, Al–Si, Al–Cu, Pt–Ag) und eutektoider Punkt von Fe–C: Daten des Labors für binäre Zustandsdiagramme und des interaktiven Eisen-Kohlenstoff-Diagramms (Werte u. a. aus Callister, „Materials Science and Engineering“; die Seite des jeweiligen Rechners nennt die Quelle für jedes System). Für Fe–C gelten: eutektoider Punkt 0,76 wt% C; Löslichkeit von Kohlenstoff in Ferrit 0,022 wt% C; Fe₃C 6,70 wt% C.
Röntgenwellenlängen: Dieselben Kα1-Werte wie in der XRD-Analyse-Werkbank (λ = hc/E aus den Photonenenergien im X-ray Data Booklet).
D₀ und Q der Diffusion, Fehlerfunktion: Dieselben Werte wie in der Datensammlung des Simulators für Diffusion und Oberflächenbehandlung (Tabelle 5.2 aus W. D. Callister, Jr., D. G. Rethwisch, „Materials Science and Engineering: An Introduction“, 9. Aufl.). Auch die Fehlerfunktion und ihre Umkehrfunktion werden wie in diesem Rechner berechnet. Die Temperaturen werden so gewählt, dass der Rechner keine Warnung ausgibt (innerhalb des Phasengebiets; bei Substitutionsdiffusion oberhalb des 0,75-Fachen der Schmelztemperatur), und die Oberflächenkonzentration beim Aufkohlen bleibt unterhalb der Acm-Linie bei dieser Temperatur.
Spezifische Widerstände der Leiter: Weichgeglühtes Normkupfer (IEC 60028: 1,7241 × 10⁻⁸ Ω·m bei 20 °C, Temperaturkoeffizient 0,00393 K⁻¹) und Leitaluminium (61 % IACS: 2,8264 × 10⁻⁸ Ω·m, Temperaturkoeffizient 0,00403 K⁻¹).
Physikalische Konstanten: CODATA-Werte, gerundet auf 3–4 Stellen (N_A = 6,022 × 10²³ mol⁻¹; R = 8,314 J/(mol·K); k = 8,617 × 10⁻⁵ eV/K; e = 1,602 × 10⁻¹⁹ C; F = 96485 C/mol).
Angenommene Werte: Bildungsenergien von Leerstellen, Querkontraktionszahlen, Hall-Petch-Konstanten, kritische Schubspannungen, E-Moduln der Fasern, Ionenradien, die Larson-Miller-Konstante C = 20 und Ähnliches sind Übungswerte, die aus einem für den Werkstoff plausiblen Bereich gewählt werden. Die Elektronenbeweglichkeit von n-Silizium liegt innerhalb von ±5 % des Werts, der sich nach Caughey–Thomas aus der Donatorkonzentration N ergibt: µ = 52,2 + 1365/[1 + (N/9,68 × 10¹⁶ cm⁻³)^0,68] cm²/(V·s) (300 K, Koeffizienten nach Jacoboni et al. 1977).

Häufige Fragen

Mein Ergebnis müsste stimmen, wird aber als falsch gewertet.

Prüfen Sie zuerst das Auswahlfeld für die Einheit. Passt die gewählte Einheit nicht zur eingegebenen Zahl, wird auch ein richtiger Wert als falsch gewertet (meist mit dem Hinweis „Das sieht nach einer Verwechslung der Einheit aus“). Stimmen die Einheiten und liegen Sie nur knapp daneben, haben Sie wahrscheinlich Zwischenwerte zu stark gerundet oder eine andere Konstante verwendet. Rechnen Sie mit den Zahlen und Konstanten aus der Aufgabe und behalten Sie unterwegs mindestens vier Stellen.

Wie werden die Zahlen gewählt?

Für jeden Typ sind Bereiche festgelegt, die für reale Werkstoffe realistisch sind, und daraus werden jedes Mal Werte gezogen. Stoffwerte wie Gitterkonstanten, Dichten, E-Moduln und Ausdehnungskoeffizienten stammen aus denselben Daten wie das Periodensystem für Werkstoffe, das Werkstoffschaubild und das Labor für binäre Zustandsdiagramme dieser Website. Bei Stoffwerten, die als Bereich angegeben sind (etwa dem E-Modul), wird ein Wert innerhalb des Bereichs gewählt und in der Aufgabe als Annahme genannt.

Kann ich dieselbe Aufgabe noch einmal lösen oder sie jemandem weitergeben?

Ja. Öffnen Sie die URL aus „Link zu dieser Aufgabe kopieren“ (?t=Typ&s=Seed), dann erhalten Sie dieselbe Aufgabe mit denselben Zahlen. Die URL enthält die Lösung nicht; Sie können sich damit also gegenseitig Aufgaben stellen.

Wo werden meine Ergebnisse gespeichert? Kann ich sie löschen?

Nur im localStorage dieses Browsers; nichts wird an einen Server gesendet, und die Daten werden nicht mit anderen Geräten oder Browsern geteilt. Mit „Ergebnisse löschen“ unten auf der Seite entfernen Sie sie. Im privaten Modus oder wenn das Speichern blockiert ist, bleiben keine Ergebnisse erhalten, die Aufgaben funktionieren aber normal.

Wie wählt „Schwache Typen häufiger“ aus?

Für jeden Typ gilt: Je höher der Anteil Ihrer falschen Antworten im Verhältnis zu den richtigen, desto eher wird er gewählt. Typen, die Sie noch nicht bearbeitet haben, kommen trotzdem in angemessenem Umfang vor. Innerhalb eines Satzes kommt derselbe Typ nie zweimal direkt hintereinander.

Was bringt es, den Rechner zu öffnen?

Der passende Rechner öffnet sich mit denselben Zahlen, sodass Sie das Ergebnis auf anderem Weg prüfen oder sehen können, was sich bei geänderten Bedingungen ändert. Bei einer Aufgabe zum Bragg-Winkel zeigt zum Beispiel die XRD-Analyse-Werkbank das ganze Beugungsdiagramm, bei einer Aufgabe zum Aufkohlen der Simulator für Diffusion und Oberflächenbehandlung das Konzentrationsprofil. Für Typen, die kein Rechner abdeckt, werden stattdessen Links zu verwandten Begriffen und Artikeln angezeigt.

Das Ergebnis im Lehrbuch ist etwas anders.

Lehrbücher runden oft Zwischenwerte oder verwenden gekürzte Konstanten (N_A = 6,02 × 10²³; R = 8,31), sodass die dritte Stelle abweichen kann. Die Lösungen hier werden ohne Rundung von Zwischenwerten aus den Zahlen und Konstanten der Aufgabe berechnet. Was innerhalb der Toleranz liegt, wird in beiden Fällen als richtig gewertet.

Muss ich mir merken, welche Elemente BCC und welche FCC sind?

In diesem Rechentrainer steht die Kristallstruktur in der Aufgabe. In Prüfungen ist das nicht immer so; es hilft daher, sich zu merken, dass Fe (α), Cr, Mo, W, V, Nb und Ta kubisch-raumzentriert (BCC, krz) und Al, Cu, Ni, Ag, Au, Pt, Pb und Pd kubisch-flächenzentriert (FCC, kfz) sind.