Ändert sich die Temperatur, dehnt sich ein Werkstoff aus oder zieht sich zusammen; wird diese Bewegung behindert, entsteht eine Wärmespannung. Auf dieser Seite wählen Sie einen Werkstoff und berechnen die freie Ausdehnung, die Spannung für jede Art der Behinderung, Spannungen durch Temperaturdifferenzen in Platten und Hohlzylindern, Verbunde zweier Werkstoffe (Bimetall, dünne Schicht, Lötstelle), die Temperaturdifferenz, bei der ein Bauteil beim Abschrecken reißt, sowie die Abstimmung von Schrumpfverbänden und Glaseinschmelzungen. Voreingestellt ist ein beidseitig eingespannter Stab aus Baustahl, der von 20 °C auf 70 °C erwärmt wird; dabei entsteht eine Druckspannung von etwa 130 MPa.
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Ergebnisse
Die Werkstoffwerte sind typische Werte. Die tatsächlichen Werte ändern sich mit Zusammensetzung, Verarbeitung und Temperatur; verwenden Sie für die Auslegung die Werte aus den Unterlagen Ihres Werkstoffs. Gerechnet wird im elastischen Bereich; der Spannungsabbau durch plastische Verformung oder Kriechen ist nicht berücksichtigt.
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Warum Festkörper sich ausdehnen: das unsymmetrische Potential
Die potentielle Energie zwischen zwei Atomen steigt bei Annäherung steil an, bei Entfernung dagegen nur flach; der Potentialtopf ist also unsymmetrisch. Steigt die Temperatur und schwingen die Atome mit größerer Amplitude, schwingen sie weiter zur flachen (fernen) Seite aus, und der mittlere Atomabstand wächst. Das ist die Wärmeausdehnung. Wäre das Potential eine exakte Parabel (harmonische Schwingung), würde sich die mittlere Lage auch bei größeren Schwingungen nicht verschieben, und es gäbe keine Wärmeausdehnung. Nach der Grüneisen-Beziehung ist der Volumenausdehnungskoeffizient proportional zur Wärmekapazität bei konstantem Volumen und fällt daher bei tiefen Temperaturen wie diese steil ab. Für das Kupfer der Werkstoffdaten (zertifizierte Werte des NMIJ) beträgt α bei 20 K 0,28×10⁻⁶ K⁻¹, bei 100 K 10,5×10⁻⁶ K⁻¹ und bei 300 K 16,7×10⁻⁶ K⁻¹. Silizium hat unterhalb von etwa 120 K ein negatives α (um 80 K etwa −0,47×10⁻⁶ K⁻¹) und dehnt sich beim Abkühlen aus, weil es unter den Gitterschwingungen Moden gibt, deren Frequenz mit zunehmendem Volumen steigt (negative Grüneisen-Parameter).
Warum sich α von Werkstoff zu Werkstoff unterscheidet
Je stärker die Bindung und je tiefer der Potentialtopf, desto weniger wächst der Atomabstand bei gleicher Temperatur und desto höher ist tendenziell der Schmelzpunkt. In der Nähe der Raumtemperatur beträgt α für Wolfram 4,5, für Eisen 11,8, für Kupfer 16,5, für Aluminium 23,1 und für Blei 28,9 (×10⁻⁶ K⁻¹): Je höher der Schmelzpunkt des Metalls, desto kleiner ist α. Kovalent gebundene Keramiken haben kleine Werte (Siliziumnitrid 2,8, Siliziumcarbid 3,7, Mittelwerte über 40–400 °C), Polymere, deren Molekülketten nur durch schwache Kräfte zusammengehalten werden, dagegen große Werte von 60–200. Quarzglas hat mit 0,5 ein sehr kleines α, weil das Netzwerk aus SiO₄-Tetraedern die Dehnung durch Drehen der Bindungen aufnehmen kann. Bei Invar (Fe-36Ni) nimmt die durch den Magnetismus bedingte Volumenvergrößerung (Magnetovolumeneffekt) mit steigender Temperatur ab und gleicht die normale Wärmeausdehnung aus, sodass α unterhalb der Curie-Temperatur (etwa 279 °C) nur 1–2 beträgt. Bei manchen Werkstoffen hängt α von der Kristall- oder Faserrichtung ab: Eine Leiterplatte vom Typ FR-4 hat in der Ebene 13–14, in Dickenrichtung aber 45×10⁻⁶ K⁻¹ (unterhalb von Tg).
Mittleres und momentanes α; Länge, Fläche und Volumen
Da sich α mit der Temperatur ändert, muss man prüfen, in welchem Sinn eine Quelle den Wert angibt. Das momentane α ist die relative Längenänderung bei dieser Temperatur, (1/L)(dL/dT). Das mittlere α ist die Längenänderung von einer Bezugstemperatur (20 °C oder 25 °C) bis zu einer bestimmten Temperatur, geteilt durch die Temperaturdifferenz; Datenblattwerte wie „30–400 °C“ sind mittlere Werte. Die Längenänderung ist ΔL = L·∫α dT, bei konstantem α also ΔL = αLΔT. Diese Seite integriert Tabellen des momentanen α nach der Trapezregel und rechnet Tabellen des mittleren α punktweise in Wärmedehnungen um, die dann verbunden werden. Bei Aluminiumoxid etwa ändert sich das momentane α deutlich, von 5,4 bei 20 °C auf 9,4×10⁻⁶ K⁻¹ bei 827 °C. Bei isotropen Werkstoffen ist die Flächenänderung (1 + ε)² − 1 ≈ 2ε und die Volumenänderung (1 + ε)³ − 1 ≈ 3ε; der Volumenausdehnungskoeffizient beträgt also etwa 3α.
