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計算ドリル

材料科学の授業・試験・院試に出る定番の計算問題を、数値を毎回変えて出題します。自分で解いて答えを単位つきで入れると、合っているかを判定し、どの式にどの値を入れたか(途中式)と、答えの値から分かるよくある間違いを示します。同じ数値のまま計算ツールを開いて確かめることもできます。

問題文の数値は、範囲の中から毎回作り直す練習用の値です。物性値は、このサイトの計算ツールのデータ集(出典は下に記載)から選ぶか、問題文で「とする」と仮定した値です。部材の設計などには、規格や材料の資料の値を使ってください。

問題の型(38)

型の名前を押すと、その型の問題が1問出ます。分野の名前を押すと、その分野を選んだ状態で始められます。

結晶

状態図

拡散と欠陥

機械的性質

破壊

熱

複合材料

電気・腐食・高温

使い方

分野か問題の型を選び、5問か10問のセットを始めます。「苦手な型を多めに」を選ぶと、これまでに間違えた割合が高い型ほど出やすくなります。問題の一覧の型の名前を押すと、その型の問題が1問だけ出ます。

答えは数値で入れ、単位の欄で単位を選びます。1.23e-5、1.23×10^-5、1.23 × 10⁻⁵ のどの書き方でも読めます。単位を選ぶ欄があるときは、mm でも µm でも、選んだ単位に合わせた数で入れれば正しく判定します(換算は表示の単位の何倍かで行います)。

「答え合わせ」を押すと判定が出て、途中式が開きます。間違えたときは、答えの値から考えられる間違い(半径と直径、℃と K、wt% と at%、2θ と θ など)を示します。「答えを見る」で、解かずに途中式を見ることもできます。

「この問題のURLをコピー」で、同じ数値の問題を開くURLを共有できます。URLに入るのは問題の型と数値の種(シード)だけで、答えは入りません。成績は、このブラウザの中(localStorage)にだけ保存され、サーバーには送られません。保存できない設定のブラウザでも、問題は解けます(成績が残らないだけです)。

計算問題の解き方のコツ

はじめに、与えられた値と求める値を書き出し、記号と単位をつけます。問題文の「直径」「全長 2a」「質量分率」のような言葉は、式に入れる量(半径・a・体積分率)と違うことが多いので、ここで直しておきます。

式に入れる前に、単位を SI(m、kg、s、K、J、Pa)にそろえるのが一番確実です。材料の計算では MPa と mm(1 MPa = 1 N/mm²)の組み合わせも便利ですが、MPa·√m の破壊靱性を使うときは長さを m にします。温度は、差(ΔT)なら ℃でも K でも同じ数ですが、exp(−Q/RT) や T(C + log t) の T は必ず絶対温度です。

答えが出たら、大きさの見当で確かめます。金属の面間隔は 0.1〜0.3 nm、密度は 2〜22 g/cm³、拘束した鋼の棒を 100 K 温めた熱応力は数百 MPa、炭素の浸炭の深さは 0.1〜数 mm です。見当から1桁以上はずれたら、単位の換算か 10 のべき乗を疑います。

途中の値は、答えより1〜2桁多く残しておきます(電卓のメモリーに入れておくのが確実です)。途中で3桁に丸めてから次の計算に使うと、引き算や指数・べき乗のところで誤差が大きくなり、許容誤差を外れることがあります。

単位の扱い

単位の欄では、同じ量の別の単位(nm と Å、MPa と GPa、m²/s と cm²/s、h と s など)を選べます。選んだ単位で正しい値なら正解です。単位の欄が1つしかない問題は、その単位で答えます。

割合の答えは、0〜1 の小数か % を選べます(0.25 と 25 % は同じ)。質量分率や体積分率を問われたら、どちらで答えても構いません。

温度の答えは ℃か K を選びます。℃と K は掛け算ではなく 273.15 を足し引きして換算するので、℃の答えを K の欄に入れると間違いになります。逆に、K の値を ℃として答えると「絶対温度(K)の値を ℃として答えています」と表示します。

よく使う換算: 1 nm = 10 Å = 10⁻⁹ m、1 µm = 10⁻⁶ m、1 MPa = 1 N/mm² = 10⁶ Pa、1 GPa = 1000 MPa、1 cm²/s = 10⁻⁴ m²/s、1 g/cm³ = 1000 kg/m³、1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J、1 kJ/mol = 1000 J/mol。

有効数字と判定

問題文の数値は、表示した桁数に丸めた値です。答えの基準は、その丸めた値から計算しているので、問題文の数値を使えば丸めの誤差で不正解になることはありません。

判定は相対誤差で行い、多くの型は ±1 % 以内を正解とします。指数関数を通る型(拡散係数・浸炭・空孔濃度・ラーソン・ミラーの時間)は、途中で丸めた影響が大きくなるので ±2 %、角度や格子定数のように桁の多い値が要る型は ±0.5 % です。温度で答える型(拘束した棒の最高温度、ラーソン・ミラーの温度)は、絶対温度(K)に対する相対誤差で判定します(±0.3 %・±0.5 %。300〜1200 K でおよそ ±1〜6 K)。許容誤差は問題ごとに表示します。

答えは、問題に書いた桁数(多くは有効数字3桁)で入れれば十分です。それより多く入れても構いません。例えば正しい値が 0.2867 nm なら、0.287 でも 0.2867 でも正解です。0.29 のように2桁で入れると、誤差が 1 % を超えて不正解になることがあります。

許容誤差より少しだけ外れた(5 % 以内)ときは「惜しい」と表示し、途中の丸めすぎか定数の違いを指摘します。式は合っていることが多いので、途中の値を丸めすぎていないか、定数(N_A、R、k など)を問題文の値で使ったかを確かめてください。

