計算練習

將材料科學課程、考試與研究所入學考試常出的典型計算題，每次換數值出題。自己解題後輸入附單位的答案，就會判定是否正確，並顯示哪個值代入了哪個公式（計算過程），以及從答案的數值看出的常見錯誤。也可以用相同的數值開啟計算工具來確認。

題目中的數值，是每次從範圍內重新產生的練習用數值。物性值選自本站計算工具的資料集（出處記於下方），或是題目中以「設為」假設的值。構件設計等用途，請使用標準或材料資料中的數值。

題型（38）

點選題型名稱，會出 1 題該題型的題目。點選領域名稱，可以在選好該領域的狀態下開始。

晶體

晶面間距（立方晶） ±1 %由晶格常數與米勒指數求 (hkl) 面的晶面間距d = a/√(h² + k² + l²)
繞射角 2θ（布拉格定律） ±0.5 %求立方晶金屬的 (hkl) 反射出現的繞射角 2θ2d sinθ = λ，d = a/√(h² + k² + l²)
由繞射峰角度求晶格常數 ±0.5 %由 XRD 的 (hkl) 繞射峰的 2θ，求立方晶的晶格常數 ad = λ/(2 sinθ)，a = d√(h² + k² + l²)
理論密度（立方晶金屬） ±1 %由晶格常數、原子量與單位晶胞的原子數，求晶體的密度ρ = nM/(N_A a³)
晶格常數與原子半徑 ±1 %對 BCC、FCC，由晶格常數求原子半徑，或由原子半徑求晶格常數BCC：√3a = 4r，FCC：√2a = 4r
面密度（BCC、FCC） ±1 %求 (100)、(110)、(111) 面上單位面積的原子數面密度 = 晶面內的原子數 / 晶面的面積
離子晶體的堆積因子 ±1 %對岩鹽型、CsCl型晶體，由離子半徑求堆積因子堆積因子 = n·(4/3)π(r₊³ + r₋³)/a³

相圖

槓桿法則（相的質量分率） ±1 %在二相區的點上，由連結線兩端的成分求相的質量分率W = (C_另一端 − C₀)/(C_另一端 − C_所求的相)
初析肥粒鐵、初析雪明碳鐵的比例 ±1 %以槓桿法則求亞共析鋼、過共析鋼在 727 ℃正下方的組織比例亞共析：W_α′ = (0.76 − C₀)/(0.76 − 0.022)，過共析：W_Fe₃C′ = (C₀ − 0.76)/(6.70 − 0.76)
初晶與共晶組織的比例 ±1 %對共晶系合金，求共晶溫度正下方的初晶、共晶組織與相的比例亞共晶：W_E = (C₀ − C_α)/(C_E − C_α)
wt% 與 at% 的換算 ±1 %以原子量換算二元合金的質量百分比與原子百分比x_B = (w_B/M_B)/(w_A/M_A + w_B/M_B)

擴散與缺陷

擴散係數（阿瑞尼斯方程式） ±2 %由 D₀ 與活化能 Q，求某溫度下的擴散係數D = D₀ exp(−Q/RT)
滲碳深度（誤差函數） ±2 %表面濃度保持一定進行滲碳時，求達到某碳濃度的深度(Cₓ − C₀)/(Cₛ − C₀) = 1 − erf(x/(2√(Dt)))
滲碳時間（誤差函數） ±2 %求某深度達到目標碳濃度所需的滲碳時間(Cₓ − C₀)/(Cₛ − C₀) = 1 − erf(x/(2√(Dt)))
改變溫度時的擴散時間 ±2 %由 Dt 相同就得到相同濃度分布，求改變溫度時所需的時間t₂ = t₁·D₁/D₂ = t₁ exp[(Q/R)(1/T₂ − 1/T₁)]
穩態擴散通量（菲克第一定律） ±1 %由板中兩點的濃度與位置，求穩態的擴散通量J = −D dC/dx ≈ D(C₁ − C₂)/(x₂ − x₁)
平衡空位濃度 ±2 %由空位形成能與溫度，求每 1 m³ 的空位數N_v = N exp(−Q_v/kT)，N = N_A ρ/M