Behinderung und Wärmespannung: einachsig, zweiachsig, dreiachsig und teilweise
Kann sich ein Körper frei ausdehnen, wächst er um die Wärmedehnung αΔT, und es entsteht keine Spannung. Wird die Ausdehnung verhindert, entsteht eine elastische Dehnung, die die Wärmedehnung gerade aufhebt; die zugehörige Spannung ist die Wärmespannung. Für einen Stab zwischen starren Wänden gilt σ = −EαΔT (Druck beim Erwärmen). Bei einer in beiden Richtungen der Ebene behinderten Platte oder einer dünnen Schicht auf einem Substrat hebt die Spannung in der einen Richtung über die Querkontraktion einen Teil der Dehnung in der anderen auf; um dieselbe Dehnung zu verhindern, ist daher eine größere Spannung nötig, und es gilt σ = −EαΔT/(1 − ν). Sind alle drei Richtungen behindert, ist die Spannung hydrostatisch, σ = −EαΔT/(1 − 2ν), und wird bei Werkstoffen mit ν nahe 0,5 sehr groß. Dehnt sich auch die behindernde Seite aus (ein Rahmen aus einem anderen Werkstoff), verwendet man statt α die Differenz α − αs; ist die Behinderung nachgiebig wie eine Feder, wirken Stab und Feder in Reihe, und die Spannung beträgt das η-Fache mit η = 1/(1 + EA/(kL)). Bei vollständiger Behinderung hängt die Wärmespannung nicht von der Länge ab. Die Länge bestimmt die Größe der Bewegung; deshalb erhalten Schienen und Brücken Dehnungsfugen.
Innere Spannungen durch Temperaturdifferenzen: Platte und Zylinder
Auch ohne äußere Behinderung entstehen Spannungen, wenn innerhalb eines Bauteils Temperaturdifferenzen bestehen, weil die heißen Bereiche von den kalten an der Ausdehnung gehindert werden. Eine Platte mit linearer Temperaturverteilung über die Dicke ist bei freien Rändern spannungsfrei und wölbt sich gleichmäßig mit der Krümmung κ = αΔT/h. Wird die Wölbung verhindert und die Platte eben gehalten, entstehen an den Oberflächen Spannungen von ±EαΔT/(2(1 − ν)); die heiße Seite steht unter Druck, die kalte unter Zug. Bei einer nichtlinearen Temperaturverteilung (etwa während des Abschreckens) bleiben auch in einer freien Platte Spannungen. Für einen langen Hohlzylinder mit einer Temperaturdifferenz zwischen innen und außen (stationäre Wärmeleitung, Temperatur linear in ln r) ergeben die Gleichungen von Timoshenko & Goodier die Spannungen: Ist die Innenseite heißer, steht die Innenfläche in Umfangs- und Axialrichtung unter Druck, die Außenfläche unter Zug. Bei dünnwandigen Zylindern nähern sich die Oberflächenspannungen ±EαΔT/(2(1 − ν)). Diese Spannungen verursachen Risse und Ermüdung in Wärmetauscherrohren sowie in Ofen- und Motorbauteilen.
Bimetall: die Gleichung von Timoshenko
Verbindet man zwei Streifen mit unterschiedlichem Längenausdehnungskoeffizienten und erwärmt sie, krümmen sie sich gleichmäßig so, dass die Seite mit der größeren Ausdehnung außen (konvex) liegt; beim Abkühlen krümmen sie sich in die Gegenrichtung. Timoshenko (1925) leitete aus dem Kräfte- und Momentengleichgewicht der beiden Schichten die Krümmung 1/ρ = 6(α2 − α1)ΔT(1 + m)²/(h[3(1 + m)² + (1 + mn)(m² + 1/(mn))]) her (m Dickenverhältnis t1/t2, n Modulverhältnis E1/E2, h Gesamtdicke). Bei gleicher Dicke und gleichem Modul gilt 1/ρ = 3ΔαΔT/(2h). Bei vorgegebener Gesamtdicke ist die Krümmung beim Dickenverhältnis m = 1/√n am größten, und bei angepassten Dicken wirkt sich das Modulverhältnis nur wenig aus. Die Krümmung ist proportional zu ΔαΔT und umgekehrt proportional zur Dicke; dünne Streifen krümmen sich also stärker. Bimetalle werden in Thermostaten, Thermometern und Schutzschaltern eingesetzt; für die Seite mit der kleinen Ausdehnung verwendet man unter anderem Invar.