データの出典

格子定数・密度・結晶構造・原子量
材料のための周期表のデータ(格子定数と密度は CRC Handbook of Chemistry and Physics、原子量は IUPAC/CIAAW の標準原子量)。
ヤング率・熱膨張係数・熱伝導率・破壊靱性の範囲
材料選びチャートのデータ(M. F. Ashby「Material property data for engineering materials」第5版、2021年の表の範囲)。範囲の中の値を選び、問題文に「とする」と書いています。
状態図の値(Cu–Ni、Pb–Sn、Ag–Cu、Al–Si、Al–Cu、Pt–Ag)と Fe–C 系の共析点
2元系状態図ラボと鉄–炭素状態図ビューアのデータ(Callister『Materials Science and Engineering』などの値。ツールのページに系ごとの出典があります)。Fe–C は共析点 0.76 wt% C、フェライトの固溶限 0.022 wt% C、Fe₃C 6.70 wt% C。
X線の波長
XRD 解析ワークベンチと同じ Kα1 の値(X-ray Data Booklet の光子エネルギーから λ = hc/E で求めた値)。
拡散の D₀ と Q、誤差関数
拡散・表面処理シミュレーターのデータ集と同じ値(W. D. Callister, Jr., D. G. Rethwisch『Materials Science and Engineering: An Introduction』第9版の表 5.2)。誤差関数とその逆関数も同じツールの計算を使います。温度は、そのツールが注意を出さない範囲(相の範囲の中、置換型の拡散は融点の 0.75 倍より上)から選び、浸炭の表面濃度はその温度の Acm 線より低くしています。
導体の抵抗率
焼なまし標準軟銅(IEC 60028、20 ℃で 1.7241 × 10⁻⁸ Ω·m、温度係数 0.00393 K⁻¹)と、電気用アルミニウム(61 % IACS、2.8264 × 10⁻⁸ Ω·m、温度係数 0.00403 K⁻¹)。
物理定数
CODATA の値を3〜4桁に丸めたもの(N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹、R = 8.314 J/(mol·K)、k = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K、e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C、F = 96485 C/mol)。
仮定の値
空孔の形成エネルギー、ポアソン比、ホール・ペッチの定数、臨界分解せん断応力、繊維のヤング率、イオン半径、ラーソン・ミラーの定数 C = 20 などは、その材料でありうる範囲から選んだ練習用の値です。n 型シリコンの電子の移動度は、ドナー濃度 N から Caughey–Thomas の式 µ = 52.2 + 1365/[1 + (N/9.68 × 10¹⁶ cm⁻³)^0.68] cm²/(V·s)(300 K、Jacoboni ら 1977 の係数)で見積もった値の ±5 % の範囲にしています。

よくある質問

答えは正しいはずなのに、不正解になります。

まず単位の欄を確かめてください。選んだ単位と、入れた数の単位が合っていないと、正しい値でも不正解になります(多くの場合は「単位の取り違えのようです」と表示します)。単位が合っていて少しだけずれているときは、途中の値を丸めすぎているか、問題文と違う定数を使っています。問題文の数値と定数を使い、途中の値を4桁以上残して計算し直してください。

問題の数値は、どのように決めていますか?

型ごとに、実際の材料で起こりうる範囲を決め、その中から毎回選んでいます。格子定数・密度・ヤング率・熱膨張係数などの物性値は、このサイトの材料のための周期表・材料選びチャート・2元系状態図ラボと同じデータから選びます。範囲で載っている物性(ヤング率など)は、その範囲の中の値を選び、問題文に「とする」と書きます。

同じ問題をもう一度解いたり、友だちと同じ問題を解いたりできますか?

できます。「この問題のURLをコピー」で出るURL(?t=型&s=種)を開くと、同じ数値の同じ問題が出ます。URLには答えが入っていないので、問題を出し合うのに使えます。

成績はどこに保存されますか? 消せますか?

このブラウザの localStorage にだけ保存され、サーバーには送られません。別の端末やブラウザとは共有されません。ページの下の「記録を消す」で消せます。プライベートブラウズなど保存できない設定では、成績は残りませんが、問題は普通に解けます。

「苦手な型を多めに」は、どのように選んでいますか?

型ごとに、間違えた回数と正解した回数から、間違えた割合が高い型ほど選ばれやすくします。まだ解いていない型も、ある程度の割合で選ばれます。同じセットの中で、同じ型が2回続けて出ることはありません。

計算ツールで開くと、何が分かりますか?

同じ数値を入れた計算ツールが開き、答えを別の方法で確かめたり、条件を変えたときの変化を見たりできます。例えばブラッグ角の問題では XRD 解析ワークベンチで回折パターン全体を、浸炭の問題では拡散・表面処理シミュレーターで濃度の分布を見られます。ツールが扱わない型では、関係する用語や記事へのリンクを出します。

教科書の答えと少し違います。

教科書は、途中の値を丸めたり、定数(N_A = 6.02 × 10²³、R = 8.31 など)を短くしたりしているので、3桁目が違うことがあります。このドリルの答えは、問題文に書いた数値と定数から、途中を丸めずに計算した値です。許容誤差の範囲なら、どちらで答えても正解になります。

結晶の問題で、どの元素の構造が BCC か FCC かを覚える必要がありますか?

このドリルでは、問題文に結晶構造を書いています。試験では書かれていないこともあるので、Fe(α)・Cr・Mo・W・V・Nb・Ta が BCC、Al・Cu・Ni・Ag・Au・Pt・Pb・Pd が FCC であることは覚えておくと役に立ちます。

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