機械性質

彈性變形的伸長量 ±1 %由負荷、直徑、長度與楊氏模數，求圓棒的彈性伸長量Δl = Fl₀/(AE)，A = πd²/4
蒲松比與直徑的變化 ±1 %由拉伸應力、楊氏模數與蒲松比，求圓棒直徑的減少量Δd = ν(σ/E)d₀
真應力與真應變 ±1 %由頸縮前的工程應力、工程應變，求真應力、真應變σ_T = σ(1 + ε)，ε_T = ln(1 + ε)
斷面縮率與真破斷應力 ±1 %由破斷前後的直徑，求斷面縮率、真破斷應變與真破斷應力RA = (A₀ − A_f)/A₀，ε_T = ln(A₀/A_f)，σ_T = F/A_f
霍爾-佩奇關係 ±1 %由兩種晶粒尺寸下的降伏應力求 σ₀ 與 k，再求另一晶粒尺寸的降伏應力σ_y = σ₀ + k/√d
分解剪應力（Schmid定律） ±1 %由單晶的拉伸軸與滑移系統，求分解剪應力或開始滑移的應力τ_R = σ cosφ cosλ

破壞

裂縫尖端的應力集中 ±1 %由平均應力、裂縫長度與尖端的曲率半徑，求裂縫尖端的最大應力σ_max = σ₀(1 + 2√(a/ρ))
破壞韌性與破壞應力 ±1 %由 K_IC 與裂縫大小，以 K = Yσ√(πa) 求發生破壞的應力σ_c = K_IC/(Y√(πa))
發生破壞的裂縫大小 ±1 %由 K_IC 與使用應力，求發生破壞的裂縫長度a_c = (1/π)(K_IC/(Yσ))²

熱

熱膨脹造成的伸長 ±1 %由線膨脹係數與溫差，求自由伸長時的長度變化ΔL = αL₀ΔT
受拘束棒的熱應力 ±1 / 0.3 %求兩端固定在不動壁上的棒加熱時的熱應力，或可加熱的溫度σ = −EαΔT
薄膜的熱應力（等雙軸） ±1 %求基板上的薄膜從成膜溫度冷卻時，因膨脹係數差異產生的應力σ = −E(α_f − α_s)ΔT/(1 − ν)
通過板的熱通量 ±1 %由板兩面的溫差與熱導率，求穩態的熱通量q = κΔT/L
組合棒（雙金屬）的熱應力 ±1 %求兩端結合的兩根不同金屬棒加熱時，各棒的應力σ₁A₁ + σ₂A₂ = 0，α₁ΔT + σ₁/E₁ = α₂ΔT + σ₂/E₂

複合材料

混合法則（纖維方向的楊氏模數） ±1 %對單向連續纖維複合材料，以等應變公式求纖維方向的楊氏模數E₁ = V_f E_f + V_m E_m
逆混合法則（垂直纖維方向） ±1 %以等應力公式求單向材垂直纖維方向的楊氏模數1/E₂ = V_f/E_f + V_m/E_m
纖維與基材的負荷分擔 ±1 %沿纖維方向拉伸時，求纖維承擔的負荷比例，或纖維與基材的負荷比F_f/F_m = V_f E_f/(V_m E_m)

電性、腐蝕、高溫

導線的電阻與溫度 ±1 %使用電阻率的溫度係數，求某溫度下導線的電阻R = ρ(T)L/A，ρ(T) = ρ₂₀[1 + α_R(T − 20 ℃)]
n 型矽的電阻率 ±1 %由施體濃度與電子遷移率，求 n 型矽的導電率與電阻率σ = n e µ_e，ρ = 1/σ
腐蝕量（法拉第定律） ±1 %由腐蝕電流，求溶解的金屬質量或表面後退的速率m = ItM/(nF)
Larson-Miller參數 ±2 / 0.5 %由一次潛變破斷試驗的結果，求另一溫度下的破斷時間，或能承受目標壽命的溫度P = T(C + log₁₀t_r)

使用方法

選擇領域或題型，開始一組 5 題或 10 題的練習。勾選「多出弱項題型」後，過去答錯比例越高的題型越容易出現。點選題型列表中的題型名稱，會只出 1 題該題型的題目。

答案以數值輸入，並在單位欄選擇單位。1.23e-5、1.23×10^-5、1.23 × 10⁻⁵ 任何一種寫法都能讀取。有單位選單時，不論用 mm 或 µm，只要輸入與所選單位相符的數值，就能正確判定（換算依所示單位的倍數進行）。

按下「對答案」就會顯示判定並展開計算過程。答錯時，會顯示從答案的數值推測可能的錯誤（半徑與直徑、℃與 K、wt% 與 at%、2θ 與 θ 等）。按「看答案」也可以不作答，直接查看計算過程。

按「複製這題的網址」，就能分享開啟相同數值題目的網址。網址中只有題型與數值的種子（seed），不含答案。成績只儲存在這個瀏覽器（localStorage）中，不會傳送到伺服器。即使瀏覽器設定為無法儲存，也能作答（只是不會留下成績）。