Wärmespannung dünner Schichten auf Substraten und die Stoney-Gleichung
Kühlt man eine bei hoher Temperatur abgeschiedene Schicht auf Raumtemperatur ab, bleibt in der Schicht entsprechend der Differenz der Ausdehnung von Schicht und Substrat eine zweiachsige Spannung zurück. Ist das Substrat ausreichend dick, gilt σf = Ef/(1 − νf)·(αs − αf)ΔT (ΔT = Raumtemperatur − Abscheidetemperatur): Ist das α der Schicht größer (Al auf Si), steht sie nach dem Abkühlen unter Zug, ist es kleiner (SiO₂ auf Si), unter Druck. Die Schichtspannung krümmt das Substrat; die Krümmung beschreibt die Stoney-Gleichung κ = 6σf·tf/(Ms·ts²) (Ms = Es/(1 − νs) biaxialer Modul des Substrats). Da die Gleichung den Modul der Schicht nicht enthält, erhält man die Schichtspannung ohne Kenntnis der Schichteigenschaften, wenn man die Durchbiegung des Wafers vor und nach der Abscheidung mit einem Laser misst. Das ist das Standardverfahren zur Messung von Schichtspannungen in der Halbleiterfertigung. Der biaxiale Modul eines Si-(100)-Wafers beträgt etwa 180 GPa und ist eine andere Größe als E (130 GPa) und ν (0,28) in der (100)-Ebene. Wird die Schicht dicker (tf/ts über einige Prozent), wächst die Abweichung von der Zweischichtformel.
Wärmedehnung von Lötstellen und Richtwert der Lebensdauer
Die Ausdehnungsdifferenz zwischen einem Bauteil (Keramik oder Silizium) und der Leiterplatte (FR-4-Typ, in der Ebene etwa 13×10⁻⁶ K⁻¹) verschiebt die Lötstellen bei jedem Temperaturwechsel seitlich. Die Verschiebung im Abstand LD vom Mittelpunkt (dem unbewegten Punkt) beträgt LD·|Δα|·ΔT, und die Schubdehnung eines Lots der Höhe h ist Δγ ≈ F·LD·|Δα|·ΔT/h. An den Ecken großer Bauteile und bei niedrigen Lötstellen ist die Dehnung am größten und die Lebensdauer am kürzesten. Engelmaier gab auf der Grundlage von Ermüdungsversuchen an eutektischem SnPb-Lot mit der Beziehung vom Coffin-Manson-Typ Nf = ½(Δγ/(2εf′))^(1/c) einen Richtwert für die Lebensdauer an (εf′ = 0,325; c ist eine negative Zahl, die von der mittleren Temperatur und der Zyklenfrequenz abhängt). Diese Gleichung ist eine empirische Beziehung aus Versuchen an SnPb und lässt sich nicht unmittelbar auf bleifreie Lote, mit Underfill verstärkte Verbindungen oder Bauteile übertragen, deren Anschlüsse sich biegen und die Dehnung aufnehmen. Verwenden Sie sie als Richtwert für Vergleiche.
Thermoschock: R, R′ und die Biot-Zahl
Schreckt man einen heißen Körper ab, möchte sich zuerst nur die Oberfläche zusammenziehen, wird aber vom Inneren daran gehindert, sodass an der Oberfläche Zugspannungen entstehen. Kühlt die Oberfläche schlagartig ab und ist sie vollständig behindert, beträgt die Spannung EαΔT/(1 − ν); die Temperaturdifferenz, bei der das Bauteil reißt, ist daher R = σf(1 − ν)/(Eα) (erster Thermoschockparameter nach Kingery 1955). Tatsächlich bestimmt der Wärmeübergang, wie schnell die Oberfläche abkühlt; ist die Biot-Zahl β = ah/κ (a halbe Dicke, h Wärmeübergangskoeffizient) klein, ist auch die Spannung klein. Manson (1953) näherte den Anteil der größten Spannung in einer unendlich ausgedehnten Platte durch 1/(1,5 + 3,25/β − 0,5e^(−16/β)) an. Bei großem β gilt ΔTc → R, bei kleinem β ΔTc ≈ 3,25R′/(ah); dann ist R′ = Rκ mit der Wärmeleitfähigkeit maßgebend. Quarzglas hat wegen seines sehr kleinen α ein großes R, Kalk-Natron-Glas mit großem α und geringer Festigkeit dagegen ein kleines R. Siliziumnitrid ist fest und hat ein kleines α und gehört damit zu den besonders thermoschockbeständigen Keramiken. Beim Abkühlen steht die Oberfläche unter Zug, beim Erwärmen unter Druck; da spröde Werkstoffe auf Druck fest sind, ist das Abschrecken die kritischere Richtung.
Abstimmung der Wärmeausdehnung: Schrumpfverband und Spiel
Beim Schrumpfverband wird das Teil mit der Bohrung erwärmt und dadurch aufgeweitet, die Welle eingeführt und nach dem Abkühlen durch den Druck aus dem Übermaß festgehalten. Die nötige Temperaturdifferenz ist (δ + c)/(αd), mit dem Übermaß δ und dem zum Fügen nötigen Spiel c. Beim Dehnverband, bei dem stattdessen die Welle abgekühlt und dadurch geschrumpft wird, verwendet man flüssigen Stickstoff (−196 °C). Der Fugendruck folgt aus den Lamé-Gleichungen für dickwandige Zylinder; an der Bohrung des Außenteils entsteht eine Tangentialzugspannung p(D² + d²)/(D² − d²). Bei Teilen aus unterschiedlichen Werkstoffen ändert sich das Übermaß bei Betriebstemperatur: Wird ein Aluminiumteil auf eine Stahlwelle aufgeschrumpft, dehnt sich das Aluminium bei steigender Temperatur stärker aus, und das Übermaß nimmt ab. Für das Spiel gilt dasselbe: Bei Paarungen mit unterschiedlichem α wie einem Aluminiumkolben in einem Gusseisenzylinder legt man die Maße mit Blick auf das Spiel im warmen Zustand fest.
