什麼是有限元素法
把物體分成小元素，以節點位移等為未知數求解聯立方程式，近似求出應力或溫度分布的數值計算方法。
日文名稱: 有限要素法
「有限元素法」出現在1領域的2道練習題中（計算材料科學等）。
這個名詞所屬的領域: 計算材料科學
想法與發展
有限元素法把形狀複雜的物體分成三角形、四面體、六面體等簡單元素的集合，組合各元素近似的式子來求解整體。把原本的微分方程式改寫成能量最小原理或虛功原理的形式（弱形式）來使用，因此能自然地處理邊界形狀與材料的差異。它從1950年代的飛機結構分析發展而來，一般認為「有限元素法」這個名稱始於Clough在1960年的使用。現在除了應力之外，也用於熱傳導、電磁場、流體，以及它們互相影響的耦合問題。
元素的種類與精度
由節點值以1次式內插元素內位移的1次元素計算量輕，但在受彎曲的部分無法正確表示應變，有時會比實際更硬（剪力鎖定）。像橡膠或塑性變形這類體積幾乎不變的材料，也會發生同樣變硬的體積鎖定。2次元素或減少積分點的減積分（reduced integration）元素可緩和這個問題，但減積分可能出現沒有能量的沙漏狀變形（沙漏模態），也需要加以抑制。結果會因使用的元素而改變，因此選擇適合問題的元素很重要。
相信結果前要確認的事
有限元素法只是在給定的條件下求解方程式，並不保證這些條件符合現實。大誤差的原因，往往不在網格，而在邊界條件（在哪裡、如何固定，在哪裡、如何施加負荷）與材料資料。例如在1點施加集中負荷，或直接使用帶有尖角的形狀時，該點的應力會隨網格加細而越來越大，得不到有意義的值。結果要與簡單形狀的理論解，或應變規等量測結果比較來確認。
在材料與加工領域的用法
在材料領域，除了彈性之外，大量用於塑性、潛變、熱應力等非線性問題。代表性的是加工模擬，例如鍛造或沖壓成形中材料的流動與回彈，焊接或熱處理中的溫度與殘留應力，以及鑄件的凝固。在以元素表示每一個晶粒、計算各滑移系變形的晶體塑性有限元素法中，可研究織構的發展與各晶粒應變的不均。在複合材料中，也用於計算細緻表示纖維與基材的代表體積元素，求出整體平均性質的均質化。
練習有限元素法的題目
以有限元素法計算有孔或缺口的零件的彈性應力時，下列想法何者正確？
- A元素數越多，捨入誤差越會累積而使誤差變大，因此包括應力集中的部分在內，元素都應切得越粗越好
- B在線彈性的計算中，銳利裂紋尖端的應力只要把元素切得夠細，也會收斂到一定的有限值，因此可把該值與抗拉強度比較
- C這是近似解法，因此要把應力集中部分的元素切細，並確認改變元素大小時結果幾乎不變（收斂）
常見問題
有限元素法與有限差分法有什麼不同？
有限差分法在規則格子的點上以差分代替微分，對形狀簡單的區域容易建立，計算也快。有限元素法能自由選擇元素的形狀與大小，因此適合形狀複雜的零件，或想依位置改變細緻程度的問題。
顯式法與隱式法如何區分使用？
顯式法由各時刻的狀態直接求出下一時刻，因此每一步很輕，但為了穩定必須把時間步長取得非常小。隱式法要求解聯立方程式，每一步較重，但能使用大的步長。衝擊或高速成形常用顯式法，靜態問題常用隱式法。
有限元素法需要哪些材料資料？
彈性計算需要楊氏模數與蒲松比，熱的計算需要熱導率、比熱與密度，熱應力還需要線膨脹係數。處理塑性需要應力-應變曲線，潛變需要速率式的常數，並包含隨溫度與應變速率的變化來輸入。
解析中的「有限元素法」
在有限元素法中，把結構分成三角形或四邊形等小元素，元素內的位移由節點位移以簡單的函數內插。
以有限元素法計算有孔或缺口的零件的彈性應力時，下列想法何者正確？相場法處理奈米〜微米的組織變化，有限元素法則把零件規模的應力與溫度視為連續體處理。
材料的計算方法與一般能處理的空間及時間規模的組合，最適當者為下列何者？