解計算題的訣竅

首先，寫出已知值與要求的值，並標上符號與單位。題目中「直徑」「全長 2a」「質量分率」這類用語，常與代入公式的量（半徑、a、體積分率）不同，要在這一步先換好。

代入公式前，把單位統一成 SI（m、kg、s、K、J、Pa）是最可靠的做法。材料的計算中，MPa 與 mm（1 MPa = 1 N/mm²）的組合也很方便，但使用 MPa·√m 的破壞韌性時，長度要用 m。溫度若是差值（ΔT），用℃或 K 都是相同的數字，但 exp(−Q/RT) 或 T(C + log t) 中的 T 一定是絕對溫度。

得到答案後，用數量級來確認。金屬的晶面間距為 0.1～0.3 nm，密度為 2～22 g/cm³，受拘束的鋼棒加熱 100 K 的熱應力為數百 MPa，碳的滲碳深度為 0.1～數 mm。若與預估相差 1 個數量級以上，就要懷疑單位換算或 10 的次方。

中間值要比答案多保留 1～2 位（存入計算機的記憶體最可靠）。若中途四捨五入到 3 位再用於下一步計算，在減法、指數或次方的地方誤差會變大，可能超出容許誤差。

單位的處理

單位欄可以選擇同一個量的其他單位（nm 與 Å、MPa 與 GPa、m²/s 與 cm²/s、h 與 s 等）。只要是所選單位下的正確值就算答對。單位欄只有一個單位的題目，請以該單位作答。

比例的答案可以選擇 0～1 的小數或 %（0.25 與 25 % 相同）。題目問質量分率或體積分率時，用哪一種作答都可以。

溫度的答案可選擇℃或 K。℃與 K 的換算不是乘法，而是加減 273.15，因此把℃的答案填在 K 的欄位會判為錯誤。反之，把 K 的值當作℃作答時，會顯示「把絕對溫度（K）的值當作℃作答」。

常用的換算：1 nm = 10 Å = 10⁻⁹ m、1 µm = 10⁻⁶ m、1 MPa = 1 N/mm² = 10⁶ Pa、1 GPa = 1000 MPa、1 cm²/s = 10⁻⁴ m²/s、1 g/cm³ = 1000 kg/m³、1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J、1 kJ/mol = 1000 J/mol。

有效數字與判定

題目中的數值，是四捨五入到所示位數的值。答案的基準是由這些四捨五入後的值計算的，因此只要使用題目中的數值，就不會因為四捨五入的誤差而答錯。

判定以相對誤差進行，多數題型在 ±1 % 以內為正確。經過指數函數的題型（擴散係數、滲碳、空位濃度、Larson-Miller 的時間），中途四捨五入的影響較大，因此為 ±2 %；角度或晶格常數這類需要較多位數的題型為 ±0.5 %。以溫度作答的題型（受拘束棒的最高溫度、Larson-Miller 的溫度），以對絕對溫度（K）的相對誤差判定（±0.3 %、±0.5 %，在 300～1200 K 約為 ±1～6 K）。容許誤差會在每一題顯示。

答案以題目所寫的位數（多為 3 位有效數字）輸入就足夠，輸入更多位也可以。例如正確值為 0.2867 nm 時，0.287 或 0.2867 都算正確。若只輸入 2 位如 0.29，誤差可能超過 1 % 而判為錯誤。

稍微超出容許誤差（5 % 以內）時，會顯示「很接近」，並指出可能是中途四捨五入過多或常數不同。這時公式多半是對的，請確認中間值是否四捨五入過多，以及常數（N_A、R、k 等）是否使用了題目中的值。