Glas-Metall-Einschmelzungen, Invar und Kovar
Bei einer Einschmelzung, in der Glas und Metall durch Schmelzen verbunden werden, wird die Schwindungsdifferenz zwischen der Einfriertemperatur des Glases (Richtwert: unterer Kühlpunkt oder Tg) und Raumtemperatur unmittelbar zur Spannung. Glas ist zugempfindlich, daher passt man die Ausdehnung beider Partner möglichst genau an (Anpassungseinschmelzung) und legt eine verbleibende Differenz so, dass das Glas leicht unter Druck steht (Druckeinschmelzung). Für Kovar (Fe-29Ni-17Co) legt ASTM F15 ein mittleres α von 4,60–5,20×10⁻⁶ K⁻¹ über 30–400 °C fest; es ist auf harte Einschmelzgläser (Borosilikatgläser) mit einem α von etwa 5 abgestimmt. Auch unter den Borosilikatgläsern weicht BOROFLOAT 33 (3,25) deutlich ab, daher kommt es auf die Wahl des Glases an. Platin (8,8) und Kalk-Natron-Glas (9,0) sind eine Paarung mit nahe beieinanderliegenden Werten. Das kleine α von Invar und Kovar beruht auf dem Magnetovolumeneffekt; oberhalb der Curie-Temperatur (Invar etwa 279 °C, Kovar etwa 435 °C) wird α größer. Bei einer Einschmelzung muss die Ausdehnung einschließlich dieses Knicks über den gesamten Temperaturbereich abgestimmt sein.
Beispiele aus der Praxis: Schienen und Brücken, Halbleitergehäuse, Glas, Motoren
Ein 50 m langer Stahlträger einer Brücke dehnt sich bei einer Temperaturänderung von 60 K um 12×10⁻⁶ × 50 m × 60 K = 36 mm aus oder zieht sich zusammen; Dehnungsfugen nehmen diese Bewegung auf. Beim lückenlos verschweißten Gleis wird die Schiene dagegen festgehalten, sodass sie sich nicht ausdehnen kann, und die entstehende Längskraft wird in der Auslegung berücksichtigt (bei hohen Temperaturen ist auf Gleisverwerfungen zu achten). In Halbleitergehäusen verursachen die Ausdehnungsdifferenzen zwischen Siliziumchip (etwa 2,6), Moldmasse, Leadframe aus Kupfer (etwa 17) und Leiterplatte Verzug und Delamination an Lot- und Klebegrenzflächen. Fensterglas kann reißen, wenn die Sonne die Mitte erwärmt, während der beschattete Rand kalt bleibt und dadurch unter Zug gerät (thermischer Bruch); die Hersteller geben eine zulässige Temperaturdifferenz an (BOROFLOAT 33 je nach Bedingungen 80–175 K). In Motoren werden die Ausdehnungsdifferenz zwischen Aluminiumkolben und Bauteilen aus Gusseisen oder Stahl, Wärmespannungen in Abgasanlagen und die Ausdehnungsdifferenz zwischen Wärmedämmschichten und Metall an Turbinenschaufeln, die zum Abplatzen führen kann, in der Auslegung berücksichtigt.
Grenzen dieser Rechnungen
Alle Gleichungen auf dieser Seite gelten im elastischen Bereich. Übersteigt die Wärmespannung die Streckgrenze, verformt sich ein Metall plastisch, und nach der Rückkehr zur Ausgangstemperatur bleiben Eigenspannungen mit umgekehrtem Vorzeichen zurück. Bei hohen Temperaturen (oberhalb etwa des 0,4-Fachen der absoluten Schmelztemperatur) bauen sich Spannungen durch Kriechen ab, sodass sie bei langem Halten kleiner werden als berechnet. Auch E, Streckgrenze und Wärmeleitfähigkeit ändern sich mit der Temperatur; diese Seite berücksichtigt nur die Temperaturabhängigkeit von α. Rechnungen über Temperaturen hinweg, bei denen sich die Eigenschaften sprunghaft ändern – etwa die Umwandlung von Stahl (etwa 750–860 °C), die Phasenumwandlung von Zirkonoxid oder den Glasübergang eines Polymers –, lassen sich nicht unverändert verwenden. Verbundwerkstoffe, Einkristalle und Walzprodukte haben richtungsabhängige α und E (Anisotropie), während viele Gleichungen auf dieser Seite isotrope Werkstoffe voraussetzen. Die Festigkeit von Keramiken und Gläsern streut stark (Weibull-Verteilung) und sinkt mit der Bauteilgröße und der Tiefe von Fehlern; das ΔTc beim Thermoschock ist daher ein Richtwert.
Typische Fehler
Vergisst man bei dünnen Schichten oder in der Ebene behinderten Platten die Division durch (1 − ν), unterschätzt man die Spannung um etwa 30 %. Das Vorzeichen der Spannung bestimmt man sicher mit der Frage, in welche Richtung sich der Körper ohne Behinderung bewegen würde (Erwärmen mit verhinderter Ausdehnung ergibt Druck, Abkühlen mit verhinderter Schrumpfung Zug). Vermischt man mittleres und momentanes α oder mittlere α mit unterschiedlichen Bezugstemperaturen, entstehen über weite Temperaturbereiche nicht vernachlässigbare Fehler. Setzt man die Biegefestigkeit in R ein, überschätzt man bei großen Bauteilen die Festigkeit. Den E-Modul des Substrats unverändert in die Stoney-Gleichung einzusetzen ist falsch; zu verwenden ist der biaxiale Modul E/(1 − ν) (für Si (100) etwa 180 GPa). Beim Multiplizieren von GPa mit 10⁻⁶ hilft zur Kontrolle der Größenordnung die Merkregel 200 GPa × 12×10⁻⁶ K⁻¹ = 2,4 MPa/K.
Werte und Quellen der Werkstoffdaten
Für reine Metalle stammen α, ν und Wärmeleitfähigkeit aus Tabellen, die Werte aus dem CRC Handbook und ähnlichen Quellen zusammenstellen (um 25 °C); E und Dichte sind dieselben Werte wie im Periodensystem für Werkstoffe dieser Website. Temperaturdaten gibt es für Al (Gleichung nach Hidnert 1924, 20–600 °C), Baustahl (Gleichung nach EN 1993-1-2, 20–1200 °C), Cu (NMIJ CRM 5805-a, 20–300 K), Si (empfohlene Werte nach Swenson 1983, 100–800 K), Aluminiumoxid (NMIJ CRM 5801-a, 293–1100 K), Quarzglas (NMIJ CRM 5802-a, 293–800 K) sowie Invar und Kovar (Herstellertabellen des mittleren α). Die Werte der Keramiken stammen aus Datenblättern von Kyocera, die der Gläser aus ISO 16293-1 sowie Unterlagen von SCHOTT und Corning, die der FR-4-Leiterplatte aus dem Datenblatt von Isola 370HR. Für Polymere, CFK und GFK wird das geometrische Mittel derselben Bereiche wie im Werkstoffschaubild (Ashbys Tabellen) verwendet; ν ist dort nicht angegeben und bleibt leer. Die vollständige Liste der Werte steht im Reiter „Werkstoffdaten“.
ADas interatomare Potential ist unsymmetrisch (anharmonisch), sodass der mittlere Atomabstand mit wachsender Schwingungsamplitude zunimmt
BDas interatomare Potential ist parabelförmig (harmonisch), sodass Schwingungsamplitude und mittlerer Atomabstand mit der Temperatur zunehmen
CMit steigender Temperatur werden die Atome selbst größer
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Lösung: A. Das interatomare Potential ist unsymmetrisch (anharmonisch), sodass der mittlere Atomabstand mit wachsender Schwingungsamplitude zunimmt
Das Potential zwischen zwei Atomen ist unsymmetrisch: Bei Annäherung steigt die Abstoßung steil an, beim Auseinanderrücken lässt die Anziehung nur allmählich nach. Wächst mit steigender Temperatur die Schwingungsamplitude, schwingen die Atome weiter zur Seite größerer Abstände aus; der mittlere Atomabstand, also der Mittelpunkt der Schwingung, nimmt zu, und das ist die Wärmeausdehnung. Wäre das Potential parabelförmig (harmonischer Oszillator), bliebe die Schwingung auch bei großer Amplitude symmetrisch zur Gleichgewichtslage; der mittlere Abstand änderte sich nicht, und es gäbe keine Wärmeausdehnung. Die Größe der Atome selbst (die Ausdehnung der Elektronenhülle) ändert sich mit der Temperatur kaum. Die Anharmonizität ist auch die Ursache der Phonon-Phonon-Streuung und hängt damit zusammen, dass die Wärmeleitfähigkeit einen endlichen Wert hat.
Der Längenausdehnungskoeffizient in der Nähe der Raumtemperatur beträgt bei Polyethylen etwa 100 bis 200×10⁻⁶ K⁻¹, bei Aluminium etwa 23×10⁻⁶ K⁻¹ und bei Wolfram etwa 4,5×10⁻⁶ K⁻¹. Je stärker die Bindung zwischen den Atomen und je tiefer die Potentialmulde, desto geringer ist die schwingungsbedingte Zunahme des Atomabstands bei gleicher Temperatur; solche Werkstoffe haben tendenziell einen hohen Schmelzpunkt und einen kleinen Längenausdehnungskoeffizienten. Wolfram mit einem Schmelzpunkt über 3400 °C hat den kleinsten Wert, Polymere, deren Molekülketten nur durch schwache Van-der-Waals-Kräfte verbunden sind, den größten. Deshalb entstehen in Bauteilen, die Metalle mit Polymeren oder Keramiken kombinieren, bei Temperaturänderungen durch die unterschiedliche Ausdehnung Wärmespannungen und Verzug.
ANi unterdrückt die Gitterschwingungen des Fe und hebt die Debye-Temperatur stark an, sodass die Atome bei Raumtemperatur kaum noch schwingen
BUnterhalb der Curie-Temperatur nimmt die durch die magnetische Ordnung bewirkte Volumenvergrößerung beim Erwärmen mit der Magnetisierung ab und kompensiert die Wärmeausdehnung
CMit steigender Temperatur schreitet allmählich eine Umwandlung von krz in das dichter gepackte kfz fort, und die damit verbundene Schrumpfung kompensiert die Ausdehnung
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Lösung: B. Unterhalb der Curie-Temperatur nimmt die durch die magnetische Ordnung bewirkte Volumenvergrößerung beim Erwärmen mit der Magnetisierung ab und kompensiert die Wärmeausdehnung
Invar ist ferromagnetisch und zeigt einen ausgeprägten magnetovolumetrischen Effekt (spontane Volumenmagnetostriktion): Bei vorhandener spontaner Magnetisierung vergrößern sich die Atomabstände und damit das Volumen. Mit steigender Temperatur wird die Magnetisierung schwächer, dieser magnetisch bedingte Ausdehnungsanteil nimmt ab und hebt die gewöhnliche Wärmeausdehnung durch Gitterschwingungen nahezu auf. Deshalb ist der Längenausdehnungskoeffizient unterhalb der Curie-Temperatur mit etwa 1×10⁻⁶ K⁻¹ klein, und die Legierung wird für Präzisionsmessgeräte und Behälter für Flüssigerdgas verwendet. Oberhalb der Curie-Temperatur entfällt die Kompensation, und die Legierung dehnt sich wie gewöhnliche Metalle aus. Invar ist bei Raumtemperatur einphasig kfz; die Atomschwingungen werden mit der Temperatur ganz normal stärker, und eine Phasenumwandlung, die die Ausdehnung kompensieren könnte, findet ebenfalls nicht statt.