資料出處

晶格常數、密度、晶體結構、原子量: 「材料用週期表」的資料（晶格常數與密度取自 CRC Handbook of Chemistry and Physics，原子量為 IUPAC/CIAAW 的標準原子量）。
楊氏模數、熱膨脹係數、熱導率、破壞韌性的範圍: 「選材圖」的資料（M. F. Ashby《Material property data for engineering materials》第5版，2021年的表中範圍）。選取範圍內的值，並在題目中寫「設為」。
相圖的數值（Cu–Ni、Pb–Sn、Ag–Cu、Al–Si、Al–Cu、Pt–Ag）與 Fe–C 系的共析點: 「二元系相圖實驗室」與「鐵–碳相圖檢視工具」的資料（Callister《Materials Science and Engineering》等的數值，工具頁面上有各系統的出處）。Fe–C 的共析點為 0.76 wt% C，肥粒鐵的固溶限為 0.022 wt% C，Fe₃C 為 6.70 wt% C。
X光的波長: 與「XRD解析工作台」相同的 Kα1 值（由 X-ray Data Booklet 的光子能量以 λ = hc/E 求得的值）。
擴散的 D₀ 與 Q、誤差函數: 與「擴散與表面處理模擬器」資料集相同的值（W. D. Callister, Jr., D. G. Rethwisch《Materials Science and Engineering: An Introduction》第9版的表 5.2）。誤差函數及其反函數也使用該工具的計算。溫度選自該工具不會顯示注意事項的範圍（在相的範圍內，置換型擴散則高於熔點的 0.75 倍），滲碳的表面濃度則低於該溫度的 Acm 線。
導體的電阻率: 退火標準軟銅（IEC 60028，20 ℃時 1.7241 × 10⁻⁸ Ω·m，溫度係數 0.00393 K⁻¹）與導電用鋁（61 % IACS，2.8264 × 10⁻⁸ Ω·m，溫度係數 0.00403 K⁻¹）。
物理常數: 將 CODATA 的值四捨五入到 3～4 位（N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹、R = 8.314 J/(mol·K)、k = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K、e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C、F = 96485 C/mol）。
假設的值: 空位形成能、蒲松比、霍爾-佩奇關係的常數、臨界分解剪應力、纖維的楊氏模數、離子半徑、Larson-Miller 常數 C = 20 等，是從該材料可能的範圍中選取的練習用數值。n 型矽的電子遷移率，是由施體濃度 N 以 Caughey–Thomas 公式 µ = 52.2 + 1365/[1 + (N/9.68 × 10¹⁶ cm⁻³)^0.68] cm²/(V·s)（300 K，Jacoboni 等人 1977 的係數）估算之值的 ±5 % 範圍內。

常見問題

答案應該是對的，卻被判為錯誤。

首先請確認單位欄。所選的單位與輸入數值的單位不一致時，即使是正確的值也會被判為錯誤（多數情況會顯示「似乎弄錯了單位」）。單位一致但稍有偏差時，可能是中間值四捨五入過多，或使用了與題目不同的常數。請使用題目中的數值與常數，中間值保留 4 位以上重新計算。

題目的數值是怎麼決定的？

每種題型都設定了實際材料可能出現的範圍，每次從中選取。晶格常數、密度、楊氏模數、熱膨脹係數等物性值，選自與本站「材料用週期表」「選材圖」「二元系相圖實驗室」相同的資料。以範圍列出的物性（楊氏模數等），會選取範圍內的值，並在題目中寫「設為」。

可以再解一次同一題，或和朋友解同一題嗎？

可以。開啟「複製這題的網址」所得的網址（?t=題型&s=種子），就會出現相同數值的同一題。網址中不含答案，可以用來互相出題。

成績儲存在哪裡？可以刪除嗎？

只儲存在這個瀏覽器的 localStorage 中，不會傳送到伺服器，也不會與其他裝置或瀏覽器共用。可用頁面下方的「清除紀錄」刪除。在無痕瀏覽等無法儲存的設定下，不會留下成績，但仍可正常作答。

「多出弱項題型」是怎麼選題的？

依每種題型答錯與答對的次數，答錯比例越高的題型越容易被選中。尚未作答的題型也會以一定的比例出現。同一組題目中，同一題型不會連續出現兩次。

用計算工具開啟，可以知道什麼？

會開啟填入相同數值的計算工具，可以用別的方法確認答案，或觀察改變條件時的變化。例如布拉格角的題目，可以在「XRD解析工作台」看整個繞射圖譜；滲碳的題目，可以在「擴散與表面處理模擬器」看濃度分布。工具不支援的題型，則會顯示相關名詞或文章的連結。

和教科書的答案稍有不同。

教科書常會把中間值四捨五入，或把常數簡化（N_A = 6.02 × 10²³、R = 8.31 等），因此第 3 位可能不同。本練習的答案，是由題目所寫的數值與常數，中途不四捨五入計算出的值。只要在容許誤差範圍內，用哪一種作答都算正確。

晶體的題目需要記住哪些元素是 BCC 或 FCC 嗎？

本練習會在題目中寫出晶體結構。考試中有時不會寫出，因此記住 Fe（α）、Cr、Mo、W、V、Nb、Ta 是 BCC，Al、Cu、Ni、Ag、Au、Pt、Pb、Pd 是 FCC，會很有幫助。