AEr behält auch bei sinkender Temperatur etwa denselben Wert wie bei Raumtemperatur
BEr wird mit sinkender Temperatur größer und erreicht am absoluten Nullpunkt sein Maximum
CEr nimmt wie die Wärmekapazität mit der Temperatur ab und geht am absoluten Nullpunkt gegen 0
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Lösung: C. Er nimmt wie die Wärmekapazität mit der Temperatur ab und geht am absoluten Nullpunkt gegen 0
Nach der Grüneisen-Beziehung β = γC_v/(BV) (β Volumenausdehnungskoeffizient, γ Grüneisen-Parameter, C_v molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen, B Kompressionsmodul, V Molvolumen) zeigt der Wärmeausdehnungskoeffizient nahezu dieselbe Temperaturabhängigkeit wie die Wärmekapazität. Weit unterhalb der Debye-Temperatur nimmt die Wärmekapazität proportional zu T³ ab, sodass auch der Längenausdehnungskoeffizient eines Isolators proportional zu T³ gegen 0 geht. Da die Wärmeausdehnung aus der Anharmonizität der Schwingungen entsteht, tritt bei sehr tiefen Temperaturen, bei denen kaum Schwingungen angeregt sind, auch kaum Ausdehnung auf. Wird der Wert bei Raumtemperatur bis zu sehr tiefen Temperaturen verwendet, wird die Schrumpfung beim Abkühlen deutlich überschätzt. Oberhalb der Debye-Temperatur ist die Wärmekapazität nahezu konstant und damit auch der Längenausdehnungskoeffizient.
ASein Längenausdehnungskoeffizient ist mit etwa 0,5×10⁻⁶ K⁻¹ sehr klein, sodass die Wärmespannung durch Temperaturunterschiede gering ist
BSeine Wärmeleitfähigkeit ist so groß wie die von Metallen, sodass Temperaturunterschiede zwischen Oberfläche und Innerem sofort verschwinden
CSeine Bruchzähigkeit ist so groß wie die von Metallen, sodass Risse, die durch Wärmespannung an der Oberfläche entstehen, kaum wachsen
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Lösung: A. Sein Längenausdehnungskoeffizient ist mit etwa 0,5×10⁻⁶ K⁻¹ sehr klein, sodass die Wärmespannung durch Temperaturunterschiede gering ist
Beim Abschrecken will sich zuerst nur die Oberfläche zusammenziehen, wird aber vom Inneren zurückgehalten, sodass an der Oberfläche eine Zug-Wärmespannung σ ≈ EαΔT/(1 − ν) entsteht. Der Längenausdehnungskoeffizient von Quarzglas beträgt etwa 0,5×10⁻⁶ K⁻¹, nur etwa ein Zwanzigstel der etwa 9×10⁻⁶ K⁻¹ von Kalk-Natron-Glas; bei gleicher Temperaturdifferenz ist die Wärmespannung daher viel kleiner, und das Glas springt nicht. Die Wärmeleitfähigkeit von Quarzglas ist mit etwa 1,4 W/(m·K) gering, und auch die Bruchzähigkeit liegt mit etwa 0,8 MPa·√m auf dem Niveau von Kalk-Natron-Glas; beide reichen bei Weitem nicht an Metalle heran. Die Wärmeleitfähigkeit wirkt über die Ausbildung des Temperaturunterschieds zwischen Oberfläche und Innerem; unter Bedingungen mit mäßigem Wärmeübergang sind Werkstoffe mit größerer Wärmeleitfähigkeit thermoschockbeständiger.
Mit Δα = 23×10⁻⁶ − 2,6×10⁻⁶ = 20,4×10⁻⁶ K⁻¹ und ΔT = 100 K ist σ = 70×10⁹ × 20,4×10⁻⁶ × 100/(1 − 0,35) ≈ 2,2×10⁸ Pa, also etwa 220 MPa. Beim Abkühlen will sich Aluminium stärker zusammenziehen als Silizium, wird aber vom Substrat daran gehindert; die Schicht wird gedehnt und steht unter Zugspannung. Die Antwort „Druck“ verwechselt die Richtung. Etwa 143 MPa entsteht, wenn die Division durch (1 − ν) vergessen wird. Die Schicht wird in zwei Richtungen der Ebene gleichzeitig behindert und befindet sich in einem zweiachsigen Spannungszustand, sodass der biaxiale Modul E/(1 − ν) zu verwenden ist. Eine solche Wärmespannung verursacht Stressmigration und Poren (Voids) in Leiterbahnen.
Beim Abkühlen zieht sich Silizium stärker zusammen als SiO₂. Die SiO₂-Schicht wird stärker zusammengezogen, als sie selbst schrumpfen würde, also in der Ebene gestaucht, und steht unter Druckspannung. Die Richtung der Wärmespannung lässt sich so beurteilen: Ist der Längenausdehnungskoeffizient der Schicht größer als der des Substrats, entsteht nach dem Abkühlen Zug, ist er kleiner, Druck. Bei einer Aluminiumschicht auf Silizium ist das Größenverhältnis der Ausdehnungskoeffizienten umgekehrt und damit auch die Richtung der Spannung. Solange sich die Ausdehnungskoeffizienten unterscheiden, entsteht bei einer Temperaturänderung gegenüber der Abscheidetemperatur eine Spannung; die Antwort, es entstehe keine Spannung, ist daher falsch. Die Druckspannung thermischer Oxidschichten erreicht einige hundert MPa und lässt sich aus der Messung der Waferkrümmung bestimmen.
Eα = 380×10⁹ × 8,0×10⁻⁶ = 3,04×10⁶ Pa/K und σf(1 − ν) = 300×10⁶ × 0,78 = 2,34×10⁸ Pa, also ΔTc = 2,34×10⁸/(3,04×10⁶) ≈ 77 K. Ca. 99 K vergisst die Multiplikation mit (1 − ν), ca. 127 K teilt stattdessen durch (1 − ν). Die Thermoschockbeständigkeit ist umso größer, je höher die Festigkeit und je kleiner Elastizitätsmodul und Wärmeausdehnungskoeffizient sind. Quarzglas mit dem sehr kleinen Wärmeausdehnungskoeffizienten von etwa 0,5×10⁻⁶ K⁻¹ ist äußerst thermoschockbeständig. Günstig ist auch eine hohe Wärmeleitfähigkeit, weil sie den Temperaturunterschied zwischen Oberfläche und Innerem klein hält.
AUnter einer Deckschicht aus YSZ mit geringer Wärmeleitfähigkeit liegt eine Haftvermittlerschicht wie MCrAlY, und das an ihrer Grenzfläche thermisch gewachsene dünne Al₂O₃ (TGO) schützt den Grundwerkstoff vor Oxidation
BAls Deckschicht dient dichtes Aluminiumoxid mit hoher Wärmeleitfähigkeit, das die Wärme schnell aus der Schaufel abführt und das Metall kühlt, und die Haftvermittlerschicht darunter gleicht die unterschiedliche Wärmeausdehnung aus
CDie YSZ-Deckschicht lässt überhaupt keinen Sauerstoff durch, daher ist keine Haftvermittlerschicht nötig, und direkt auf den Grundwerkstoff gespritztes YSZ schützt zugleich vor Oxidation und Wärme
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Lösung: A. Unter einer Deckschicht aus YSZ mit geringer Wärmeleitfähigkeit liegt eine Haftvermittlerschicht wie MCrAlY, und das an ihrer Grenzfläche thermisch gewachsene dünne Al₂O₃ (TGO) schützt den Grundwerkstoff vor Oxidation
Eine Wärmedämmschicht senkt die Metalltemperatur durch eine isolierende Oberflächenschicht, während das Innere der Schaufel mit Kühlluft gekühlt wird. Die Deckschicht aus YSZ (mit Yttriumoxid teilstabilisiertes Zirkonoxid) hat eine geringe Wärmeleitfähigkeit von etwa 1–2 W/(m·K) und für eine Keramik einen großen Wärmeausdehnungskoeffizienten. Sie wird als poröse Spritzschicht oder als stängelige, aus der Dampfphase abgeschiedene Schicht hergestellt, um die Dehnungen aus der unterschiedlichen Wärmeausdehnung gegenüber dem Grundwerkstoff abzubauen. YSZ leitet Oxidionen gut und kann Sauerstoff nicht aufhalten; daher oxidiert das Al der Haftvermittlerschicht zu einem dünnen Al₂O₃-TGO, das den Grundwerkstoff vor Oxidation schützt. Wird das TGO dicker oder wird es thermisch zyklisch beansprucht, platzt die Deckschicht in seiner Nähe ab; das ist die wichtigste Ursache für das Ende der Lebensdauer. Ein Werkstoff mit hoher Wärmeleitfähigkeit kann die Aufgabe der Wärmedämmung nicht erfüllen.
Häufige Fragen
Hängt die Wärmespannung von der Stablänge ab?
Bei vollständiger Behinderung nicht. Da die Wärmedehnung αΔT nicht von der Länge abhängt, hängt auch die Spannung EαΔT nicht davon ab. Von der Länge hängt die Längenänderung ΔL = αLΔT ab; je länger das Bauteil, desto größer muss die Dehnungsfuge sein. Bei Wänden mit Spalt oder einer teilweisen Behinderung durch eine Feder geht die Länge in den Behinderungsgrad ein, und die Spannung ändert sich.
Warum teilt man bei dünnen Schichten und Platten durch (1 − ν)?
Weil beide Richtungen der Ebene gleichzeitig behindert sind. Die Spannung in x-Richtung hebt über die Querkontraktion einen Teil der Dehnung in y-Richtung auf; um die Wärmedehnung in beiden Richtungen aufzuheben, ist daher eine größere Spannung nötig als im einachsigen Fall. Im Ergebnis wirkt es so, als stiege der Modul von E auf E/(1 − ν) (biaxialer Modul). Bei ν = 0,3 ist das etwa das 1,43-Fache.
Wie ergibt sich das Vorzeichen der Spannung beim Erwärmen und Abkühlen?
Man überlegt, in welche Richtung sich der Körper ohne Behinderung bewegen würde. Wird beim Erwärmen die Ausdehnung verhindert, entsteht Druck; wird beim Abkühlen die Schrumpfung verhindert, entsteht Zug. Bei zwei Werkstoffen steht nach dem Abkühlen die Seite mit der größeren Ausdehnung unter Zug, die mit der kleineren unter Druck. Eine Aluminiumschicht auf Silizium steht nach dem Abkühlen unter Zug, eine thermische Oxidschicht auf Silizium unter Druck.
Wie stark wirkt sich die Temperaturabhängigkeit des Längenausdehnungskoeffizienten aus?
Das hängt vom Werkstoff und vom Temperaturbereich ab. Aluminium hat bei 20 °C etwa 23 und bei 500 °C etwa 32×10⁻⁶ K⁻¹ (Ableitung der Hidnert-Gleichung); rechnet man für eine Erwärmung auf 500 °C mit dem α bei Raumtemperatur, unterschätzt man die Ausdehnung um mehr als 10 %. Bei Invar steigt α oberhalb der Curie-Temperatur auf ein Mehrfaches, bei Silizium wird es bei tiefen Temperaturen negativ. Wählt man auf dieser Seite bei der Temperaturabhängigkeit „Verwenden“, werden Werkstoffe mit Daten entlang ihrer Kurve berechnet, und das Diagramm zeigt den Unterschied zur Rechnung ohne Temperaturabhängigkeit.
Warum enthält die Stoney-Gleichung nicht den Modul der Schicht?
Ist die Schicht viel dünner als das Substrat, bestimmen nur die Schichtkraft σf·tf (je Breite) und die Biegesteifigkeit des Substrats die Krümmung. Wie steif die Schicht ist, beeinflusst die Höhe der Schichtspannung, nicht aber die Umrechnung von Spannung in Krümmung. Deshalb erhält man die Schichtspannung aus der vor und nach der Abscheidung gemessenen Krümmung des Wafers, ohne den Modul der Schicht zu kennen. Wird die Schicht dicker, macht sich ihre eigene Biegesteifigkeit bemerkbar, und die Gleichung weicht ab.
Mit welchen Kombinationen krümmt sich ein Bimetall stark?
Die Krümmung ist proportional zur Ausdehnungsdifferenz Δα und zur Temperaturdifferenz und umgekehrt proportional zur Gesamtdicke. Bei vorgegebener Gesamtdicke ist sie beim Dickenverhältnis m = 1/√n (n Modulverhältnis) am größten; bei gleicher Dicke und gleichem Modul gilt 1/ρ = 3ΔαΔT/(2h). Verwendet man für die Seite mit der kleinen Ausdehnung eine Legierung mit geringer Ausdehnung wie Invar, lässt sich Δα vergrößern.
Worauf kommt es bei der Wahl eines thermoschockbeständigen Werkstoffs an?
Bei schroffem Abschrecken (großer Wärmeübergang) auf ein großes R = σf(1 − ν)/(Eα), bei mäßigem Wärmeübergang auf ein großes R′ = Rκ, das zusätzlich die Wärmeleitfähigkeit enthält. Hohe Festigkeit sowie kleine α und E sind günstig; typische Beispiele sind Quarzglas und Siliziumnitrid. Welcher Fall vorliegt, beurteilt man mit der Biot-Zahl β = ah/κ.
Auf wie viel °C muss das Außenteil beim Schrumpfverband erwärmt werden?
Auf die Temperatur, bei der sich die Bohrung um das Übermaß δ plus das zum Fügen nötige Spiel c aufweitet. Bei konstantem α gilt ΔT = (δ + c)/(αd); für Stahl mit 50 mm Durchmesser, 50 µm Übermaß und 20 µm Spiel ergibt sich eine Erwärmung um etwa 117 K (von 20 °C auf etwa 137 °C). Zu starkes Erwärmen kann den Wärmebehandlungszustand des Werkstoffs verändern; prüfen Sie daher auch die Höchsttemperatur in seinen Unterlagen.
Worin unterscheiden sich Invar und Kovar?
Invar (Fe-36Ni) ist eine Legierung mit sehr kleinem α in der Nähe der Raumtemperatur (1–2×10⁻⁶ K⁻¹) und wird für Präzisionsmessgeräte, Formen und die Seite mit der kleinen Ausdehnung in Bimetallen verwendet. Kovar (Fe-29Ni-17Co) ist eine Einschmelzlegierung, deren α auf harte Gläser vom Borosilikattyp abgestimmt ist; ihr mittleres α über 30–400 °C beträgt etwa 5×10⁻⁶ K⁻¹. Bei beiden wird α oberhalb der Curie-Temperatur größer.
Kann ich die Werte dieser Seite unverändert für die Auslegung verwenden?
Die Werkstoffwerte sind typische Werte und ändern sich mit Zusammensetzung, Verarbeitung und Temperatur. Um Zusammenhänge zu verstehen und Größenordnungen abzuschätzen, sind sie geeignet; für die Auslegung verwenden Sie bitte die Werte aus dem Datenblatt oder der Norm des eingesetzten Werkstoffs. Gerechnet wird im elastischen Bereich; der Spannungsabbau durch plastische Verformung oder Kriechen und Spannungskonzentrationen durch die Bauteilform sind nicht berücksichtigt.